15 Reglas de derivación. E: Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 25 m/seg, entonces su altura después de t segundos es: s(t) = −5t2 + 25t (a) Determine el dominio de la función (b) ¿Para qué valores de t la pelota se encuentra a más de 30 m del suelo? (c) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando está a 20 m arriba del piso en su camino hacia arriba y luego hacia abajo? D: H (a) La función altura o de posición con respecto al suelo es: s(t) = −5t2 + 25t. El dominio de esta función es t ≥ 0 s(t) ≥ 0 = t ≥ 0 − 5t2 + 25t ≥ 0 = = t ≥ 0 5t(−t + 5) ≥ 0 = t ≥ 0 − t + 5 ≥ 0 = = t ≥ 05 ≥ t = t ≥ 0t ≤ 5 = t0 ≤ t ≤ 5 = Ds = = [0, 5] (b) Se cumple si: s(t) > 30 ⇔ −5t2 + 25t > 30 ⇔ −5t2 + 25t − 30 > 0 ⇔ −5(t2 − 5t + 6) > 0 ⇔ ⇔ t2 − 5t + 6 < 0 ⇔ (t − 2)(t − 3) < 0. Desigualdad que se cumple cuando t−2 < 0 y t−3 > 0 t<2 yt>3 t<2 yt>3 o bien o bien o bien t − 2 > 0 y t − 3 < 0; t > 2 y t < 3; 2 < t < 3. Ya que no hay t ∈ R tales que t < 2 & t > 3, entonces la desigualdad se cumple sólo cuando 2 < t < 3. Por lo tanto, la desigualdad s(t) > 30 se cumple cuando, y sólo cuando, 2 < t < 3. (c) Primero determinamos los instantes en que la pelota está 20 metros arriba del suelo. s(t) = 20 ⇔ −5t2 + 25t = 20 ⇔ −5t2 + 25t − 20 = 0 ⇔ ⇔ −5(t2 − 5t + 4) = 0 ⇔ t2 − 5t + 4 = 0 ⇔ ⇔ (t − 1)(t − 4) = 0 ⇔ t = 1 o bien t = 4 15 canek.azc.uam.mx: 12/ 2/ 2007 1 2 Luego calculamos la velocidad intantánea de la pelota en cualquier instante t. d d v(t) = s(t) = (−5t2 + 25t) = dt dt s(t + h) − s(t) −5(t + h)2 + 25(t + h) − (−5t2 + 25t) = lı́m = lı́m = h→0 h→0 h h −5(t2 + 2th + h2 ) + 25t + 25h + 5t2 − 25t = lı́m = h→0 h −10th − 5h2 + 25h = lı́m(−10t − 5h + 25) = = lı́m h→0 h→0 h = −10t + 25 Finalmente, obtenemos v(1) = v(t = 1) y v(4) = v(t = 4) v(1) = −10(1) + 25 = −10 + 25 = 15 ⇒ v(1) = 15 m/s v(4) = −10(4) + 25 = −40 + 25 = −15 ⇒ v(4) = −15 m/s El signo positivo de v(1) = 15 m/s nos indica que la pelota va hacia arriba y el signo negativo de v(4) = −15 m/s nos dice que la pelota se dirige hacia abajo.