TEORIA DE REDES II

TEORIA DE REDES II
SOLUCIÓN del Segundo certamen
TODAS LAS RESPUESTAS DEBEN ESTAR JUSTIFICADAS
TODOS LOS VALORES EN UNIDADES DEL S.I., A MENOS QUE SE ESPECIFIQUE LO CONTRARIO
LAS EXPRESIONES NUMÉRICAS DEBEN SER REDUCIDAS A LA FORMA
MÁS SIMPLE QUE SE PUEDA LOGRAR CON CÁLCULO MANUAL
Problema 2.1 (100 pts.). En la red de la figura se supone que el A.O. es ideal. Calcule la función
Vo (s)
de transferencia H(s) =
Ve (s)
C
R
Ve (s)
−
+
R
C
Vo (s)
R
R
R
Figura 1: Red RC con amplificador operacional
Solución
Aplicaremos el método nodal, con la tierra y las tensiones como se define en la figura de más
abajo
C
R
Ve (s)
R
−
VA (s)
Vo (s)
+
VB (s)
C
R
R
VC (s)
R
Figura 2: Red con tensiones de nodo y tierra
Al aplicar las ecuaciones del método a los nodos A, B y C, se obtiene




 VA (s)

2(G + sC) 0
−sC
−G − sC 
GVe (s)

V
(s)
B
  0 

0
2G
−G
−G  
VC (s) =
−sC
−G 2G + sC
0
0
Vo (s)
(1)
SIn embargo, usando las propiedades del A.O. se sabe que VA (s) = VB (s), con lo que la ecuación
(1) se convierte en


 

2(G + sC)
−sC
−G − sC
VA (s)
GVe (s)

2G
−G
−G  VC (s) =  0 
(2)
−sC − G 2G + sC
0
Vo (s)
0
Esto se puede resolver por inversión de la matrix o, equivalentemente, manipulando las ecuaciones, como se muestra a continuación.
De la segunda y de la tercera ecuación se obtiene, respectivamente
(3)
VC (s) = 2VA (s) − Vo (s)
sC + G
VA (s)
VC (S) =
2G + sC
De estas dos ecuaciones se llega entonces a
(4)
2G + sC
Vo (s)
3G + sC
G + sC
VC (s) =
Vo (s)
3G + sC
Usando estas expresiones en la primera ecuación en (2), se obtiene finalmente
VA (s) =
Vo (s)
3G + sC
=
Ve (s)
G + sC
(5)
(6)
(7)
Problema 2.2 (100 pts.). Considere la red de la figura en la que se supone todas las condiciones
iniciales son cero.
L
+
vf (t)
R
C
vo (t)
N1 : N2
Figura 3: Red RLC con T.I.
2.2.1 [60 pts.] Calcule Vo (s) en función de Vf (s) y de los parámetros de la red.
2.2.2 [20 pts.] Calcule vo (t), ∀t ≥ 0 si R = 4, L = 4 , C = 0,5, vf (t) = 3, ∀t ≥ 0 y 2N1 = N2
2.2.3 [20 pts.] ¿Podrı́a usted ajustar la ubicación de las frecuencias naturales y también la caracterı́stica de los modos naturales, variando sólo la relación N1 : N2 y/o variando la polaridad del
acoplamiento (posición relativa de los “puntos”) ? Ilustre su respuesta con ejemplos numéricos.
2
Solución
La solución se trabajará con una red equivalente, como se muestra en la figura, en la que se ha
eliminado el T.I.
L
Vf (s)
+
K2 R
C
KVo (s)
K=
N1
N2
Figura 4: Red RLC equivalente, sin T.I.
2.2.1 Vo (s) se puede obtener aplicando divisor de tensiones, lo cual lleva a
KVo (s) = −
K2 R
KR
Vf (s) ⇐⇒ Vo (s) = − 2 2
Vf (s)
2
2
2
s K RLC + sL + K R
s K RLC + sL + K2 R
(8)
2.2.2 Con los valores numéricos dados se llega a
Vo (s) = −
2s2
3
3
2
Vf (s) = − 2
=−
+ s4 + 1
(s + 2s + 1/2)s
s(s − λ1 )(s − λ2 )
(9)
Para invertir, usamos fracciones parciales. Primero notamos que los polos
de esta función
√
están √
en s = 0 (frecuencia forzada por la excitación) y en λ1 = −1 + 2/2 ≈ −0,3 y λ1 =
−1 − 2/2 ≈ −1,7 (frecuencias naturales). Entonces
Vo (s) =
Ao
A1
A2
+
+
s
s − λ1 s − λ2
(10)
Ası́ vo (t) = Ao + A1 eλ1 t + A2 eλ2 t .
2.2.3 El polinomio que determina la ubicación de las frecuencias naturales es
p(s) = s2 +
1
K2 RC
s+
1
1
1
= s2 +
s+
2
LC
2K
2
(11)
Como los coeficientes de este polinomio son positivos para todo K > 0, entonces las frecuencias
naturales sólo pueden ser complejas con parte real negativa (para valores muy grandes de K) o
reales y negativas. Ası́, los modos naturales siempre decaerán asintóticamente a cero. Podemos
ilustrar esta afirmación con un par de valores numéricos para K.
Consideremos primero K = 2, entonces las frecuencias naturales son las raı́ces de s2 + 18 s+ 12 = 0,
1
es decir λ1,2 = − 16
±j
√
de frecuencia
127
16 ,
√
127
16 .
Con estos valores, los modos naturales dan origen a una sinusoidal
amortiguada exponencialmente con constante de tiempo igual a 16.
Si ahora consideramos K = 1/4, el polinomio caracterı́stico es s2 + 8s + 21 = 0, cuyas raı́ces son
√
−4± 15,5; este resultado inidca que los modos naturales serı́an dos exponenciales decrecientes
(una de ellas, muy lenta).
Respecto de la polaridad del acoplamiento, podemos apreciar de la fórmula general (11) que
cambiar esa polaridad no tiene ningún efecto en las frecuencias naturales ya que aparece la
razón de transformación al cuadrado.
3
Problema 2.3 (100 pts.). Considere la red de tres puertas de la figura, y suponga que se desea
una caracterización de cortocircuito Ycc , extendiendo la idea desarrollada para la red de dos puertas
2.3.1 [50 pts.] Defina los nueve elementos de la matriz Ycc
2.3.2 [50 pts.] Calcule y11 e y32
i1 (t)
v1 (t)
2
4
2ix (t)
4
4
i2 (t)
4
ix (t)
v2 (t)
4
i3 (t)
v3 (t)
Figura 5: Red lineal de tres puertas.
Solución
2.3.1 La matriz Ycc para esta red tendrı́a nueve elementos yij , i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3. Estos estarı́an
definidos de la siguiente forma
Ii (s)
,
V1 (s)
Ii (s)
yi2 =
,
V2 (s)
Ii (s)
yi3 =
,
V3 (s)
yi1 =
i = 1, 2, 3
con V2 (s) = 0
V3 (s) = 0
(12)
i = 1, 2, 3
con V1 (s) = 0
V3 (s) = 0
(13)
i = 1, 2, 3
con V1 (s) = 0
V2 (s) = 0
(14)
2.3.2 Para calcular y11 e y32 usamos las redes de la figura y aplicamos la definición que se dió más
arriba
Cálculo de y11 (s)
En la red de la izquierda en la Figura 2.3 se han cortocircuitado las puertas 2 y 3. Allı́ también
aparecen, en azul, un conjunto de corrientes, que dependen de ix (t) y que se calculan por
simple aplicación de divisor de corrientes y LCK. A partir de ese diagrama de corrientes se
concluye que i1 (t) = −4ix (t). Por lo tanto, aplicando LVK se obtiene
v1 (t) = −16ix (t) − 4ix (t) − 4ix (t) − 4ix (t) =⇒ v1 (t) = −28ix (t)
(15)
Con el resultado precedente
y11 (s) =
4
I1 (s)
1
=
V1 (s)
7
(16)
i1 (t)
v1 (t)
4
2ix (t) 2
2ix (t)
ix (t)
4
4 ic (t)
4
ix (t)
4
4
2
2ix (t)
ib (t)
ia (t)
ix (t)
4
i2 (t)
4
ix (t)
4
ix (t)
4
v2 (t)
i2 (t)
i3 (t)
y11 (t)
y32 (t)
Figura 6: Redes para cálculo de y11 e y32 .
Cálculo de y32 (s)
En la red de la derecha en la Figura 2.3 se han cortocircuitado las puertas 1 y 3. Allı́ se han
definido, en azul, algunas corrientes a calcular. Para calcular el parámetro pedido usaremos
el hecho que la red es lineal; en particular explotaremos la propiedad de homogeneidad. Para
ello, supongamos que i3 (t) = 1, entonces
ib (t) = 1;
ic (t) = 2;
ia (t) = 2 + 2ix (t);
i2 (t) = 2 − ix (t)
(17)
Ası́, aplicando LVK, con estos valores de corriente se llega a
4(2 + 2ix (t)) + 4 + 4ix (t) + 4 = 0 =⇒ ix (t) = −
4
3
(18)
Por otro lado, otra aplicación de LVK lleva a
v2 (t) = 8 − 4ix (t) − 4ix (t) = 8 − 8ix (t) =
56
3
(19)
Con este resultado, se obtiene finalmente
y32 (s) =
3
56
(20)
Problema 2.4 (100 pts.). Considere la red de la figura, y suponga que el cuadripolo R es tal que
todas sus caracterizaciones paramétricas están bien definidas.
2.4.1 [50 pts.] Calcule la función de transferencia Vc (s)/Vf (s) en función de Zf (s), de Zc (s) y de los
parámetros de impedancia de circuito abierto de R.
2.4.2 [50 pts.] Suponga que R es un cuadripolo resistivo puro con
Zca (s) =
4 2
2 3
(21)
y que la impedancia de la fuente de alimentación es Zf (s) = 3. Calcule la impedancia de carga
Zc (s) que recibirı́a máxima potencia para una alimentación vf (t) sinusoidal.
5
Zf (s)
+
Zc (s)
Vf (s)
Vc (s)
R
Figura 7: Cuadripolo alimentado y cargado.
Solución
2.4.1 Supongamos que la matriz Zca (s) de la red es
z (s) z12 (s)
Zca (s) = 11
z21 (s) z22 (s)
(22)
Entonces, la estrategia es absorber la impedancia Zf (s) para formar una nueva matriz de
impedancia de circuito abierto, la que queda dada por
z (s) + Zf (s) z12 (s)
z̃11 (s) z̃12 (s)
= 11
z21 (s)
z22 (s)
z̃21 (s) z̃22 (s)
Z̃ca (s) =
(23)
Ası́ podemos ahora aplicar la fórmula para ganancia de tensión que está en la tabla B.2
Vc (s)
z̃21 (s)Zc (s)
z21 (s)Zc (s)
=
=
˜
˜
Vf (s)
∆Z (s) + z̃11 (s)Zc (s)
∆Z (s) + z11 (s)Zc (s) + Zf (s)Zc (s)
(24)
˜ Z (s) = ∆Z (s) + Zf (s)z22 (s)
∆
(25)
donde
2.4.2 De acuerdo al teorema de máxima potencia, la carga óptima debe ser igual al conjugado de la
impedancia Thevenin (vista desde la carga). Como la red es resistiva pura, basta que la carga
sea una resistencia igual a la resistencia Thevenin. En la tabla B.1, la impedancia Thevenin
se define como la impedancia de salida Zs (s).
Usando la expresión para Zs (s) en la tabla B.2, se tiene que
Zs (s) =
∆Z (s) + z22 (s)Zf (s)
8+3·3
17
=
=
z11 (s) + Zf (s)
4+3
7
(26)
Ası́ la carga óptima es una resistencia de 17/7[Ω]
MSB/06032012
6