Estudio local de curvas - Departamento de Matemática Aplicada

E.T.S. Arquitectura. Curvas y Super…cies.1
Eugenia Rosado
1
Estudio local de curvas
Sea una curva C
R3 con representación paramétrica regular ~r(t), t 2 I
mayor o igual a 3 y sea
Z t
s = s(t) =
k~r 0 (u)k du;
R, de clase
t0
el parámetro arco. Podemos considerar la representación natural de C:
~ (s) = ~r(t(s)); s 2 J
1.1
R:
Vector tangente
El vector
~r 0 (t) = (x0 (t); y 0 (t); z 0 (t))
es un vector tangente a la curva C en el punto P = ~r(t). En general, dicho vector no es
unitario. Denotaremos ~t(t) al vector unitario tangente a la curva C en el punto P = ~r(t);
esto es,
0
~t(t) = ~r (t) :
(1)
k~r 0 (t)k
Si consideramos la representación natural de la curva C, ~ (s) = ~r(t(s)), se tiene:
~ 0 (s) = ~r 0 (t(s))t0 (s)
y
~ 0 (s)
= k~r 0 (t(s))k jt0 (s)j
1
jt0 (s)j
=
0
jt (s)j
= 1:
Nota. Cuando consideramos la representación natural de la curva, al calcular el vector
tangente obtenemos directamente un vector unitario; esto es,
~t(s) = ~ 0 (s):
(2)
Nota. A partir de ahora vamos a considerar la parametrización natural de la curva C.
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1.2
Recta tangente y plano normal
De…nición. La recta tangente a una curva C en un punto P es la recta que tiene el
mismo vector tangente en P que la curva C. Se dice que la recta tangente tiene un orden
de contacto 1 con la curva C en el punto P .
Por tanto, la recta tangente a la curva C con vector tangente ~t = (v1 ; v2 ; v3 ) en el punto
!
P = (a; b; c) tiene la siguiente parametrización natural: ~r( ) = OP + ~t, esto es,
x( ) = a + v1 ;
y( ) = b + v2 ;
z( ) = c + v3 :
De…nición. El plano normal a una curva C en un punto P es el plano ortogonal a la
recta tangente y que contiene al punto P .
En el siguiente dibujo se han representado las rectas tangente y el plano normal de la
curva con parametrización ~r(t) = (1 sin2 (t); sin(t); 1 + cos(t)), con t 2 [0; 2 ), en el punto
P = ~r( =4).
Sea el plano normal de la curva C con vector tangente ~t = (v1 ; v2 ; v3 ) en el punto
P = (a; b; c). Un punto X pertenece al plano normal si veri…ca la siguiente ecuación
vectorial:
!
!
OX OP ~t = 0
Esto es, si (x; y; z) son las coordenadas del punto X, la ecuación implícita o cartesiana del
plano normal es:
(x a)v1 + (y b)v2 + (z c)v3 = 0:
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1.3
Curvatura
Veamos cómo varía el vector tangente en un entorno de un punto P de la curva.
El vector
d~t
(s);
ds
mide la variación del vector tangente en un entorno del punto P = ~ (s).
~ 00 (s) =
De…nición. Llamamos vector curvatura de la curva C con parametrización natural
~ : I ! R en el punto P = ~ (s) al vector ~ 00 (s). LLamaremos curvatura o curvatura
de ‡exión al módulo del vector curvatura; esto es, la curvatura de ‡exión es la función
(s) = ~ 00 (s) :
(3)
Interpretación geométrica de la curvatura. La curvatura mide la variación del ángulo
que forman las respectivas rectas tangentes de puntos próximos de la curva. Sea (s) el
ángulo que forma la recta tangente a C en el punto ~ (s0 ) con la recta tangente a C en el
punto ~ (s). Se tiene:
(s)
2sen (s)
(s)
(s) sen 2
2
lim
= lim
= lim
;
(s)
s!s0 js
s!s
s!s
s0 j
s0 j
s0 j
0 js
0 js
2
y teniendo en cuenta la igualdad
~ 0 (s)
obtenemos:
lim
s!s0
~ 0 (s0 ) = 2sen
~ 0 (s)
2sen (s)
2
= lim
s!s0
js s0 j
js
(s)
;
2
~ 0 (s0 )
= ~ 00 (s0 ) :
s0 j
Proposición. El vector curvatura (si (s) 6= 0) es perpendicular al vector tangente.
Demostración. Como jj~t(s)jj = 1 se tiene ~t(s) ~t(s) = 1. Derivando dicha identidad se
tiene:
0 = (~t(s) ~t(s))0 = 2~t 0 (s) ~t(s) =) ~t(s) ~ 00 (s) = 0:
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1.4
Normal principal. Plano osculador
De…nición. Llamamos vector normal principal y lo denotamos por ~n al vector unitario
en la direccción del vector curvatura; esto es,
~n(s) =
~ 00 (s)
:
~ 00 (s)
(4)
Se tiene la primera fórmula de Frenet:
~t 0 (s) = ~ 00 (s) = ~ 00 (s)
~ 00 (s)
= (s)~n(s):
~ 00 (s)
(5)
De…nición. La recta normal principal a una curva C en un punto P es la recta que
contiene al punto P y tiene vector director el vector normal a la curva en P . Por tanto, la
recta normal principal a la curva C con vector normal ~n en el punto P tiene la siguiente
parametrización natural:
!
~r( ) = OP + ~n:
De…nición. El plano osculador de una curva C en un punto P es el plano que contiene a
las rectas tangente y normal de la curva en el punto P .
Sea la curva C con vector tangente ~t = (v1 ; v2 ; v3 ) y vector normal principal ~n =
(n1 ; n2 ; n3 ) en el punto P = (a; b; c). Un punto X pertenece al plano osculador si y sólo si
!
el vector P X es combinación lineal de los vectores ~t y ~n. Por tanto es ortogonal al vector:
~t ^ ~n. Luego, X pertenece al plano osculador si y sólo si P!
X (~t ^ ~n) = 0.
Si (x; y; z) son las coordenadas del punto X estas deben veri…car la siguiente ecuación:
!
!
P X (~t ^ ~n) = det(P X; ~t; ~n) =
x
a y
t1
n1
b z
t2
n2
c
t3
n3
= 0:
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1.5
Circunferencia osculatriz
De…nición. Llamamos circunferencia osculatriz de la curva C en el punto P = ~ (s0 ) a
una circunferencia contenida en el plano osculador de C en P cuyo centro, llamado centro
de curvatura, se encuentra sobre la recta normal principal en la dirección del vector ~n y
cuyo radio es (s0 ) = 1= (s0 ). Veáse el siguiente dibujo.
Nota. La circunferencia osculatriz tiene un orden de contacto máximo con la curva (tiene
el mismo vector tangente y mismo vector normal que la curva en el punto P ).
El centro Z de la circunferencia osculatriz en el punto P = ~ (s0 ) satisface la siguiente
ecuación:
!
OZ = ~ (s0 ) + (s0 )~n(s0 ):
La circunferencia osculatriz es la interesección de la esfera de ecuación:
!
jjOX
!
OZjj = (s0 )
y el plano osculador de ecuación:
!
!
P X (~t ^ ~n) = det(P X; ~t; ~n) = 0:
Ecuaciones paramétricas de la circunferencia osculatriz en el punto P = ~ (s0 ):
!
~r( ) = OZ + (s0 ) cos( )~t + sin( )~n ;
2 [0; 2 ):
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1.6
Recta binormal y plano recti…cante
De…nición. Llamamos vector binormal y lo denotamos por ~b al vector unitario ortogonal
al vector tangente y al vector normal; esto es,
0
00
~b(s) = ~t(s) ^ ~n(s) = ~ (s) ^ ~ (s) :
~ 00 (s)
(6)
De…nición. La recta binormal a una curva C en un punto P es la recta que contiene
al punto P y cuyo vector director es el vector binormal a la curva en P . Por tanto,
la recta binormal a la curva C con vector binormal ~b en el punto P tiene la siguiente
parametrización natural:
!
~r( ) = OP + ~b:
Ejemplo. En el siguiente dibujo se han representado las rectas tangente, normal principal
y binormal de la curva con parametrización ~r(t) = (1 sin2 (t); sin(t); 1 + cos(t)), con
t 2 [0; 2 ), en el punto P = ~r( =4):
De…nición. El plano recti…cante de una curva C en un punto P = ~ (s0 ) = (a; b; c) es el
plano que contiene a las rectas tangente y binormal de la curva en el punto P . Por tanto,
el plano recti…cante tiene la siguiente ecuación vectorial:
!
(OX
!
OP ) ~n(s0 ) = 0 () (x
a) n1 + (y
b) n2 + (z
c) n3 = 0:
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1.7
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Triedro móvil o de Frenet
Sea C una curva con representación natural ~ : J R ! R3 , vector tangente ~t(s), vector
normal ~n(s) y vector binormal ~b(s) en cada punto de la curva P = ~ (s).
De…nición. El triedro f~t(s); ~n(s); ~b(s)g se denomina triedro de Frenet y en cada punto
P = ~ (s) de la curva C forma una referencia afín de R3 .
Nota. El triedro de Frenet nos da una referencia afín a lo largo de la curva C y por ello
también se denomina triedro móvil. Los vectores ~t(s); ~n(s); ~b(s) satisfacen las siguientes
relaciones:
~t(s) ~t(s) = 1; ~n(s) ~n(s) = 1; ~b(s) ~b(s) = 1;
~t(s) ~n(s) = 0; ~t(s) ~b(s) = 0; ~n(s) ~b(s) = 0:
Por tanto, la referencia fP ; ~t(s); ~n(s); ~b(s)g es ortonormal y está orientada positivamente.
Nota. Las rectas tangente, normal y binormal forman los ejes del triedro en cada punto
de la curva y los planos normal, osculador y recti…cante forman los planos cartesianos
respecto de dicha referencia.
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1.8
Torsión
Proposición. Si una curva C con parametrización natural ~ : I ! R3 es plana entonces
está contenida en su plano osculador.
Demostración. Supongamos que C está contenida en un plano con vector normal ~ .
Por tanto, (~ (s) ~ (s0 )) ~ = 0.
Derivando la identidad anterior obtenemos: ~ 0 (s) ~ = 0 =) ~ es ortogonal a ~t(s).
Derivando de nuevo, obtenemos: ~ 00 (s) ~ = 0 =) ~ es ortogonal a ~n(s).
Luego el vector ~ es paralelo ~b(s) para todo s 2 I, y el plano es el plano osculador.
Para medir la separación de la curva de su plano osculador en un punto o equivalentemente
la variación del plano osculador de un punto a otro de la curva, estudiamos la variación
del vector binormal.
Calculamos la derivada de ~b(s) utilizando la expresión ~b(s) = ~t(s) ^ ~n(s). Teniendo en
cuenta la primera fórmula de Frenet (5), tenemos:
~b0 (s) = ~t 0 (s) ^ ~n(s) + ~t(s) ^ ~n0 (s)
= (s)~n(s) ^ ~n(s) + ~t(s) ^ ~n0 (s)
= ~t(s) ^ ~n0 (s):
Como ~b(s) es un vector unitario se tiene: ~b0 (s) ~b(s) = 0.
Conclusión. ~b0 (s) es ortogonal a ~t(s) y a ~b(s). Luego ~b0 (s) es proporcional a ~n(s); esto
es, existe una función para cierta función (s) tal que:
~b0 (s) =
(s)~n(s);
(7)
que es la llamada tercera fórmula de Frenet.
La función (s) mide la variación del plano osculador en puntos próximos de la curva.
Teniendo en cuenta ~n(s) ~n(s) = 1 obtenemos: ~b0 (s) ~n(s) =
(s).
De…nición. Llamamos torsión o curvatura de torsión a la función (s); esto es,
(s) = ~b0 (s) ~n(s):
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Proposición. Una curva C con parametrización natural ~ : I ! R3 es plana si y sólo si
(s) = 0 para todo s 2 I.
Demostración. Ya hemos visto que si C es una curva plana entonces está contenida en
su plano osculador. Por tanto, ~b0 (s) = ~0 y de (s) = ~b0 (s) ~n(s) se deduce (s) = 0.
Supongamos ahora (s) = 0 para todo s 2 I. Por tanto, ~b0 (s) = ~0; esto es, ~b(s) = ~b(s0 )
es un vector constante. Veamos que (~ (s) ~ (s0 )) ~b(s0 ) = 0. Tomamos la función
f (s) = (~ (s) ~ (s0 )) ~b(s0 ). Se tiene: f (s0 ) = 0 y
f 0 (s) = ~ 0 (s) ~b(s0 ) = 0 pues ~b(s0 ) es ortogonal a ~t(s);
con lo que se concluye: f (s) = f (s0 ) = 0.
~b0 (s) ~n(s)
Fórmula útil. Sustituyendo la derivada del vector binormal en (s) =
obtenemos:
(s) =
=
=
~b0 (s) ~n(s)
(~t 0 (s) ^ ~n(s) + ~t(s) ^ ~n0 (s)) ~n(s)
(~t(s) ^ ~n0 (s)) ~n(s):
Calculamos ahora : ~n0 (s). Tenemos: ~ 00 (s) = ~ 00 (s) ~n(s) luego:
~ 000 (s) =
~ 00 (s) ~ 000 (s)
~n(s)
k~ 00 (s)k
+ ~ 00 (s) ~n0 (s) =) ~n0 (s) =
~ 00 (s) ~ 000 (s)
2
k~ 00 (s)k
~n(s) +
1
k~ 00 (s)k
Sustituyendo en la expresión de (s) tenemos:
(s) =
=
=
~t(s) ^
1
2
00
~
(s)
k
k
~ 00 (s) ~ 000 (s)
n(s) + ~ 001(s) ~ 000 (s)
2 ~
k
k
k~ 00 (s)k
0
000
00
~ (s) ^ ~ (s) ~ (s)
[~ 0 (s);~ 00 (s);~ 000 (s)]
:
2
k~ 00 (s)k
~n(s)
~ 000 (s):
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1.9
Fórmulas de Frenet-Serret
Vamos a calcular la variación del vector normal.
El vector normal es un vector unitario y, por tanto, ~n0 (s) es ortogonal a ~n(s). Por tanto,
~n0 (s) es combinación lineal de los vectores tangente y binormal. Esto es,
~n0 (s) = (s)~t(s) + (s)~b(s):
Como la referencia fP ; ~t(s); ~n(s); ~b(s)g es ortonormal y está orientada positivamente se
tiene: ~n(s) = ~b(s) ^ ~t(s). Derivando la identidad anterior y utilizando las fórmulas de
Frenet (7) y (5), obtenemos:
~n0 (s) = ~b0 (s) ^ ~t(s) + ~b(s) ^ ~t 0 (s)
=
(s)~n(s) ^ ~t(s) + ~b(s) ^ (s)~n(s)
= (s)~b(s)
(s)~t(s):
(8)
Obtenemos así la tercera fórmula de Frenet.
Las fórmulas de Frenet-Serret (5), (8) y (7) pueden escribirse de forma uni…cada utilizando
la siguiente notación matricial:
0 0
1 0
10
1
~t (s)
~t(s)
0
(s)
0
@ ~n0 (s) A = @
(s)
0
(s) A @ ~n(s) A
0
~b (s)
~b(s)
0
(s) 0
Aplicación de las fórmulas de Frenet-Serret.
Proposición. Sea C una curva regular con parametrización natural ~ : I ! R3 . Si ~ tiene
curvatura constante no nula y torsión nula, entonces está contenida en una circunferencia.
Demostración. Como la torsión es nula la curva es plana y está contenida en su plano
osculador que es ortogonal al vector binormal que es constante. Consideremos la función:
~ (s) = ~ (s) + 1 ~n(s):
Derivando la función anterior y teniendo en cuenta la segunda fórmula de Frenet-Serret
obtenemos
~ 0 (s) = ~ 0 (s) + 1 ~n0 (s)
= ~ 0 (s) +
1
~t(s) + ~b(s) = ~ 0 (s)
~t(s) = 0:
!
Por tanto, ~ (s) = OZ de…ne un único punto que no depende de s y jj~ (s)
Luego C está contenida en la circunferencia de centro Z y radio 1= .
!
OZjj = 1 .
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1.10
Resumen
Sea C una curva con parametrización natural ~ : I ! R3 .
Curvatura: (s) = ~ 00 (s) .
[~ 0 (s);~ 00 (s);~ 000 (s)]
Torsión: (s) =
.
2
k~ 00 (s)k
Triedro de Frenet: f~t(s); ~n(s); ~b(s)g con
8
~t(s) = ~ 0 (s);
>
>
00
<
(s)
;
~n(s) = ~~ 00 (s)
k
k
>
0
00
(s)
>
: ~b(s) = ~t(s) ^ ~n(s) = ~ (s)^~
:
00
k~ (s)k
Fórmulas de Frenet-Serret :
1.11
Aplicaciones
8 0
< ~t (s) = (s)~n(s);
~n0 (s) =
(s)~t(s) + (s)~b(s);
: ~0
b (s) =
(s)~n(s):
Entorno tubular (Pipe surface) es la super…cie que consiste en un tubo de radio r alrededor de una curva C.
Suponemos la curva con parametrización natural ~ : I ! R3 . Como los vectores ~n(s) y
~b(s) forman una base ortonormal del plano normal a la curva parametrizamos la circunferencia contenida en el plano normal de la curva en el punto ~ (s) y de centro el punto ~ (s)
como sigue:
~r(s; ) = ~ (s) + r
cos ~n(s) + sin ~b(s) ;
s 2 I;
2 [0; 2 ):
Podemos obtener otras super…cies tomando el radio variable r = r(s).
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Cubierta de pendiente constante. Super…cie reglada formada por rectas que se apoyan
sobre una curva plana y que forman un ángulo constante con el plano que contiene la curva.
Consideramos la super…cie con curva directriz una elipse con parametrización
~c(u) = (2 cos(u); 3 sin(u); 0);
0
u
2 :
y rectas de pendiente constante respecto al plano que la contiene. En cada punto de la
elipse consideramos una recta en el plano normal a la curva y que forma un ángulo …jo 0
respecto al plano z = 0. Por tanto, el vector director de dichas rectas es:
w(u)
~
= cos(
n(u)
0 )~
+ sin(
~
0 )b(u);
donde ~n(u) y ~b(u) son los vectores normal y binormal a la curva en el punto ~c(u). La
parametrización de la super…cie es, por tanto,
~r(u; v) = ~c(u) + v w(u)
~
= ~c(u) + v cos(
n(u)
0 )~
+ sin(
~
0 )b(u)
;
0
u
2 ; 0
v
1:
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1.12
Problemas
1. [RS-R, Tema 4, Problema 6] Calcular la curvatura, la torsión y el triedro de Frenet
de la curva con parametrización
4
5
~ (s) = (
cos(s); 2
sen (s);
3
5
cos(s)):
2. Hallar la curvatura, torsión y plano osculador de la curva dada como intersección de
dos super…cies con ecuaciones:
x2 + y 2 + z 2 + (x + 2y
x + 2y z = 3
z) = 12
3. [RS-R, Tema 4, Problema 8] Probar que la curva ~ : ( 1; 1) ! R3 dada por
~ (s) =
1
(1
3
+ s)3=2 ;
1
(1
3
s)3=2 ;
p1 s
2
;
está parametrizada por la longitud de arco. Hallar su curvatura, torsión y triedro de
Frenet.
4. [RS-R, Tema 4, Problema 9] Sea ~ : I ! R una curva parametrizada por el arco
cuya traza está contenida en una esfera S. Supongamos que las binormales a ~
son tangentes a S para todo valor del parámetro s. Probar que la traza de ~ está
contenida en una circunferencia.
5. Obtener la curva intersección de la super…cie reglada formada por las rectas tangentes
a la curva
~ (s) = cos ps2 ; sen ps2 ; ps2
con el plano de ecuación x = 0.
1.13
Bibliografía
1. Jose M. Rodriguez Sanjurjo, Jesús M. Ruiz, Introducciónn a la Geometría Diferencial
I. Curvas. Ed. Sanz y Torres, Madrid, 2012.
2. Dirk J. Struik, Geometría diferencial clásica, Aguilar de ediciones, Madrid, 1973.