Ejercicios resueltos

T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
9. TEOREMA DEL SENO - COSENO
DISTANCIAS AL AVIÓN
Un avión vuela a 700 m de altura y es observado, simultáneamente, por dos individuos A y B, separados
300 m. El ángulo de elevación en que A observa el avión es 13º y el ángulo que forma la visual de A al avión
con la recta que una A y B es de 45º. Halla las distancias de A y B al avión.
B
700 m
90º
13º
45º
300 m
A
DIAGONAL CONOCIDO LADO Y ÁNGULOS
Un lado de un paralelogramo mide 56 cm y los ángulos formados por este lado y las diagonales miden 30º y
45º. Calcula la longitud de las diagonales y el lado que falta.
DIAGONALES DE UN ROMBOIDE
Halla la medida de las diagonales del siguiente paralelogramo:
DIAGONAL DE UN PARALELOGRAMO
Calcula los lados, la diagonal AC y el área de la siguiente figura:
ALTURA ESTATUA
Una pendiente de 50 m de largo y una inclinación de 13º conduce al pie de una estatua. Calcular la altura de
esta sabiendo que desde el inicio de la pendiente, el ángulo de elevación del punto más alto de la estatua
es de 81º.
ALTURA DEL AVIÓN
Un avión vuela entre dos ciudades A y B que distan entre sí 80 km. Las visuales desde el avión a las
ciudades A y B forman ángulos de 29º y 43º, respectivamente con la horizontal.
a) ¿A qué altura vuela el avión?
b) ¿A qué distancia se encuentra de cada ciudad?
Luisa Muñoz
1
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
RADIO DE CIRCUNFERENCIA
El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcular el ángulo que formarán las tangentes a dicha
circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
A
25
α
O
P
36
B
PERÍMETRO DE UN CUADRILÁTERO
Hallar el perímetro del siguiente cuadrilátero:
C
135º
D
30º
5 cm
B
60º
8 cm
A
PIRÁMIDE DE KEOPS
En la pirámide de Keops, cuadrangular, el lado de la base mide 230 m y el ángulo que forma una cada con
A
la base es de 52. Calcular:
a) La altura de la pirámide.
b) La altura de una cara.
c) La arista de una cara
h
d) El ángulo que forma la arista con la base
α
O
5
C
H
230
B
ENTRE MOLINOS
Observa el dibujo:
a) ¿Cómo medirías la distancia entre los dos
molinos si te encuentras al otro lado de la
autopista?
b) Calcula esa distancia con los datos que
aparecen en el dibujo.
100º
50º
70º
15º
Luisa Muñoz
2
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
DISTANCIAS AL AVIÓN
Un avión vuela a 700 m de altura y es observado, simultáneamente, por dos individuos A y B,
separados 300 m. El ángulo de elevación en que A observa el avión es 13º y el ángulo que forma la
visual de A al avión con la recta que una A y B es de 45º. Halla las distancias de A y B al avión.
B
700 m
90º
13º
45º
300 m
A
Solución:
O
Empleando el triángulo AOH:
700
700
sen 13º =
→ OA =
= 3111,79 m
OA
sen 13º
B
700
m
Aplicando el teorema del coseno en el triángulo ABO:
2
2
2
OB = AB + OA – 2 · AB · OA · cos OAB
2
2
90
45º
300
H
2
OB = 3111,79 + 300 – 2 · 3111,79 · 300 · cos 45º
A
OB = 2963,19 m
DIAGONAL CONOCIDO LADO Y ÁNGULOS
Un lado de un paralelogramo mide 56 cm y los ángulos formados por este lado y las diagonales
miden 30º y 45º. Calcula la longitud de las diagonales y el lado que falta.
Solución:
a) Longitud de las diagonales:
B
C
El ángulo AOD mide : 180º – (45º + 30º) = 105º
Sabemos que en un paralelogramo las dos diagonales se
cortan en el punto medio, con lo cual el problema se reduce
a calcular los lados AO y DO del triángulo AOD.
O
A
45º
30º
56 cm
D
Aplicamos el teorema del seno:
AO
56
OD
AO
56
OD
=
=
→
=
=
sen 45º sen 105º sen 30º
sen 45º sen 105º sen 30º
AO
56
56·sen 45º
=
→ AO =
= 41cm → AC = 82 cm
sen 45º sen 105º
sen 105º
OD
56
56·sen 30º
=
→ OD =
= 29 cm→ DB = 58 cm
sen 30º sen 105º
sen 105º
b) Longitud del lado AB:
El ángulo AOB mide: 180º – AOD = 180º – 105º = 75º
Aplicamos el teorema del coseno:
AB = OB + OA – 2 · OB · OA · cos AOB = 29 + 41 – 2 · 29 · 41 · cos 75º = 2096,53 → AB = 43,66 cm
2
2
Luisa Muñoz
2
2
2
3
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
DIAGONALES DE UN ROMBOIDE
Halla la medida de las diagonales del siguiente paralelogramo:
Solución
Trabajando con el triángulo DBC, calculamos la medida de la diagonal DB:
Aplicando el teorema del coseno:
2
2
2
DB = BC + DC – 2 · BC · DC · cos C
DB = 6 + 8 – 2 · 6 · 8 · cos 150º = 183, 14 → DB = 13,53 cm
2
2
2
Trabajando con el triángulo ADC, calculamos la medida de la diagonal AC:
Aplicando el teorema del coseno:
2
2
2
AC = AD + DC – 2 · AD · DC · cos D
AC = 6 + 8 – 2 · 6 · 8 · cos 30º = 16,86 → AC = 4,11 cm
2
2
2
DIAGONAL DE UN PARALELOGRAMO
Calcula los lados, la diagonal AC y el área de la siguiente figura:
Solución
Trabajando con el triángulo ADB, calculamos la medida de los lados:
A = 180º - ( 40º + 15º) = 125º
Aplicando el teorema del seno:
125º
AB
DB
20 · sen 40º
=
→ AB =
= 15,7 cm
sen 40º sen 125º
sen125º
AD
DB
20 · sen 15º
=
→ AD =
= 6,32 cm
sen15º sen 125º
sen125º
15º
40º
125º
H
Trabajando con el triángulo ADC, calculamos la medida de la diagonal AC:
Aplicando el teorema del coseno:
2
2
2
AC = AD + DC – 2 · AD · DC · cos D
AC = 6,32 + 15,7 – 2 · 6,32 · 15,7 · cos 55º → AC = 12,14 cm
2
2
2
Trazando al altura correspondiente al vértice A, calculamos la medida de la altura AH:
sen 55º =
AH
→ AH = AD · sen 55º = 5,18 cm
AD
Área del triángulo: A =
Luisa Muñoz
1
1
2
DC· AH = ·15,7·5,18 = 81,32 cm
2
2
4
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
ALTURA ESTATUA
Una pendiente de 50 m de largo y una inclinación de 13º conduce al pie de una estatua. Calcular la
altura de esta sabiendo que desde el inicio de la pendiente, el ángulo de elevación del punto más
alto de la estatua es de 81º.
Solución
Trabajando con el triángulo ABC, calculamos la medida AB:
B
C = 81º - 13º = 68º
B = 180º - (68º + 103º) = 9º
50
AB
50·sen 68º
=
→ AB =
= 296,35 m
sen 9º sen 68º
sen 9º
103º
50 m
C
La altura es 296,35 m
A
77º
81º
13º
ALTURA DEL AVIÓN
Un avión vuela entre dos ciudades A y B que distan entre sí 80 km. Las visuales desde el avión a las
ciudades A y B forman ángulos de 29º y 43º, respectivamente con la horizontal.
c) ¿A qué altura vuela el avión?
d) ¿A qué distancia se encuentra de cada ciudad?
29º
43º
h
B
80 km
A
Solución
Aplicamos el teorema del seno, para calcular la distancia a cada ciudad:
C = 180º - (29º + 43º) = 108º
C
AB
AC
80 · sen 43º
=
→ AC =
= 57,36 km
sen108º sen 43º
sen108º
h
AB
BC
80 · sen 29º
=
→ BC =
= 40,78 km
sen108º sen 29º
sen108º
43º
B
29º
A
80 km
Para calcular la altura:
sen 29º =
Luisa Muñoz
h
→ h = AC · sen 29º = 27, 81 Km
AC
5
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
RADIO DE CIRCUNFERENCIA
El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcular el ángulo que formarán las tangentes a dicha
circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
Solución
En una circunferencia, la tangente y el radio que pasa por el punto de contacto son perpendiculares.
Aplicando el teorema del coseno en el triángulo AOB, calculamos el ángulo AOB :
2
2
2
A
36 = 25 + 25 – 2 · 25 · 25 · cos AOB
cos AOB = -0,0368 → AOB = 92º 6´32´´
25
α
O
Considerando el triángulo rectángulo OAP:
P
36
α
AOB
= 43º 56´44´´
= 90º −
2
2
B
Por tanto, α = 87º 53´28´´
PERÍMETRO DE UN CUADRILÁTERO
Hallar el perímetro del siguiente cuadrilátero:
C
135º
D
30º
5 cm
B
60º
8 cm
A
Solución
Trabajando con el triángulo ADB, calculamos la medida de la diagonal DB:
Aplicando el teorema del coseno:
2
2
2
DB = AD + AB – 2 · AD · AB · cos A
DB = 5 + 8 – 2 · 5 · 8 · cos 60º = 49 → DB = 7 cm
2
2
2
Trabajando con el triángulo BDC, calculamos la medida de los lados DC Y CB:
D = 180º - (C + B) = 180º - 165º = 15º
DB
DC
7 · sen 15º
=
→ DC =
= 2,56 cm → DC = 2,56 cm
sen135º sen 15º
sen135º
DB
CB
7 · sen 30º
=
→ CB =
= 4,95 cm → CB = 4,95 cm
sen135º sen 30º
sen135º
Perímetro: 5 + 8 + 2,56 + 4,95 = 20,51 cm
Luisa Muñoz
6
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
PIRÁMIDE DE KEOPS
En la pirámide de Keops, cuadrangular, el lado de la base mide 230 m y el ángulo que forma una
cada con la base es de 52. Calcular:
A
1. La altura de la pirámide.
2. La altura de una cara.
3. La arista de una cara
4. El ángulo que forma la arista con la base
h
α
O
5
C
H
230
B
Solución
Trabajando con el triángulo OAH, calculamos la altura h y AH:
tg52º =
h
→ h = 115 · tg 52º = 147,19 m
115
cos 52º =
115
115
→ AH =
= 186,79 m
AH
cos 52º
Trabajando con el triángulo ABH, calculamos la arista AB :
AB = AH + BH = 186,79 + 115 → AB = 219,35 m
2
2
2
2
2
Trabajando con el triángulo OAB, calculamos el ángulo α :
sen α =
Luisa Muñoz
OA 147,19
=
= 0,671 → α = 42º 8´º 39´´
AB 219,35
7
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
ENTRE MOLINOS
Observa el dibujo:
a) ¿Cómo medirías la distancia entre los dos molinos si te encuentras al otro lado de la
autopista?
b) Calcula esa distancia con los datos que aparecen en el dibujo.
100º
50º
70º
15º
Solución
Trabajando con el triángulo OAB, calculamos OA y OB:
N
AOB = 180º – 70º – 15º = 95º → NOB = 180º – 95º = 85º
M
OB
300
300 · sen 70º
=
→ OB =
= 282,98 m
sen 70º sen 95º
sen 95º
60º
65º
OA
300
300 · sen15º
=
→ OA =
= 77,94 m
sen15º sen 95º
sen 95º
O
85º
95º
100º
Trabajando con el triángulo OAM, calculamos OM:
50º
70º
M = 180º – 30º – 85º = 65º
A
OM
77,94
77,94 · sen 30º
=
→ OM =
= 43 m
sen 30º sen 65º
sen 65º
15º
300 m
B
Trabajando con el triángulo ONB, calculamos ON:
N = 180º – 35º – 85º = 60º
ON
282,98
282,98 · sen 35º
=
→ ON =
= 187,42 m
sen 35º sen 60º
sen 60º
Trabajando con el triángulo ONM, calculamos MN:
2
2
2
2
2
MN = OM + ON – 2 · OM · ON · cos 95º = 43 + 187,42 – 2· 43· 187,42 · cos 95º =38380,04
MN = 195,91 m
Luisa Muñoz
8