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Departamento de Física Aplicada III Escuela Superior de Ingenieros Ingeniero Industrial Fundamentos Físicos de la Ingeniería (2005/2006) EXAMEN PRIMER CUATRIMESTRE: MECÁNICA. 27/Enero/2006 APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Duración: 40 minutos. EJERCICIO 2. C INEM ÁTICA DEL S ÓLIDO R ÍGIDO Valor: 2 puntos. (T EOR ÍA ). a) Partiendo de la ecuación que relaciona a los vectores velocidad de dos puntos arbitrarios, O y P , de un sólido rı́gido (ecuación del campo de velocidades), deduzca razonadamente la ecuación que relaciona a los vectores aceleración de dichos puntos (ecuación del campo de aceleraciones). b) Defina el concepto de campo vectorial equiproyectivo, y deduzca razonadamente bajo qué condiciones son equiproyectivos el campo de velocidades y el campo de aceleraciones de un sólido rı́gido. Solución-Apartado (a) Deducción de la ecuación del campo de aceleraciones de un sólido rı́gido. (Valor máximo : 1 punto) Partiendo de la ecuación del campo de velocidades del sólido rı́gido: ∀ P, O ∈ sól.rı́g. −→ −−→ vP = vO + ωR ∧ OP y derivándola respecto al tiempo, se obtiene: ∀ P, O ∈ sól.rı́g. −→ aP = aO + −− → d ωR −−→ d (rP − rO ) ∧ OP + ωR ∧ (vP − vO ) ∧ OP + ω R ∧ = aO + α dt dt dω R . dt Utilizando ahora la ecuación del campo de velocidades para sustituir (vP − vO ) en el último término, se llega a la ecuación del campo de aceleraciones de un sólido rı́gido: donde se ha definido el vector aceleración angular, α = ∀ P, O ∈ sól.rı́g. −→ −− → −− → −− → −−→ −−→ ∧ OP + ωR ∧ (ωR ∧ OP ) = aO + α ∧ OP + (ωR · OP ) ωR − | ω R |2 OP aP = aO + α Solución-Apartado (b) Definición de campo vectorial equiproyectivo. (Valor máximo : 0,3 puntos) → − Un campo vectorial, VP , es equiproyectivo si satisface la condición matemática: → −−−→ − −−−→ − → VP1 · P1 P2 = VP2 · P1 P2 VP (∀ P1 , P2 ∈ E3 ) o, lo que es equivalente: − → → − proy −−−→ [ VP1 ] = u = proy −−−→ [ VP2 ] P1 P2 P1 P2 1 u (∀ P1 , P2 ∈ E3 ) VP 2 P1 u P2 ¿Es equiproyectivo el campo de velocidades de un sólido rı́gido? (Valor máximo : 0,2 puntos) Partiendo de la condición geométrica de rigidez en su expresión: ∀ P, O ∈ sól.rı́g. y ∀ t −→ [ rP (t) − rO (t) ] · [ rP (t) − rO (t) ] = (CP O )2 (cte) y derivando respecto al tiempo, se obtiene la siguiente condición cinemática de rigidez: ∀ P, O ∈ sól.rı́g. y ∀ t −→ −−→ −−→ vP (t) · OP (t) = vO (t) · OP (t) Por tanto, conforme a la definición de equiproyectividad de un campo vectorial, la condición cinemática de rigidez consiste precisamente en que el campo de velocidades de un sólido rı́gido es siempre equiproyectivo. vO u P En efecto, basta pensar en el concepto de velocidad para comprender que si las velocidades de dos puntos de un sólido tuviesen proyecciones distintas a lo largo de la recta imaginaria que pasa por los mismos, la distancia relativa entre ambos puntos no permanecerı́a constante a lo largo del tiempo y, por tanto, el sólido no serı́a rı́gido. vP u O CP (ct e) O Aunque lo más correcto desde un punto de vista teórico es deducir la equiproyectividad del campo de velocidades de un sólido rı́gido mediante la derivación temporal de la condición geométrica de rigidez, consideraremos como otra opción válida para comprobar dicha equiproyectividad el tomar como punto de partida la ecuación del campo de velocidades de un sólido rı́gido y −− → efectuar su producto escalar por el vector arbitrario OP , obteniéndose: −−→ −− → −−→ −−→ ωR ∧ OP ) · OP vP · OP = vO · OP + ( =0 =⇒ ¿Es equiproyectivo el campo de aceleraciones de un sólido rı́gido? −−→ −−→ vP · OP = vO · OP (Valor máximo : 0,5 puntos) A diferencia de lo que ocurre con el campo de velocidades, el campo de aceleraciones de un sólido rı́gido no es equiproyectivo en general, pero sı́ lo es en las situaciones de reposo instantáneo y de traslación instantánea. Para comprobarlo, basta efectuar el producto escalar de la ecuación del campo de aceleraciones de un sólido rı́gido por el vector −− → arbitrario OP , obteniéndose: −− → −−→ −−→ −− → −−→ − −→ ωR · OP )2 − | ωR |2 | OP |2 α ∧ OP ) · OP + ( aP · OP = aO · OP + ( =0 =⇒ ⎧ −− → −−→ ⎪ ⎨ aP · OP = aO · OP ⎪ ⎩ −− → −−→ aP · OP = aO · OP (en general) (si ωR = 0)
