La ecuación de Sine

SIMULACIÓN NUMÉRICA - 10/11
Enunciado de la práctica
La ecuación de Sine-Gordon
La ecuación de Sine-Gordon es una ecuacion en derivadas parciales, que en su version unidimensional es
∂2
∂2
u
=
µ
u − sin(u),
∂t2
∂x2
(1)
donde µ > 0. Se puede interpretar como la modelización de una banda flexible que se balancea
por la accion de la gravedad. Tambien se puede interpretar como una cadena (infinita) de
pendulos (infinitamente cercanos) unidos por muelles de torsión. (Si µ = 0, entonces se trata
de péndulos intependientes.) En este sentido, dada una solución u de la ecuación, u(x, t)
representa el ángulo que adopta banda en el instante t en la posición x.
Consideraremos el dominio espacial Ω = [−10, 10], y como condiciones de contorno
u(x + 20, t) = u(x, t)
(2)
para todo t y x. Para discretizar las derivadas parciales respecto de x utilizaremos las fórmulas
la fórmula de diferencias centrales
f 00 (x) ≈
f (x + ∆x) − 2f (x) + f (x − ∆x)
∆x2
1. Para µ = 0,2 e intervalo de integración t ∈ [0, 10],
a) Obtener una solución aproximada correspondiente a las condiciones iniciales
1 −(x−1)2
2
e
+ e−(x+1) ,
2
∂
v(x, 0) = 0, donde v(x, t) =
u(x, t).
∂t
u(x, 0) =
b) Obtener otras aproximaciones con discretizaciones tanto temporales como espaciales más finas, hasta comprobar que los resultados obtenidos son fiables.
c) Representar la solución con una gráfica en tres dimensiones de u(x, t).
d ) Opcionalmente, efectuar una animación con las gráficas de u(x, tj ) (como función
de x), para distintos valores de tj en el intervalo [0, 10].
2. Repetir todo lo anterior para µ = 2 (unión más fuerte de los péndulos) y también para
µ = 0,01 (unión más débil)). Se aprecia alguna diferencia entre el coste computacional
en cada caso?