SECCIÓN 2: CÁLCULO DEL GOLPE DE ARIETE

Impulsión de Aguas Residuales: Golpe de Ariete en Tuberías de Impulsión
SECCIÓN 2: CÁLCULO DEL GOLPE DE ARIETE
CÁLCULO DEL GOLPE DE ARIETE SEGÚN ALLIEVI
El impacto de la masa líquida ante una válvula no es igual si el cierre es instantáneo o
gradual. La onda originada no tendrá el mismo comportamiento, por ello distinguimos entre
cierre instantáneo y gradual
cierre instantáneo
Como sabemos, al cerrar una válvula se produce una sobrepresión ∆p. El aumento de
presión viene producido por la fuerza que cada una de las rebanadas de la masa líquida van
ejerciendo en las contiguas al cesar su velocidad. La fuerza originada vale:
F = S · ∆p
por otra parte tendrá que verificarse que el impulso mecánico habrá de ser igual a la variación
de la cantidad de movimiento de la masa líquida comprimida, m = ñ.S.∆L , al pasar de una
velocidad V a otra menor V’ y para el caso de cierre instantáneo es V’ = 0
F.t = m .∆V
durante el tiempo que en el tramo de longitud ∆L de tubería, tarda en detenerse el fluido, con la
velocidad o celeridad c.
S ⋅ Äp ⋅ ÄL
= ñ ⋅ S ⋅ ∆L ⋅ V
c
∆H =
Äp
ρ⋅g
∆p = ρ .c .V
=
cV
g
valor máximo en el golpe de ariete
- cierre gradual
En un cierre gradual se invierte
completamente la válvula.
un tiempo (no instantáneo) hasta cerrarse
La diferencia con el cierre instantáneo estriba en que el cierre gradual cuando la onda ha
recorrido una distancia 2L, es decir, ha ido de B hasta A y vuelve, puede ocurrir que la válvula
no esté todavía cerrada, depende del tiempo T de cierre y de la longitud L de la conducción.
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Una conducción larga puede tener el mismo comportamiento ante el golpe de ariete que
una corta con menos tiempo de cierre. Por tanto, cabe hablar de cierre rápido o cierre lento lo
que equivale a distinguir entre conducción larga o corta.
T <
2⋅L
c .T
, cierre rápido ⇒ a L >
conducción l arg a
c
2
T <
2 ⋅L
, cierre lento ⇒ a
c
L <
c .T
conducción
2
corta
para el caso de cierre rápido, estaríamos en el caso de aplicar la misma expresión que en el
cierre instantáneo.
VELOCIDAD DE LA ONDA EN EL GOLPE DE ARIETE
Si la tubería fuese rígida (inelástica) y el fluido incompresible, al cerrar
instantáneamente la válvula la velocidad de propagación de la onda seria infinita. En efecto, al
cerrar en B, no hay posibilidad de que continue entrando por A líquido en la tubería. El caudal
sería nulo, con lo que c = ∞ .
Si la tubería fuera rígida y el fluido compresible, la celeridad de la onda tendrá el valor
la velocidad del sonido en ese fluido. Aunque se haya cerrado la válvula en B, como el líquido
es compresible, sigue entrando caudal.
Ninguno de los anteriores casos es real, el fluido siempre es compresible y la tubería
elástica. Por tanto, la velocidad de propagación de la onda será menor que la velocidad del
sonido en el fluido.
La celeridad de la onda en tuberías viene definida por la fórmula de Joukowski
k
ρ
c=
1+
k.D
E .e
k = módulo de elasticidad del fluido; ρ = densidad del fluido; D = diámetro de la tubería; E =
módulo de elasticidad del material constitutivo de la tubería y e = espesor de la tubería.
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El valor del numerador se corresponde con el valor de la velocidad del sonido en el propio
fluido. Si E correspondiese a un material inelástico E = ∞ , el denominador de la expresión
k
, valor que se obtendría para una tubería inelástica
ρ
anterior valdría la unidad , quedaría c =
y por tanto no real, la celeridad real será inferior.
La llamada fórmula de Allievi, para el cálculo de la celeridad de la onda en el golpe de
ariete, no es más que una particularización de la fórmula de Joukowski. La velocidad del sonido
en el agua tiene un valor de 1425 m/s, y su módulo de elasticidad es k = 2,03· 109 N/m 2 , a la
temperatura de 10 ºC.
La fórmula anterior queda simplificada, la llamada fórmula de Allievi para el agua:
9900
c=
48,3 +
â ⋅D
e
siendo â un valor adimensional igual a 1010 /E.
En la tabla 1 se recogen módulos de elasticidad E y valores de β, de algunos materiales.
Tabla 1
Valores de β en la fórmula de Allievi
Material
E módulo de elasticidad β
Kp/cm2
Acero
2.000.000
0,5
Aluminio
700.000
1,43
Fundición dúctil
1.700.000
0,50
Fundición laminar
1.000.000
1
Hormigón
200.000
5
Plomo
200.000
10
Polietileno alta densidad (HDPE)
9000
111,11
Polietileno baja densidad (LDPE)
2000
500
PVC
30.000
33,33
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PRESIONES MÁXIMAS
Atendiendo a la clasificación anterior, en cierre gradual, cabe distinguir los casos de:
cierre rápido y lento.
Analicemos cuales son las presiones máximas originadas por un golpe de ariete, para
conocer con exactitud los diferentes valores que pueden presentarse, con el fin de considerar el
material o timbraje de las tuberías a emplear.
En el cierre instantáneo la presión máxima vendría dada por el valor que obtenga en la
fórmula de Allievi, sea cual fuese la longitud de la conducción.
Cierre instantáneo
Cuando el cierre es instantáneo, en B (fig. 9.2) se alcanza el valor máximo del golpe
desde el principio, t = 0, y se mantiene durante t = 2L/c como se observa en la fig. 9.12
L
P
Äp
.
0
L/c
2L / c
t
fig. 9.12
Cierre rápido
En el cierre gradual, el golpe aparece en B gradualmente alcanzándose el punto de valor
máximo en el instante T final del cierre, cuando t = T manteniéndose hasta
t = 2L/c.
En la gráfica (fig. 9.13) se aprecian las líneas piezométricas (LP) de dos casos diferentes
de cierres de válvulas, con distintos tiempos.
L
Äp
ρ· .c.V
L/c
t
T
fig. 9.13
T
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El primer cierre T es menor que L/c y el segundo mayor. En ambos casos se alcanza el
valor máximo del golpe ∆p = ρ c V .
Es lo que acontece en B, en el resto de la conducción, en cada instante, cada sección
tendrá un valor de Äp. Sus LP, nos indicarán el valor de ellas, valor para el que elegiríamos el
timbraje de nuestra tubería.
Establecemos cuatro intervalos arbitrarios de tiempo (fig. 9.14). El tiempo total de ida y
vuelta de la conducción es 2L/c, podrían ser los siguientes intervalos:
0 < T < L/2c;
L/2c < T < L/c ;
L/c < T < 3L/2c;
3L/2c < T < 2L/c
Estudiemos el primer caso, 0 < T < L/2c, se cierra la válvula antes de que la onda llegue
a la mitad de la conducción L/2.
4
3
H
2
1
H
H
H
H
A
K
Q
B
1
M
P
B
fig. 9.14
La línea naranja es la LP antes de cerrar la válvula. Las líneas 1 y 2 indican la presión en
los instantes t = T y t = L/2c respectivamente. En el tramo AM antes del instante t = L/2c, la
presión es la línea naranja. Igualmente en el tramo AP, antes del instante t = T.
Cuando t = 0, conforme se va cerrando la válvula van apareciendo en B incrementos de
presión, con sus ondas que los transmiten. Cuando se cierra la válvula, esto es, cuando t = T, en
B se produce el último incremento de presión. En ese momento, esta última onda se dirige hacia
B, pero en P se encuentra la primera onda.. Observemos que cuando la primera onda alcanza el
punto medio, el incremento de presión de la última no cambia, ya que la válvula esta cerrada.
Lo que si cambia es la presión en cada instante, las pérdidas de carga van disminuyendo. Véase
las líneas de puntos como cada vez son menores hasta llegar a B1 .
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La línea 3 presenta la LP correspondiente al instante t = L/c. Una parte de la línea va
ascendiendo desde A, otro tramo horizontal, hasta la vertical sobre B. El tramo horizontal
evidentemente tiene la misma presión. La línea ascendente es el correspondiente al tiempo que
tarda en cerrarse la válvula, al cerrarse, el valor de la presión es el mismo .
La presión puede seguir aumentando, aún existen pérdidas de carga. La LP, llegará a
tener un valor máximo, en cuanto no existan pérdidas en el conducto, (por que el conducto a
recorrer por el caudal es nulo).
Al tiempo total que transcurre desde que se empieza a cerrar la válvula hasta el
momento en que la LP es máxima se llama tiempo crítico, la LP máxima, sería el techo de
presiones, ocurrirá cuando no existan pérdidas de carga.
En el instante t = L/c la primera onda se encuentra en A y la última se encuentra en Q.
La distancia AQ = PB, cuando la primera onda llega a P, ha transcurrido un tiempo t = T, la
válvula ya se ha cerrado con lo cual la última onda se acaba de producir. La distancia entre la
primera y la última será PB. Por ello, cuando la primera onda llega a A, la última tiene que estar
una distancia por detrás de valor PB. Esto significa que AQ = PB.
La primera onda estabilizadora arranca de A hacia B y la última onda continua su
camino. Al ser la celeridad la misma se encontraran en el punto medio de AQ. Este punto es K,
es el punto critico. A partir de aquí se compensan ambas ondas y la presión disminuye
linealmente hasta A.
Existe una distancia crítica, longitud critica, la presión va del valor máximo, según la
ecuación de Allievi, al valor cero. Esta longitud es mas pequeña cuanto mas rápido es el cierre,
siendo nula en el cierre instantáneo.
El golpe es el mismo que en el cierre instantáneo, en el cierre instantáneo el valor del
golpe es el mismo en toda la conducción, hay un tramo a partir de A en el cual la presión va de
cero al valor máximo. Si este tramo es muy largo se podría diseñar la tubería con distintos
materiales o distintos timbrajes para economizar, el golpe como hemos dicho no se establece en
toda la conducción con valor máximo sino, que partir del instante crítico disminuye hasta cero
en ese tramo.
En otro intervalo 2L/c se produce lo mismo con golpe negativo. A partir de aquí todo el
proceso se repite, la onda va disipándose hasta desparecer.
En los siguientes casos, cuando el tiempo de cierre está en el segundo medio
tramo ( L/2 c < T < L/c ) o posteriores el proceso es el mismo, con la salvedad de que la
longitud crítica es mayor en cada caso.
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Cierre lento
En el cierre lento la onda, cuando recorre la distancia 2L se encuentra la válvula todavía
abierta, al contrario que en el cierre rápido, en este caso el cierre es posterior, su valor máximo
se produce en el tiempo 2L/c, aunque la válvula termine de cerrarse más tarde, a partir de este
instante todas las ondas que salgan de B hacia A son compensadas por todas las que llegan.
Supongamos que tenemos una conducción de 500 m, una celeridad de la onda de 500
m/s. En dos segundos la onda retorna, cerramos la válvula en 3 segundos el valor máximo se
produce en los dos segundos, ya que a partir de este momento, todas las ondas que surjan en B
son compensadas por todas las ondas estabilizadoras que llegan.
Imaginemos que en la misma conducción anterior, la celeridad es de 500 m/s, cerramos
la válvula en 20 segundos. el valor máximo del golpe se nos produce nuevamente en dos
segundos, ya que a partir de ese momento todas las ondas son compensadas.
No obstante, el valor máximo en cada caso no es el mismo, en un caso la válvula se
encuentra a 2/3 de su superficie cerrada y en otro está 2/20 = 1/10. Los golpes son distintos.
Cuanto más tardemos en cerrar la válvula menos golpe tendremos, el tiempo crítico de 2L/c es
en este caso 2 s.
En la figura 9.15, se observan, las líneas piezométricas (LP) en distintos tiempos.
En el instante L/2c la primera onda se encuentra en M. La LP será la representada por 1
y la continuación por la naranja que aun no esta afectada del golpe.
En el instante L/c la primera onda se encuentra en A. La LP será la 2 .
4
3
2
1
A
M
B
fig. 9.15
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En el instante 3L/2c la primera onda se encuentra en M y la LP de la conducción es la
línea 3 y la continuación por la 4 hasta A
En el instante 2L/c la primera onda se encuentra en B y la LP es la 4. A partir de este
momento, las ondas que salgan de B se compensan con las ondas estabilizadoras que llegan
desde A, con lo cual la presión ya no aumenta.
La presión máxima o techo de presiones es la representada por la línea 4.
El razonamiento es el mismo para cierre rápido.
GOLPE DE ARIETE EN CIERRE LENTO
Teniendo en cuenta lo expuesto en cierre lento y representado en ordenadas ∆p y en
abcisas tiempos, obtenemos la línea de presiones para cierre lento (azul) y rápido (verde).
Rapido
lento
M2
M1
ρ c V
Äp
N1
L/c
N2
2L /
T < 2L/c
c
T > 2L/c
fig. 9.16
De la figura podemos establecer por semejanza de los triángulos OM2 N2 y OM1 N1
M 1N 1 ON 1
=
M 2 N 2 ON 2
∆p =
2LVρ
T
∆p
2L
=
ρ⋅c⋅V
c⋅T
∆H =
2LV
gT
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Es la ecuación de Micheaud, la deducción es anterior a la fórmula de Allievi, en ella no
tiene en cuenta la compresibilidad del agua ni la elasticidad de la tubería.
Jouguet obtuvo también para cierre lento, la mitad del valor de la fórmula de Micheaud,
su expresión es:
∆H =
LV
gT
LONGITUD CRITICA Y TIEMPO CRITICO
Llamamos a la longitud critica Lc.
El tiempo critico es el transcurrido desde el inicio del cierre de la válvula hasta el
instante crítico L + Lc:
tc =
L + Lc
c
El tiempo invertido por la última onda en recorrer la distancia L – Lc, será
tc – T, siendo T el tiempo de cierre de la válvula.
tc − T =
L − Lc
c
Restando ambas ecuaciones, se obtiene
T =
2 Lc
c
Lc =
Tc
2
Podemos simplificar el criterio de clasificación de cierre rápido o lento, que equivale a
distinguir entre conducción larga o corta.
- si L < Lc se trata de una conducción corta
- si L > Lc se trata de una conducción larga
conducción critica aquella en la que su longitud coincide con la longitud critica.
L = Lc .
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Como conclusión hay que manifestar que el valor de la longitud crítica permite
clasificar las conducciones en cortas o largas, siendo el valor del golpe para conducciones
largas el dado por la expresión de Allievi y el de conducciones cortas el dado por Micheaud.
ejemplo 1
En una conducción de 2000 metros de longitud la celeridad de la onda de golpe de ariete es
800 m/s. El tiempo de cierre de la válvula es de 3 s.
Determinar el tiempo y la longitud crítica, e indicar tipo de conducción.
solución:
longitud crítica
Lc =
T ⋅ c 3 ⋅ 800
=
= 1200 m
2
2
tiempo crítico
tc =
2000 + 1200
= 4s
800
si L > Lc se trata de una conducción larga
L > Lc 2000 > 1200 se trata de una conducción larga lo que equivale a un cierre rápido.
ejemplo 2
Determinar el golpe de ariete en una conducción de 2000 m de longitud sabiendo que la
celeridad de la onda es c = 900 m / s y la velocidad del fluido es V = 2 m/s. El tiempo de cierre
de la válvula es T = 3 s.
solución:
longitud critica :
T ⋅ c 3 ⋅ 900
=
= 1350 m
2
2
L > Lc , 2000 > 1350 se trata de una conducción larga
Lc =
aplicando la ecuación de Allievi, obtenemos el valor del golpe, cierre rápido
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LP
183,5
A
LC
V ⋅ c 2 ⋅ 900
∆H =
=
= 183,5 m
g
9,81
C
B
fig. 9.17
el tramo CB soportará los 183,5 m. c. a. de presión. La LP va aumentando hasta alcanzar la
vertical de C
ejemplo 3
Calcular el golpe de ariete en una conducción de 800 m de longitud. La celeridad de la
onda es c = 900 m / s. La velocidad del fluido es V = 3 m/s. El tiempo de cierre de la válvula es
T = 5 s.
solución:
longitud critica:
Lc =
T ⋅ c 5 ⋅ 900
=
= 2250 m
2
2
si L < Lc 800 < 2250 se trata de una conducción corta
Aplicando la ecuación de Micheaud, obtenemos el valor del golpe cierre lento
∆H =
2 ⋅ L ⋅ V 2 ⋅ 800⋅ 3
=
= 98 m
g ⋅T
9,81⋅ 5
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LP
98 m.
A
B
fig. 9.18
El techo de presiones está representado por la línea roja.
CONDUCCIONES CON CARACTERISTICAS VARIABLES
Con frecuencia en una conducción suele ocurrir que su constitución pueda estar formada
por tubos de composición variables, diferentes materiales en los tubos, espesores de distintos
materiales, diferentes diámetros y timbrajes. Suele hacerse un cálculo equivalente que se
asemeje a la realidad para determinar la celeridad.
Diferentes espesores
En las tuberías que están constituidas por diferentes espesores de distinta naturaleza, es
necesario determinar un espesor equivalente al de un solo material. Según esto, podemos
expresarlo de dos formas distintas:
e.E1 = e1 E1 + e2 E2 ;
e.E2 = e1 E1 + e2 E2 ;
e = e1 + e2 (E2 /E1 )
o
e = e1 (E1 /E2 ) + e2
ejemplo 4
Determinar la celeridad de la onda en una tubería de fundición dúctil de 500 mm de
diámetro, y de espesor 4,1 mm (E = 1,7.1010 Kp/m2 ) revestida interiormente de mortero de un
espesor de 6 mm (E = 1.109 Kp/m2 ).
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solución:
e = e1 + e2 (E2 /E1 ) = 4,1 + 6 (1.109 / 1,7.1010 ) = 4,45 mm
el espesor equivalente en fundición es de 4,45 mm. El equivalente en hormigón sería:
e = e1 (E1 /E2 ) + e2 = 4,1(1,7.1010 / 1.109 ) + 6 = 75,7 mm
la celeridad teniendo en cuenta, la tabla 1 para fundición â = 0,5;
D =500 mm e = 4,45 mm
c =
9900
β. D
48,3 +
e
=
9900
0,5.0,5
48,3 +
4,45.10 −3
= 968,5 m / s
Tramos de diferentes materiales
Si se disponen tramos de diferentes materiales y sus longitudes son L1 , L2 , L3 ,... con
celeridades c1 , c2 , c3 , ... y tiempos t1 , t2 , t3 , ... que tarda la onda en recorrer cada tramo
respectivamente
El tiempo total equivalente L/c valdrá:
t = t1 + t2 + t3 + ...
L L1 L2 L3
=
+
+
+ ....
c c1 c 2 c 3
c=
L
L
∑ i
ci
En el cálculo de la velocidad obtenemos una velocidad media, para los tramos L1 , L2 , L3 ,...
con diámetros D1 , D2 , D3 , ... y por tanto velocidades V1 , V2 , V3 , ...
L ⋅ V = ∑ ( L i .Vi )
la velocidad media será::
V=
∑ ( L i ⋅ Vi )
L
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ejemplo 5
Calcular el golpe de ariete en una conducción de dos tramos de distintos materiales de
1000 m cada uno por los que circulan 8 l/s. La celeridad del primer tramo es 1100 m/s y la del
segundo tramo 400 m/s. El diámetro de la primera es 100 mm y el de la segunda 80 mm. El
cierre de la válvula se realiza en 3 segundos.
Solución:
velocidad del primer tramo
4⋅ Q
4 ⋅ 8 ⋅ 10 −3
=
= 1,02 m / s
π ⋅ D2
π ⋅ 0,12
velocidad del segundo tramo
V1 =
4⋅Q
4 ⋅ 8 ⋅ 10−3
V1 =
=
= 1,6 m / s
π ⋅ D2
π ⋅ 0,082
velocidad media
1000 ⋅ 1,02 + 1000 ⋅ 1,6
= 1,31 m / s
L
2000
celeridad media de la onda:
V=
c =
∑ ( Li ⋅ Vi )
=
L
2000
=
= 587 m / s
Li
1000 1000
+
∑
1100 400
cc
longitud crítica:
Lc =
T ⋅ c 3 ⋅ 587
=
= 880,5 m < 2000 m conducción larga
2
2
Aplicando la fórmula de Allievi para cierre rápido, el golpe de ariete vale:
∆H =
c⋅V
587 ⋅ 1,31
=
= 78,4 m
g
9,81
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