Formulario y Tablas de Probabilidad para el Curso de Estad´ıstica II∗

Formulario y Tablas de Probabilidad
para el Curso de Estadı́stica II∗
Ernesto Barrios Zamudio1
José Ángel Garcı́a Pérez2
Departamento Académico de Estadı́stica
Instituto Tecnológico Autónomo de México
Octubre 2009
Versión 1.00
Índice
2
1. Formulario
1.1. Algunas distribuciones de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2. Estimación Puntual
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3. Algunos estadı́sticos y su distribución de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4. Pruebas no paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2. Tablas de Probabilidad
5
2.1. Distribución Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2. Distribución Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3. Distribución Normal Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4. Distribución t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2
2.5. Distribución χ Ji-Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.6. Distribución F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.7. Distribución del estadı́stico ρs de Spearman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.8. Distribución del estadı́stico U de Mann-Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3. Tabla de Números Aleatorios
28
3.1. 1050 Números Seudoaleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∗
Material tomado de los documentos de trabajo DE-A09.1 y DE-A09.5, de los mismos autores.
1
ebarrios@itam.mx
ja.garciap0@gmail.com
2
1
28
Estadı́stica II
1.
2
Formulario
1.1.
Algunas distribuciones de probabilidad
Distribución
Notación
Soporte RX
Función de Probabilidad
Uniforme discreta
unif{x1 , . . . , xK }
x ∈ {x1 , . . . , xK }
1
K
Bernoulli
Be(p)
x ∈ {0, 1}
px (1 − p)1−x
Binomial
Bin(n, p)
x ∈ {0, 1, . . . , n}
Poisson
Po(λ)
x ∈ {0, 1, 2, . . .}
Uniforme continua
unif(a, b)
Normal
Exponencial
1.2.
E(X)
Var(X)
K
1 X
xi
K i=1
K
1 X
(xi − E(X))2
K i=1
p
p(1 − p)
np
np(1 − p)
λx e−λ
x!
λ
λ
a≤x≤b
1
b−a
a+b
2
(b − a)2
12
N(µ, σ 2 )
−∞ < x < ∞

ff
1
1 “ x − µ ”2
√ exp −
2
σ
σ 2π
µ
σ2
Exp(θ)
0≤x<∞
x
1
exp{− }
θ
θ
θ
θ2
!
n x
p (1 − p)n−x
x
Estimación Puntual
Parámetro
Estimador
X̄ =
Media
S2 =
Varianza
Correlación
SXY
,
r=
SX SY
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
P
1P
Xi
n
(Xi − X̄)2
n−1
SXY =
P
(Xi − X̄)(Yi − Ȳ )
n−1
Sesgo
B(θ̂) = E(θ̂ − θ)
Error de Estimación
|θ̂ − θ|
Error Cuadrático Medio
“
”
ECM (θ̂) = E (θ̂ − θ)2
= Var(θ̂) + B(θ̂)2
v.1.00
Estadı́stica II
1.3.
3
Algunos estadı́sticos y su distribución de muestreo
Poblaciones con distribución Normal
Estadı́stico
Z=
Sp2 =
τ=
Z=
√
n(X̄ − µ)
σ
Z ∼ N(0, 1)
τ=
√
n(X̄ − µ)
S
τ ∼ tn−1
(X̄1 − X̄2 ) − (µ1 − µ2 )
s
σ2
σ12
+ 2
n1
n2
(n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22
(n1 + n2 − 2)
(X̄1 − X̄2 ) − (µ1 − µ2 )
s 1
1
+
Sp2
n1
n2
J=
Z ∼ N(0, 1)
(n1 + n2 − 2)Sp2
∼ χ2n1 +n2 −2
σ2
τ ∼ t(n1 +n2 −2)
(n − 1)S 2
σ2
J ∼ χ2n−1
S12 /σ12
S22 /σ22
F ∼ F(n1 −1,n2 −1)
F =
√
n(D̄ − µD )
τ=
,
SD
√
r n−2
,
τ= √
1 − r2
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
Distribución
D = X1 − X2
τ ∼ tn−1
SXY
SX SY
τ ∼ tn−2
r=
v.1.00
Estadı́stica II
4
Poblaciones con Distribución Bernoulli
Estadı́stico
Distribución
Y = np̂
Y ∼ Bin(n, p)
Z=p
Z=p
p̂ − p
Z ∼ N(0, 1),
p(1 − p)/n
(p̂1 − p̂2 ) − (p1 − p2 )
p̂1 (1 − p̂1 )/n1 + p̂2 (1 − p̂2 )/n2
para n grande
Z ∼ N(0, 1),
para n1 , n2 grandes
Z ∼ N(0, 1),
para n1 , n2 grandes
Si p1 = p2 ,
(p̂1 − p̂2 ) − (p1 − p2 )
Z=s
1
1
+
p̂(1 − p̂)
n1
n2
con p̂ =
1.4.
n1 p̂1 + n2 p̂2
n1 + n2
Pruebas no paramétricas
Prueba
Estadı́stico
Signos
M = # de signos positivos
Mann-Whitney
Tx =
Correlación de Spearman
Ji–cuadrada (χ2 )
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
P
R(Xi ) −
rs = 1 −
J=
n(n + 1)
2
P 2
6
di
n3 −n
rc
X
(Obsi − Espi )2
Espi
i=1
Propiedades
E(M ) = np,
E(Tx ) =
rs
p
nm
,
2
Var(M ) = np(1 − p)
Var(Tx ) =
(n − 1) ∼ N(0, 1),
J ∼ χ2(r−1)(c−1) ,
nm(n + m + 1)
12
para n grande
r = # renglones
c = # columnas
v.1.00
Estadı́stica II
2.
5
Tablas de Probabilidad
2.1.
Distribución Binomial
X ∼ Binom(n, θ)
p = P (X ≤ x) =
x X
n
k=0
k
α
p
θk (1 − θ)n−k = 1 − α
0
x
n
Tabla 2A. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 5, 6, 7, 8, 9).
x
0
1
2
3
4
5
0.01
0.951
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
0.05
0.774
0.977
0.999
1.000
1.000
1.000
0.1
0.590
0.919
0.991
1.000
1.000
1.000
0.2
0.328
0.737
0.942
0.993
1.000
1.000
0.25
0.237
0.633
0.896
0.984
0.999
1.000
0.3
0.168
0.528
0.837
0.969
0.998
1.000
0.4
0.078
0.337
0.683
0.913
0.990
1.000
θ
0.5
0.031
0.188
0.500
0.813
0.969
1.000
0.6
0.010
0.087
0.317
0.663
0.922
1.000
0.7
0.002
0.031
0.163
0.472
0.832
1.000
0.75
0.001
0.016
0.104
0.367
0.763
1.000
0.8
0.000
0.007
0.058
0.263
0.672
1.000
0.9
0.000
0.000
0.009
0.081
0.410
1.000
0.95
0.000
0.000
0.001
0.023
0.226
1.000
0.99
0.000
0.000
0.000
0.001
0.049
1.000
n=6
0
1
2
3
4
5
6
0.941
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.735
0.967
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
0.531
0.886
0.984
0.999
1.000
1.000
1.000
0.262
0.655
0.901
0.983
0.998
1.000
1.000
0.178
0.534
0.831
0.962
0.995
1.000
1.000
0.118
0.420
0.744
0.930
0.989
0.999
1.000
0.047
0.233
0.544
0.821
0.959
0.996
1.000
0.016
0.109
0.344
0.656
0.891
0.984
1.000
0.004
0.041
0.179
0.456
0.767
0.953
1.000
0.001
0.011
0.070
0.256
0.580
0.882
1.000
0.000
0.005
0.038
0.169
0.466
0.822
1.000
0.000
0.002
0.017
0.099
0.345
0.738
1.000
0.000
0.000
0.001
0.016
0.114
0.469
1.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.033
0.265
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.059
1.000
n=7
0
1
2
3
4
5
6
7
0.932
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.698
0.956
0.996
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.478
0.850
0.974
0.997
1.000
1.000
1.000
1.000
0.210
0.577
0.852
0.967
0.995
1.000
1.000
1.000
0.133
0.445
0.756
0.929
0.987
0.999
1.000
1.000
0.082
0.329
0.647
0.874
0.971
0.996
1.000
1.000
0.028
0.159
0.420
0.710
0.904
0.981
0.998
1.000
0.008
0.063
0.227
0.500
0.773
0.938
0.992
1.000
0.002
0.019
0.096
0.290
0.580
0.841
0.972
1.000
0.000
0.004
0.029
0.126
0.353
0.671
0.918
1.000
0.000
0.001
0.013
0.071
0.244
0.555
0.867
1.000
0.000
0.000
0.005
0.033
0.148
0.423
0.790
1.000
0.000
0.000
0.000
0.003
0.026
0.150
0.522
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.004
0.044
0.302
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.068
1.000
n=8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.923
0.997
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.663
0.943
0.994
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.430
0.813
0.962
0.995
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.168
0.503
0.797
0.944
0.990
0.999
1.000
1.000
1.000
0.100
0.367
0.679
0.886
0.973
0.996
1.000
1.000
1.000
0.058
0.255
0.552
0.806
0.942
0.989
0.999
1.000
1.000
0.017
0.106
0.315
0.594
0.826
0.950
0.991
0.999
1.000
0.004
0.035
0.145
0.363
0.637
0.855
0.965
0.996
1.000
0.001
0.009
0.050
0.174
0.406
0.685
0.894
0.983
1.000
0.000
0.001
0.011
0.058
0.194
0.448
0.745
0.942
1.000
0.000
0.000
0.004
0.027
0.114
0.321
0.633
0.900
1.000
0.000
0.000
0.001
0.010
0.056
0.203
0.497
0.832
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.005
0.038
0.187
0.570
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.006
0.057
0.337
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.003
0.077
1.000
n=9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.914
0.997
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.630
0.929
0.992
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.387
0.775
0.947
0.992
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.134
0.436
0.738
0.914
0.980
0.997
1.000
1.000
1.000
1.000
0.075
0.300
0.601
0.834
0.951
0.990
0.999
1.000
1.000
1.000
0.040
0.196
0.463
0.730
0.901
0.975
0.996
1.000
1.000
1.000
0.010
0.071
0.232
0.483
0.733
0.901
0.975
0.996
1.000
1.000
0.002
0.020
0.090
0.254
0.500
0.746
0.910
0.980
0.998
1.000
0.000
0.004
0.025
0.099
0.267
0.517
0.768
0.929
0.990
1.000
0.000
0.000
0.004
0.025
0.099
0.270
0.537
0.804
0.960
1.000
0.000
0.000
0.001
0.010
0.049
0.166
0.399
0.700
0.925
1.000
0.000
0.000
0.000
0.003
0.020
0.086
0.262
0.564
0.866
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.008
0.053
0.225
0.613
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.008
0.071
0.370
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.003
0.086
1.000
n=5
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
v.1.00
Estadı́stica II
6
Tabla 2B. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 10, 11, 12, 13, 14).
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.01
0.904
0.996
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.05
0.599
0.914
0.988
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.1
0.349
0.736
0.930
0.987
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.2
0.107
0.376
0.678
0.879
0.967
0.994
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
0.25
0.056
0.244
0.526
0.776
0.922
0.980
0.996
1.000
1.000
1.000
1.000
0.3
0.028
0.149
0.383
0.650
0.850
0.953
0.989
0.998
1.000
1.000
1.000
0.4
0.006
0.046
0.167
0.382
0.633
0.834
0.945
0.988
0.998
1.000
1.000
θ
0.5
0.001
0.011
0.055
0.172
0.377
0.623
0.828
0.945
0.989
0.999
1.000
0.6
0.000
0.002
0.012
0.055
0.166
0.367
0.618
0.833
0.954
0.994
1.000
0.7
0.000
0.000
0.002
0.011
0.047
0.150
0.350
0.617
0.851
0.972
1.000
0.75
0.000
0.000
0.000
0.004
0.020
0.078
0.224
0.474
0.756
0.944
1.000
0.8
0.000
0.000
0.000
0.001
0.006
0.033
0.121
0.322
0.624
0.893
1.000
0.9
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.013
0.070
0.264
0.651
1.000
0.95
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.012
0.086
0.401
1.000
0.99
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.004
0.096
1.000
n = 11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0.895
0.995
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.569
0.898
0.985
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.314
0.697
0.910
0.981
0.997
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.086
0.322
0.617
0.839
0.950
0.988
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.042
0.197
0.455
0.713
0.885
0.966
0.992
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
0.020
0.113
0.313
0.570
0.790
0.922
0.978
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
0.004
0.030
0.119
0.296
0.533
0.753
0.901
0.971
0.994
0.999
1.000
1.000
0.000
0.006
0.033
0.113
0.274
0.500
0.726
0.887
0.967
0.994
1.000
1.000
0.000
0.001
0.006
0.029
0.099
0.247
0.467
0.704
0.881
0.970
0.996
1.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.022
0.078
0.210
0.430
0.687
0.887
0.980
1.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.008
0.034
0.115
0.287
0.545
0.803
0.958
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.012
0.050
0.161
0.383
0.678
0.914
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.003
0.019
0.090
0.303
0.686
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.015
0.102
0.431
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.005
0.105
1.000
n = 12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.886
0.994
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.540
0.882
0.980
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.282
0.659
0.889
0.974
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.069
0.275
0.558
0.795
0.927
0.981
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.032
0.158
0.391
0.649
0.842
0.946
0.986
0.997
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.014
0.085
0.253
0.493
0.724
0.882
0.961
0.991
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
0.002
0.020
0.083
0.225
0.438
0.665
0.842
0.943
0.985
0.997
1.000
1.000
1.000
0.000
0.003
0.019
0.073
0.194
0.387
0.613
0.806
0.927
0.981
0.997
1.000
1.000
0.000
0.000
0.003
0.015
0.057
0.158
0.335
0.562
0.775
0.917
0.980
0.998
1.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.009
0.039
0.118
0.276
0.507
0.747
0.915
0.986
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.003
0.014
0.054
0.158
0.351
0.609
0.842
0.968
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.019
0.073
0.205
0.442
0.725
0.931
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.026
0.111
0.341
0.718
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.020
0.118
0.460
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.006
0.114
1.000
n = 13
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0.878
0.993
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.513
0.865
0.975
0.997
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.254
0.621
0.866
0.966
0.994
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.055
0.234
0.502
0.747
0.901
0.970
0.993
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.024
0.127
0.333
0.584
0.794
0.920
0.976
0.994
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.010
0.064
0.202
0.421
0.654
0.835
0.938
0.982
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
0.001
0.013
0.058
0.169
0.353
0.574
0.771
0.902
0.968
0.992
0.999
1.000
1.000
1.000
0.000
0.002
0.011
0.046
0.133
0.291
0.500
0.709
0.867
0.954
0.989
0.998
1.000
1.000
0.000
0.000
0.001
0.008
0.032
0.098
0.229
0.426
0.647
0.831
0.942
0.987
0.999
1.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.018
0.062
0.165
0.346
0.579
0.798
0.936
0.990
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.006
0.024
0.080
0.206
0.416
0.667
0.873
0.976
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.007
0.030
0.099
0.253
0.498
0.766
0.945
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.006
0.034
0.134
0.379
0.746
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.003
0.025
0.135
0.487
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.007
0.122
1.000
n = 14
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0.869
0.992
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.488
0.847
0.970
0.996
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.229
0.585
0.842
0.956
0.991
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.044
0.198
0.448
0.698
0.870
0.956
0.988
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.018
0.101
0.281
0.521
0.742
0.888
0.962
0.990
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.007
0.047
0.161
0.355
0.584
0.781
0.907
0.969
0.992
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.001
0.008
0.040
0.124
0.279
0.486
0.692
0.850
0.942
0.982
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
0.000
0.001
0.006
0.029
0.090
0.212
0.395
0.605
0.788
0.910
0.971
0.994
0.999
1.000
1.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.018
0.058
0.150
0.308
0.514
0.721
0.876
0.960
0.992
0.999
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.008
0.031
0.093
0.219
0.416
0.645
0.839
0.953
0.993
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.010
0.038
0.112
0.258
0.479
0.719
0.899
0.982
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.012
0.044
0.130
0.302
0.552
0.802
0.956
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.009
0.044
0.158
0.415
0.771
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.004
0.030
0.153
0.512
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.008
0.131
1.000
n = 10
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
v.1.00
Estadı́stica II
7
Tabla 2C. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 15, 16, 17, 18).
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.01
0.860
0.990
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.05
0.463
0.829
0.964
0.995
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.1
0.206
0.549
0.816
0.944
0.987
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.2
0.035
0.167
0.398
0.648
0.836
0.939
0.982
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.25
0.013
0.080
0.236
0.461
0.686
0.852
0.943
0.983
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.3
0.005
0.035
0.127
0.297
0.515
0.722
0.869
0.950
0.985
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.4
0.000
0.005
0.027
0.091
0.217
0.403
0.610
0.787
0.905
0.966
0.991
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
θ
0.5
0.000
0.000
0.004
0.018
0.059
0.151
0.304
0.500
0.696
0.849
0.941
0.982
0.996
1.000
1.000
1.000
0.6
0.000
0.000
0.000
0.002
0.009
0.034
0.095
0.213
0.390
0.597
0.783
0.909
0.973
0.995
1.000
1.000
0.7
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.015
0.050
0.131
0.278
0.485
0.703
0.873
0.965
0.995
1.000
0.75
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.017
0.057
0.148
0.314
0.539
0.764
0.920
0.987
1.000
0.8
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.018
0.061
0.164
0.352
0.602
0.833
0.965
1.000
0.9
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.013
0.056
0.184
0.451
0.794
1.000
0.95
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.005
0.036
0.171
0.537
1.000
0.99
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.010
0.140
1.000
n = 16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0.851
0.989
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.440
0.811
0.957
0.993
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.185
0.515
0.789
0.932
0.983
0.997
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.028
0.141
0.352
0.598
0.798
0.918
0.973
0.993
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.010
0.063
0.197
0.405
0.630
0.810
0.920
0.973
0.993
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.003
0.026
0.099
0.246
0.450
0.660
0.825
0.926
0.974
0.993
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.003
0.018
0.065
0.167
0.329
0.527
0.716
0.858
0.942
0.981
0.995
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.002
0.011
0.038
0.105
0.227
0.402
0.598
0.773
0.895
0.962
0.989
0.998
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.005
0.019
0.058
0.142
0.284
0.473
0.671
0.833
0.935
0.982
0.997
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.007
0.026
0.074
0.175
0.340
0.550
0.754
0.901
0.974
0.997
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.007
0.027
0.080
0.190
0.370
0.595
0.803
0.937
0.990
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.007
0.027
0.082
0.202
0.402
0.648
0.859
0.972
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.003
0.017
0.068
0.211
0.485
0.815
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.007
0.043
0.189
0.560
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.011
0.149
1.000
n = 17
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0.843
0.988
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.418
0.792
0.950
0.991
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.167
0.482
0.762
0.917
0.978
0.995
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.023
0.118
0.310
0.549
0.758
0.894
0.962
0.989
0.997
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.008
0.050
0.164
0.353
0.574
0.765
0.893
0.960
0.988
0.997
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.002
0.019
0.077
0.202
0.389
0.597
0.775
0.895
0.960
0.987
0.997
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.002
0.012
0.046
0.126
0.264
0.448
0.641
0.801
0.908
0.965
0.989
0.997
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.001
0.006
0.025
0.072
0.166
0.315
0.500
0.685
0.834
0.928
0.975
0.994
0.999
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.003
0.011
0.035
0.092
0.199
0.359
0.552
0.736
0.874
0.954
0.988
0.998
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.003
0.013
0.040
0.105
0.225
0.403
0.611
0.798
0.923
0.981
0.998
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.003
0.012
0.040
0.107
0.235
0.426
0.647
0.836
0.950
0.992
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.003
0.011
0.038
0.106
0.242
0.451
0.690
0.882
0.977
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.005
0.022
0.083
0.238
0.518
0.833
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.009
0.050
0.208
0.582
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.012
0.157
1.000
n = 18
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0.835
0.986
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.397
0.774
0.942
0.989
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.150
0.450
0.734
0.902
0.972
0.994
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.018
0.099
0.271
0.501
0.716
0.867
0.949
0.984
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.006
0.039
0.135
0.306
0.519
0.717
0.861
0.943
0.981
0.995
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.002
0.014
0.060
0.165
0.333
0.534
0.722
0.859
0.940
0.979
0.994
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.001
0.008
0.033
0.094
0.209
0.374
0.563
0.737
0.865
0.942
0.980
0.994
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.015
0.048
0.119
0.240
0.407
0.593
0.760
0.881
0.952
0.985
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.006
0.020
0.058
0.135
0.263
0.437
0.626
0.791
0.906
0.967
0.992
0.999
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.006
0.021
0.060
0.141
0.278
0.466
0.667
0.835
0.940
0.986
0.998
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.005
0.019
0.057
0.139
0.283
0.481
0.694
0.865
0.961
0.994
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.016
0.051
0.133
0.284
0.499
0.729
0.901
0.982
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.006
0.028
0.098
0.266
0.550
0.850
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.011
0.058
0.226
0.603
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.014
0.165
1.000
n = 15
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
v.1.00
Estadı́stica II
8
Tabla 2D. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 19, 20, 21).
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0.01
0.826
0.985
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.05
0.377
0.755
0.933
0.987
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.1
0.135
0.420
0.705
0.885
0.965
0.991
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.2
0.014
0.083
0.237
0.455
0.673
0.837
0.932
0.977
0.993
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.25
0.004
0.031
0.111
0.263
0.465
0.668
0.825
0.923
0.971
0.991
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.3
0.001
0.010
0.046
0.133
0.282
0.474
0.666
0.818
0.916
0.967
0.989
0.997
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.4
0.000
0.001
0.005
0.023
0.070
0.163
0.308
0.488
0.667
0.814
0.912
0.965
0.988
0.997
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
θ
0.5
0.000
0.000
0.000
0.002
0.010
0.032
0.084
0.180
0.324
0.500
0.676
0.820
0.916
0.968
0.990
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
0.6
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.003
0.012
0.035
0.088
0.186
0.333
0.512
0.692
0.837
0.930
0.977
0.995
0.999
1.000
1.000
0.7
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.003
0.011
0.033
0.084
0.182
0.334
0.526
0.718
0.867
0.954
0.990
0.999
1.000
0.75
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.009
0.029
0.077
0.175
0.332
0.535
0.737
0.889
0.969
0.996
1.000
0.8
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.007
0.023
0.068
0.163
0.327
0.545
0.763
0.917
0.986
1.000
0.9
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.009
0.035
0.115
0.295
0.580
0.865
1.000
0.95
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.013
0.067
0.245
0.623
1.000
0.99
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.015
0.174
1.000
n = 20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.818
0.983
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.358
0.736
0.925
0.984
0.997
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.122
0.392
0.677
0.867
0.957
0.989
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.012
0.069
0.206
0.411
0.630
0.804
0.913
0.968
0.990
0.997
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.003
0.024
0.091
0.225
0.415
0.617
0.786
0.898
0.959
0.986
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.001
0.008
0.035
0.107
0.238
0.416
0.608
0.772
0.887
0.952
0.983
0.995
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.001
0.004
0.016
0.051
0.126
0.250
0.416
0.596
0.755
0.872
0.943
0.979
0.994
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.006
0.021
0.058
0.132
0.252
0.412
0.588
0.748
0.868
0.942
0.979
0.994
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.006
0.021
0.057
0.128
0.245
0.404
0.584
0.750
0.874
0.949
0.984
0.996
0.999
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.005
0.017
0.048
0.113
0.228
0.392
0.584
0.762
0.893
0.965
0.992
0.999
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.014
0.041
0.102
0.214
0.383
0.585
0.775
0.909
0.976
0.997
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.003
0.010
0.032
0.087
0.196
0.370
0.589
0.794
0.931
0.988
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.011
0.043
0.133
0.323
0.608
0.878
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.003
0.016
0.075
0.264
0.642
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.017
0.182
1.000
n = 21
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0.810
0.981
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.341
0.717
0.915
0.981
0.997
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.109
0.365
0.648
0.848
0.948
0.986
0.997
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.009
0.058
0.179
0.370
0.586
0.769
0.891
0.957
0.986
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.002
0.019
0.075
0.192
0.367
0.567
0.744
0.870
0.944
0.979
0.994
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.001
0.006
0.027
0.086
0.198
0.363
0.551
0.723
0.852
0.932
0.974
0.991
0.998
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.002
0.011
0.037
0.096
0.200
0.350
0.524
0.691
0.826
0.915
0.965
0.988
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.013
0.039
0.095
0.192
0.332
0.500
0.668
0.808
0.905
0.961
0.987
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.012
0.035
0.085
0.174
0.309
0.476
0.650
0.800
0.904
0.963
0.989
0.998
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.002
0.009
0.026
0.068
0.148
0.277
0.449
0.637
0.802
0.914
0.973
0.994
0.999
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.006
0.021
0.056
0.130
0.256
0.433
0.633
0.808
0.925
0.981
0.998
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.014
0.043
0.109
0.231
0.414
0.630
0.821
0.942
0.991
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.003
0.014
0.052
0.152
0.352
0.635
0.891
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.003
0.019
0.085
0.283
0.659
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.019
0.190
1.000
n = 19
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
v.1.00
Estadı́stica II
9
Tabla 2E. Probabilidades acumuladas de la distribución binomial (n = 22, 23).
n = 22
n = 23
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
0.01
0.802
0.980
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.05
0.324
0.698
0.905
0.978
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.1
0.098
0.339
0.620
0.828
0.938
0.982
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.2
0.007
0.048
0.154
0.332
0.543
0.733
0.867
0.944
0.980
0.994
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.25
0.002
0.015
0.061
0.162
0.323
0.517
0.699
0.838
0.925
0.970
0.990
0.997
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.3
0.000
0.004
0.021
0.068
0.165
0.313
0.494
0.671
0.814
0.908
0.961
0.986
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.4
0.000
0.000
0.002
0.008
0.027
0.072
0.158
0.290
0.454
0.624
0.772
0.879
0.945
0.979
0.993
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
θ
0.5
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.008
0.026
0.067
0.143
0.262
0.416
0.584
0.738
0.857
0.933
0.974
0.992
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.6
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.007
0.021
0.055
0.121
0.228
0.376
0.546
0.710
0.842
0.928
0.973
0.992
0.998
1.000
1.000
1.000
0.7
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.014
0.039
0.092
0.186
0.329
0.506
0.687
0.835
0.932
0.979
0.996
1.000
1.000
0.75
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.003
0.010
0.030
0.075
0.162
0.301
0.483
0.677
0.838
0.939
0.985
0.998
1.000
0.8
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.006
0.020
0.056
0.133
0.267
0.457
0.668
0.846
0.952
0.993
1.000
0.9
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.018
0.062
0.172
0.380
0.661
0.902
1.000
0.95
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.022
0.095
0.302
0.676
1.000
0.99
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.020
0.198
1.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0.794
0.978
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.307
0.679
0.895
0.974
0.995
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.089
0.315
0.592
0.807
0.927
0.977
0.994
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.006
0.040
0.133
0.297
0.501
0.695
0.840
0.928
0.973
0.991
0.997
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.001
0.012
0.049
0.137
0.283
0.468
0.654
0.804
0.904
0.959
0.985
0.995
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.003
0.016
0.054
0.136
0.269
0.440
0.618
0.771
0.880
0.945
0.979
0.993
0.998
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.001
0.005
0.019
0.054
0.124
0.237
0.388
0.556
0.713
0.836
0.919
0.965
0.987
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.005
0.017
0.047
0.105
0.202
0.339
0.500
0.661
0.798
0.895
0.953
0.983
0.995
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.013
0.035
0.081
0.164
0.287
0.444
0.612
0.763
0.876
0.946
0.981
0.995
0.999
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.002
0.007
0.021
0.055
0.120
0.229
0.382
0.560
0.731
0.864
0.946
0.984
0.997
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.005
0.015
0.041
0.096
0.196
0.346
0.532
0.717
0.863
0.951
0.988
0.999
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.003
0.009
0.027
0.072
0.160
0.305
0.499
0.703
0.867
0.960
0.994
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.006
0.023
0.073
0.193
0.408
0.685
0.911
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.005
0.026
0.105
0.321
0.693
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.022
0.206
1.000
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
v.1.00
Estadı́stica II
10
Tabla 2F. Probabilidades acumuladas de la distribución binomial (n = 24, 25).
n = 24
n = 25
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
0.01
0.786
0.976
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.05
0.292
0.661
0.884
0.970
0.994
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.1
0.080
0.292
0.564
0.786
0.915
0.972
0.993
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.2
0.005
0.033
0.115
0.264
0.460
0.656
0.811
0.911
0.964
0.987
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.25
0.001
0.009
0.040
0.115
0.247
0.422
0.607
0.766
0.879
0.945
0.979
0.993
0.998
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.3
0.000
0.002
0.012
0.042
0.111
0.229
0.389
0.565
0.725
0.847
0.926
0.969
0.988
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.4
0.000
0.000
0.001
0.004
0.013
0.040
0.096
0.192
0.328
0.489
0.650
0.787
0.886
0.947
0.978
0.992
0.998
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
θ
0.5
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.003
0.011
0.032
0.076
0.154
0.271
0.419
0.581
0.729
0.846
0.924
0.968
0.989
0.997
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.6
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.002
0.008
0.022
0.053
0.114
0.213
0.350
0.511
0.672
0.808
0.904
0.960
0.987
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
0.7
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.012
0.031
0.074
0.153
0.275
0.435
0.611
0.771
0.889
0.958
0.988
0.998
1.000
1.000
0.75
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.002
0.007
0.021
0.055
0.121
0.234
0.393
0.578
0.753
0.885
0.960
0.991
0.999
1.000
0.8
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.013
0.036
0.089
0.189
0.344
0.540
0.736
0.885
0.967
0.995
1.000
0.9
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.007
0.028
0.085
0.214
0.436
0.708
0.920
1.000
0.95
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.006
0.030
0.116
0.339
0.708
1.000
0.99
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.024
0.214
1.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
24
0.778
0.974
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.277
0.642
0.873
0.966
0.993
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.072
0.271
0.537
0.764
0.902
0.967
0.991
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.004
0.027
0.098
0.234
0.421
0.617
0.780
0.891
0.953
0.983
0.994
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.001
0.007
0.032
0.096
0.214
0.378
0.561
0.727
0.851
0.929
0.970
0.989
0.997
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.002
0.009
0.033
0.090
0.193
0.341
0.512
0.677
0.811
0.902
0.956
0.983
0.994
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.009
0.029
0.074
0.154
0.274
0.425
0.586
0.732
0.846
0.922
0.966
0.987
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.007
0.022
0.054
0.115
0.212
0.345
0.500
0.655
0.788
0.885
0.946
0.978
0.993
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.004
0.013
0.034
0.078
0.154
0.268
0.414
0.575
0.726
0.846
0.926
0.971
0.991
0.998
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.006
0.017
0.044
0.098
0.189
0.323
0.488
0.659
0.807
0.910
0.967
0.991
0.998
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.003
0.011
0.030
0.071
0.149
0.273
0.439
0.622
0.786
0.904
0.968
0.993
0.999
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.006
0.017
0.047
0.109
0.220
0.383
0.579
0.766
0.902
0.973
0.996
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.009
0.033
0.098
0.236
0.463
0.729
0.928
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.007
0.034
0.127
0.358
0.723
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
0.026
0.222
1.000
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
v.1.00
Estadı́stica II
2.2.
11
Distribución Poisson
X ∼ Poisson(λ)
p = P (X ≤ x) =
x
X
λk e−λ
k=0
k!
α
p
=1−α
0
x
Tabla 2A. Probabilidades acumuladas p de la distribución Poisson.
λ
x
0
1
2
3
4
5
6
0.1
0.905
0.995
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.2
0.819
0.982
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
0.3
0.741
0.963
0.996
1.000
1.000
1.000
1.000
0.4
0.670
0.938
0.992
0.999
1.000
1.000
1.000
0.5
0.607
0.910
0.986
0.998
1.000
1.000
1.000
0.6
0.549
0.878
0.977
0.997
1.000
1.000
1.000
0.7
0.497
0.844
0.966
0.994
0.999
1.000
1.000
0.8
0.449
0.809
0.953
0.991
0.999
1.000
1.000
0.9
0.407
0.772
0.937
0.987
0.998
1.000
1.000
1.0
0.368
0.736
0.920
0.981
0.996
0.999
1.000
Tabla 2B. Probabilidades acumuladas p de la distribución Poisson.
λ
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
2
0.135
0.406
0.677
0.857
0.947
0.983
0.995
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
3
0.050
0.199
0.423
0.647
0.815
0.916
0.966
0.988
0.996
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
4
0.018
0.092
0.238
0.433
0.629
0.785
0.889
0.949
0.979
0.992
0.997
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
5
0.007
0.040
0.125
0.265
0.440
0.616
0.762
0.867
0.932
0.968
0.986
0.995
0.998
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
6
0.002
0.017
0.062
0.151
0.285
0.446
0.606
0.744
0.847
0.916
0.957
0.980
0.991
0.996
0.999
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
7
0.001
0.007
0.030
0.082
0.173
0.301
0.450
0.599
0.729
0.830
0.901
0.947
0.973
0.987
0.994
0.998
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
8
0.000
0.003
0.014
0.042
0.100
0.191
0.313
0.453
0.593
0.717
0.816
0.888
0.936
0.966
0.983
0.992
0.996
0.998
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
9
0.000
0.001
0.006
0.021
0.055
0.116
0.207
0.324
0.456
0.587
0.706
0.803
0.876
0.926
0.959
0.978
0.989
0.995
0.998
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
10
0.000
0.000
0.003
0.010
0.029
0.067
0.130
0.220
0.333
0.458
0.583
0.697
0.792
0.864
0.917
0.951
0.973
0.986
0.993
0.997
0.998
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
15
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.003
0.008
0.018
0.037
0.070
0.118
0.185
0.268
0.363
0.466
0.568
0.664
0.749
0.819
0.875
0.917
0.947
0.967
0.981
0.989
0.994
0.997
0.998
0.999
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
20
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.002
0.005
0.011
0.021
0.039
0.066
0.105
0.157
0.221
0.297
0.381
0.470
0.559
0.644
0.721
0.787
0.843
0.888
0.922
0.948
0.966
0.978
0.987
0.992
0.995
0.997
0.999
0.999
1.000
v.1.00
Estadı́stica II
2.3.
12
Distribución Normal Estándar
Z ∼ N(0, 1)
p = P (Z ≤ z) =
donde
Z
z
−∞
φZ (u)du = 1 − α
α
p
1 2
1
φZ (u) = √ e− 2 u
2π
0 z
Nota: Si X ∼ N(µ, σ 2 ), entonces Z = (X − µ)/σ ∼ N(0, 1). Luego,
x−µ
P (X ≤ x) = P Z ≤
σ
Tabla 2A. Probabilidades acumuladas p de la distribución normal estándar.
z
−3.4
−3.3
−3.2
−3.1
−3.0
−2.9
−2.8
−2.7
−2.6
−2.5
−2.4
−2.3
−2.2
−2.1
−2.0
−1.9
−1.8
−1.7
−1.6
−1.5
−1.4
−1.3
−1.2
−1.1
−1.0
−0.9
−0.8
−0.7
−0.6
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
−0.0
0.09
0.0002
0.0003
0.0005
0.0007
0.0010
0.0014
0.0019
0.0026
0.0036
0.0048
0.0064
0.0084
0.0110
0.0143
0.0183
0.0233
0.0294
0.0367
0.0455
0.0559
0.0681
0.0823
0.0985
0.1170
0.1379
0.1611
0.1867
0.2148
0.2451
0.2776
0.3121
0.3483
0.3859
0.4247
0.4641
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
0.08
0.0003
0.0004
0.0005
0.0007
0.0010
0.0014
0.0020
0.0027
0.0037
0.0049
0.0066
0.0087
0.0113
0.0146
0.0188
0.0239
0.0301
0.0375
0.0465
0.0571
0.0694
0.0838
0.1003
0.1190
0.1401
0.1635
0.1894
0.2177
0.2483
0.2810
0.3156
0.3520
0.3897
0.4286
0.4681
0.07
0.0003
0.0004
0.0005
0.0008
0.0011
0.0015
0.0021
0.0028
0.0038
0.0051
0.0068
0.0089
0.0116
0.0150
0.0192
0.0244
0.0307
0.0384
0.0475
0.0582
0.0708
0.0853
0.1020
0.1210
0.1423
0.1660
0.1922
0.2206
0.2514
0.2843
0.3192
0.3557
0.3936
0.4325
0.4721
0.06
0.0003
0.0004
0.0006
0.0008
0.0011
0.0015
0.0021
0.0029
0.0039
0.0052
0.0069
0.0091
0.0119
0.0154
0.0197
0.0250
0.0314
0.0392
0.0485
0.0594
0.0721
0.0869
0.1038
0.1230
0.1446
0.1685
0.1949
0.2236
0.2546
0.2877
0.3228
0.3594
0.3974
0.4364
0.4761
0.05
0.0003
0.0004
0.0006
0.0008
0.0011
0.0016
0.0022
0.0030
0.0040
0.0054
0.0071
0.0094
0.0122
0.0158
0.0202
0.0256
0.0322
0.0401
0.0495
0.0606
0.0735
0.0885
0.1056
0.1251
0.1469
0.1711
0.1977
0.2266
0.2578
0.2912
0.3264
0.3632
0.4013
0.4404
0.4801
0.04
0.0003
0.0004
0.0006
0.0008
0.0012
0.0016
0.0023
0.0031
0.0041
0.0055
0.0073
0.0096
0.0125
0.0162
0.0207
0.0262
0.0329
0.0409
0.0505
0.0618
0.0749
0.0901
0.1075
0.1271
0.1492
0.1736
0.2005
0.2296
0.2611
0.2946
0.3300
0.3669
0.4052
0.4443
0.4840
0.03
0.0003
0.0004
0.0006
0.0009
0.0012
0.0017
0.0023
0.0032
0.0043
0.0057
0.0075
0.0099
0.0129
0.0166
0.0212
0.0268
0.0336
0.0418
0.0516
0.0630
0.0764
0.0918
0.1093
0.1292
0.1515
0.1762
0.2033
0.2327
0.2643
0.2981
0.3336
0.3707
0.4090
0.4483
0.4880
0.02
0.0003
0.0005
0.0006
0.0009
0.0013
0.0018
0.0024
0.0033
0.0044
0.0059
0.0078
0.0102
0.0132
0.0170
0.0217
0.0274
0.0344
0.0427
0.0526
0.0643
0.0778
0.0934
0.1112
0.1314
0.1539
0.1788
0.2061
0.2358
0.2676
0.3015
0.3372
0.3745
0.4129
0.4522
0.4920
0.01
0.0003
0.0005
0.0007
0.0009
0.0013
0.0018
0.0025
0.0034
0.0045
0.0060
0.0080
0.0104
0.0136
0.0174
0.0222
0.0281
0.0351
0.0436
0.0537
0.0655
0.0793
0.0951
0.1131
0.1335
0.1562
0.1814
0.2090
0.2389
0.2709
0.3050
0.3409
0.3783
0.4168
0.4562
0.4960
0.00
0.0003
0.0005
0.0007
0.0010
0.0013
0.0019
0.0026
0.0035
0.0047
0.0062
0.0082
0.0107
0.0139
0.0179
0.0228
0.0287
0.0359
0.0446
0.0548
0.0668
0.0808
0.0968
0.1151
0.1357
0.1587
0.1841
0.2119
0.2420
0.2743
0.3085
0.3446
0.3821
0.4207
0.4602
0.5000
v.1.00
Estadı́stica II
13
Tabla 2B. Probabilidades acumuladas p de la distribución normal estándar.
z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
2.4.
0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997
0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997
0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997
0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997
0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
Distribución t de Student
T ∼ tν
siendo ν los grados de libertad.
Z t
φT (u)du = 1 − α
p = P (T ≤ t) =
−∞
donde
− ν+1
2
u2
1 Γ ν+1
2
1+
φT (u) = √
ν
ν
νπ Γ 2
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
α
p
0
v.1.00
Estadı́stica II
14
Tabla 2. Valores crı́ticos t(α;ν) de la distribución t de Student.
ν
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
75
100
125
∞
0.75
0.80
0.90
0.95
0.975
0.25
1.000
0.816
0.765
0.741
0.727
0.718
0.711
0.706
0.703
0.700
0.697
0.695
0.694
0.692
0.691
0.690
0.689
0.688
0.688
0.687
0.686
0.686
0.685
0.685
0.684
0.684
0.684
0.683
0.683
0.683
0.681
0.679
0.678
0.677
0.676
0.674
0.20
1.376
1.061
0.978
0.941
0.920
0.906
0.896
0.889
0.883
0.879
0.876
0.873
0.870
0.868
0.866
0.865
0.863
0.862
0.861
0.860
0.859
0.858
0.858
0.857
0.856
0.856
0.855
0.855
0.854
0.854
0.851
0.849
0.846
0.845
0.845
0.842
0.10
3.078
1.886
1.638
1.533
1.476
1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
1.363
1.356
1.350
1.345
1.341
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
1.315
1.314
1.313
1.311
1.310
1.303
1.299
1.293
1.290
1.288
1.282
0.05
6.314
2.920
2.353
2.132
2.015
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708
1.706
1.703
1.701
1.699
1.697
1.684
1.676
1.665
1.660
1.657
1.645
0.025
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
2.056
2.052
2.048
2.045
2.042
2.021
2.009
1.992
1.984
1.979
1.960
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
p
0.99
α
0.01
31.821
6.965
4.541
3.747
3.365
3.143
2.998
2.896
2.821
2.764
2.718
2.681
2.650
2.624
2.602
2.583
2.567
2.552
2.539
2.528
2.518
2.508
2.500
2.492
2.485
2.479
2.473
2.467
2.462
2.457
2.423
2.403
2.377
2.364
2.357
2.326
0.995
0.999
0.9995
0.9999
0.005
63.657
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
2.779
2.771
2.763
2.756
2.750
2.704
2.678
2.643
2.626
2.616
2.576
0.001
318.309
22.327
10.215
7.173
5.893
5.208
4.785
4.501
4.297
4.144
4.025
3.930
3.852
3.787
3.733
3.686
3.646
3.610
3.579
3.552
3.527
3.505
3.485
3.467
3.450
3.435
3.421
3.408
3.396
3.385
3.307
3.261
3.202
3.174
3.157
3.090
0.0005
636.619
31.599
12.924
8.610
6.869
5.959
5.408
5.041
4.781
4.587
4.437
4.318
4.221
4.140
4.073
4.015
3.965
3.922
3.883
3.850
3.819
3.792
3.768
3.745
3.725
3.707
3.690
3.674
3.659
3.646
3.551
3.496
3.425
3.390
3.370
3.291
0.0001
3183.099
70.700
22.204
13.034
9.678
8.025
7.063
6.442
6.010
5.694
5.453
5.263
5.111
4.985
4.880
4.791
4.714
4.648
4.590
4.539
4.493
4.452
4.415
4.382
4.352
4.324
4.299
4.275
4.254
4.234
4.094
4.014
3.911
3.862
3.832
3.719
v.1.00
Estadı́stica II
2.5.
15
Distribución χ2 Ji-Cuadrada
Y ∼ χ2ν
siendo ν los grados de libertad.
Z y
φχ2 (u)du = 1 − α
p = P (Y ≤ y) =
0
α
p
donde
φχ2 (u) =
1
uν/2−1 e−u/2
2ν/2 Γ (ν/2)
0
x
Tabla 2. Valores crı́ticos χ2(α;ν) de la distribución χ2ν Ji-Cuadrada.
p
0.005
0.01
0.025
0.05
0.1
0.90
0.95
0.975
0.99
0.995
0.10
2.706
4.605
6.251
7.779
9.236
10.645
12.017
13.362
14.684
15.987
17.275
18.549
19.812
21.064
22.307
23.542
24.769
25.989
27.204
28.412
29.615
30.813
32.007
33.196
34.382
35.563
36.741
37.916
39.087
40.256
41.422
42.585
43.745
44.903
46.059
47.212
48.363
49.513
50.660
51.805
63.167
91.061
118.498
0.05
3.841
5.991
7.815
9.488
11.070
12.592
14.067
15.507
16.919
18.307
19.675
21.026
22.362
23.685
24.996
26.296
27.587
28.869
30.144
31.410
32.671
33.924
35.172
36.415
37.652
38.885
40.113
41.337
42.557
43.773
44.985
46.194
47.400
48.602
49.802
50.998
52.192
53.384
54.572
55.758
67.505
96.217
124.342
0.025
5.024
7.378
9.348
11.143
12.833
14.449
16.013
17.535
19.023
20.483
21.920
23.337
24.736
26.119
27.488
28.845
30.191
31.526
32.852
34.170
35.479
36.781
38.076
39.364
40.646
41.923
43.195
44.461
45.722
46.979
48.232
49.480
50.725
51.966
53.203
54.437
55.668
56.896
58.120
59.342
71.420
100.839
129.561
0.01
6.635
9.210
11.345
13.277
15.086
16.812
18.475
20.090
21.666
23.209
24.725
26.217
27.688
29.141
30.578
32.000
33.409
34.805
36.191
37.566
38.932
40.289
41.638
42.980
44.314
45.642
46.963
48.278
49.588
50.892
52.191
53.486
54.776
56.061
57.342
58.619
59.893
61.162
62.428
63.691
76.154
106.393
135.807
0.005
7.879
10.597
12.838
14.860
16.750
18.548
20.278
21.955
23.589
25.188
26.757
28.300
29.819
31.319
32.801
34.267
35.718
37.156
38.582
39.997
41.401
42.796
44.181
45.559
46.928
48.290
49.645
50.993
52.336
53.672
55.003
56.328
57.648
58.964
60.275
61.581
62.883
64.181
65.476
66.766
79.490
110.286
140.169
α
ν
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
50
75
100
0.995
0.000
0.010
0.072
0.207
0.412
0.676
0.989
1.344
1.735
2.156
2.603
3.074
3.565
4.075
4.601
5.142
5.697
6.265
6.844
7.434
8.034
8.643
9.260
9.886
10.520
11.160
11.808
12.461
13.121
13.787
14.458
15.134
15.815
16.501
17.192
17.887
18.586
19.289
19.996
20.707
27.991
47.206
67.328
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
0.99
0.000
0.020
0.115
0.297
0.554
0.872
1.239
1.646
2.088
2.558
3.053
3.571
4.107
4.660
5.229
5.812
6.408
7.015
7.633
8.260
8.897
9.542
10.196
10.856
11.524
12.198
12.879
13.565
14.256
14.953
15.655
16.362
17.074
17.789
18.509
19.233
19.960
20.691
21.426
22.164
29.707
49.475
70.065
0.975
0.001
0.051
0.216
0.484
0.831
1.237
1.690
2.180
2.700
3.247
3.816
4.404
5.009
5.629
6.262
6.908
7.564
8.231
8.907
9.591
10.283
10.982
11.689
12.401
13.120
13.844
14.573
15.308
16.047
16.791
17.539
18.291
19.047
19.806
20.569
21.336
22.106
22.878
23.654
24.433
32.357
52.942
74.222
0.95
0.004
0.103
0.352
0.711
1.145
1.635
2.167
2.733
3.325
3.940
4.575
5.226
5.892
6.571
7.261
7.962
8.672
9.390
10.117
10.851
11.591
12.338
13.091
13.848
14.611
15.379
16.151
16.928
17.708
18.493
19.281
20.072
20.867
21.664
22.465
23.269
24.075
24.884
25.695
26.509
34.764
56.054
77.929
0.90
0.016
0.211
0.584
1.064
1.610
2.204
2.833
3.490
4.168
4.865
5.578
6.304
7.042
7.790
8.547
9.312
10.085
10.865
11.651
12.443
13.240
14.041
14.848
15.659
16.473
17.292
18.114
18.939
19.768
20.599
21.434
22.271
23.110
23.952
24.797
25.643
26.492
27.343
28.196
29.051
37.689
59.795
82.358
v.1.00
Estadı́stica II
2.6.
16
Distribución F
F ∼ Fν1 ,ν2
siendo ν1 y ν2 los grados de libertad.
p = P (F ≤ f ) =
Z
0
f
φF (u)du = 1 − α
donde
φF (u) =
α
p
Γ
ν1 +ν2
2
ν /2 ν /2
ν 1 1 ν2 2
Γ(ν1 /2)Γ(ν2 /2)
0
u(ν1 /2)−1 (ν2 + ν1 u)−(ν1 +ν2 )/2
f
Nota: Si F ∼ Fν1 ,ν2 , entonces,
p = P (F ≤ F(1−α;ν1 ,ν2 ) ) = P
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
F ≤
1
F(α;ν2 ,ν1 )
=1−α
v.1.00
p = 0.90
α = 0.10
ν1
ν2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
80
100
120
∞
1
39.86
8.53
5.54
4.54
4.06
3.78
3.59
3.46
3.36
3.29
3.23
3.18
3.14
3.10
3.07
3.05
3.03
3.01
2.99
2.97
2.96
2.95
2.94
2.93
2.92
2.91
2.90
2.89
2.89
2.88
2.84
2.79
2.77
2.76
2.75
2.71
2
49.50
9.00
5.46
4.32
3.78
3.46
3.26
3.11
3.01
2.92
2.86
2.81
2.76
2.73
2.70
2.67
2.64
2.62
2.61
2.59
2.57
2.56
2.55
2.54
2.53
2.52
2.51
2.50
2.50
2.49
2.44
2.39
2.37
2.36
2.35
2.30
3
53.59
9.16
5.39
4.19
3.62
3.29
3.07
2.92
2.81
2.73
2.66
2.61
2.56
2.52
2.49
2.46
2.44
2.42
2.40
2.38
2.36
2.35
2.34
2.33
2.32
2.31
2.30
2.29
2.28
2.28
2.23
2.18
2.15
2.14
2.13
2.08
4
55.83
9.24
5.34
4.11
3.52
3.18
2.96
2.81
2.69
2.61
2.54
2.48
2.43
2.39
2.36
2.33
2.31
2.29
2.27
2.25
2.23
2.22
2.21
2.19
2.18
2.17
2.17
2.16
2.15
2.14
2.09
2.04
2.02
2.00
1.99
1.95
5
57.24
9.29
5.31
4.05
3.45
3.11
2.88
2.73
2.61
2.52
2.45
2.39
2.35
2.31
2.27
2.24
2.22
2.20
2.18
2.16
2.14
2.13
2.11
2.10
2.09
2.08
2.07
2.06
2.06
2.05
2.00
1.95
1.92
1.91
1.90
1.85
6
58.20
9.33
5.28
4.01
3.40
3.05
2.83
2.67
2.55
2.46
2.39
2.33
2.28
2.24
2.21
2.18
2.15
2.13
2.11
2.09
2.08
2.06
2.05
2.04
2.02
2.01
2.00
2.00
1.99
1.98
1.93
1.87
1.85
1.83
1.82
1.77
7
58.91
9.35
5.27
3.98
3.37
3.01
2.78
2.62
2.51
2.41
2.34
2.28
2.23
2.19
2.16
2.13
2.10
2.08
2.06
2.04
2.02
2.01
1.99
1.98
1.97
1.96
1.95
1.94
1.93
1.93
1.87
1.82
1.79
1.78
1.77
1.72
8
59.44
9.37
5.25
3.95
3.34
2.98
2.75
2.59
2.47
2.38
2.30
2.24
2.20
2.15
2.12
2.09
2.06
2.04
2.02
2.00
1.98
1.97
1.95
1.94
1.93
1.92
1.91
1.90
1.89
1.88
1.83
1.77
1.75
1.73
1.72
1.67
9
59.86
9.38
5.24
3.94
3.32
2.96
2.72
2.56
2.44
2.35
2.27
2.21
2.16
2.12
2.09
2.06
2.03
2.00
1.98
1.96
1.95
1.93
1.92
1.91
1.89
1.88
1.87
1.87
1.86
1.85
1.79
1.74
1.71
1.69
1.68
1.63
10
60.19
9.39
5.23
3.92
3.30
2.94
2.70
2.54
2.42
2.32
2.25
2.19
2.14
2.10
2.06
2.03
2.00
1.98
1.96
1.94
1.92
1.90
1.89
1.88
1.87
1.86
1.85
1.84
1.83
1.82
1.76
1.71
1.68
1.66
1.65
1.60
12
60.71
9.41
5.22
3.90
3.27
2.90
2.67
2.50
2.38
2.28
2.21
2.15
2.10
2.05
2.02
1.99
1.96
1.93
1.91
1.89
1.87
1.86
1.84
1.83
1.82
1.81
1.80
1.79
1.78
1.77
1.71
1.66
1.63
1.61
1.60
1.55
15
61.22
9.42
5.20
3.87
3.24
2.87
2.63
2.46
2.34
2.24
2.17
2.10
2.05
2.01
1.97
1.94
1.91
1.89
1.86
1.84
1.83
1.81
1.80
1.78
1.77
1.76
1.75
1.74
1.73
1.72
1.66
1.60
1.57
1.56
1.55
1.49
20
61.74
9.44
5.18
3.84
3.21
2.84
2.59
2.42
2.30
2.20
2.12
2.06
2.01
1.96
1.92
1.89
1.86
1.84
1.81
1.79
1.78
1.76
1.74
1.73
1.72
1.71
1.70
1.69
1.68
1.67
1.61
1.54
1.51
1.49
1.48
1.42
25
62.05
9.45
5.17
3.83
3.19
2.81
2.57
2.40
2.27
2.17
2.10
2.03
1.98
1.93
1.89
1.86
1.83
1.80
1.78
1.76
1.74
1.73
1.71
1.70
1.68
1.67
1.66
1.65
1.64
1.63
1.57
1.50
1.47
1.45
1.44
1.38
50
62.69
9.47
5.15
3.80
3.15
2.77
2.52
2.35
2.22
2.12
2.04
1.97
1.92
1.87
1.83
1.79
1.76
1.74
1.71
1.69
1.67
1.65
1.64
1.62
1.61
1.59
1.58
1.57
1.56
1.55
1.48
1.41
1.38
1.35
1.34
1.26
75
62.90
9.48
5.15
3.78
3.13
2.75
2.51
2.33
2.20
2.10
2.02
1.95
1.89
1.85
1.80
1.77
1.74
1.71
1.69
1.66
1.64
1.63
1.61
1.59
1.58
1.57
1.55
1.54
1.53
1.52
1.45
1.38
1.34
1.32
1.30
1.22
100
63.01
9.48
5.14
3.78
3.13
2.75
2.50
2.32
2.19
2.09
2.01
1.94
1.88
1.83
1.79
1.76
1.73
1.70
1.67
1.65
1.63
1.61
1.59
1.58
1.56
1.55
1.54
1.53
1.52
1.51
1.43
1.36
1.32
1.29
1.28
1.19
∞
63.32
9.49
5.13
3.76
3.11
2.72
2.47
2.29
2.16
2.06
1.97
1.90
1.85
1.80
1.76
1.72
1.69
1.66
1.63
1.61
1.59
1.57
1.55
1.53
1.52
1.50
1.49
1.48
1.47
1.46
1.38
1.29
1.25
1.22
1.19
1.03
Estadı́stica II
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
Tabla 2A. Valores crı́ticos F(α;ν1 ,ν2 ) de la distribución F .
17
v.1.00
p = 0.95
α = 0.05
ν1
ν2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
80
100
120
∞
1
161.45
18.51
10.13
7.71
6.61
5.99
5.59
5.32
5.12
4.96
4.84
4.75
4.67
4.60
4.54
4.49
4.45
4.41
4.38
4.35
4.32
4.30
4.28
4.26
4.24
4.23
4.21
4.20
4.18
4.17
4.08
4.00
3.96
3.94
3.92
3.84
2
199.50
19.00
9.55
6.94
5.79
5.14
4.74
4.46
4.26
4.10
3.98
3.89
3.81
3.74
3.68
3.63
3.59
3.55
3.52
3.49
3.47
3.44
3.42
3.40
3.39
3.37
3.35
3.34
3.33
3.32
3.23
3.15
3.11
3.09
3.07
3.00
3
215.71
19.16
9.28
6.59
5.41
4.76
4.35
4.07
3.86
3.71
3.59
3.49
3.41
3.34
3.29
3.24
3.20
3.16
3.13
3.10
3.07
3.05
3.03
3.01
2.99
2.98
2.96
2.95
2.93
2.92
2.84
2.76
2.72
2.70
2.68
2.61
4
224.58
19.25
9.12
6.39
5.19
4.53
4.12
3.84
3.63
3.48
3.36
3.26
3.18
3.11
3.06
3.01
2.96
2.93
2.90
2.87
2.84
2.82
2.80
2.78
2.76
2.74
2.73
2.71
2.70
2.69
2.61
2.53
2.49
2.46
2.45
2.37
5
230.16
19.30
9.01
6.26
5.05
4.39
3.97
3.69
3.48
3.33
3.20
3.11
3.03
2.96
2.90
2.85
2.81
2.77
2.74
2.71
2.68
2.66
2.64
2.62
2.60
2.59
2.57
2.56
2.55
2.53
2.45
2.37
2.33
2.31
2.29
2.21
6
233.99
19.33
8.94
6.16
4.95
4.28
3.87
3.58
3.37
3.22
3.09
3.00
2.92
2.85
2.79
2.74
2.70
2.66
2.63
2.60
2.57
2.55
2.53
2.51
2.49
2.47
2.46
2.45
2.43
2.42
2.34
2.25
2.21
2.19
2.18
2.10
7
236.77
19.35
8.89
6.09
4.88
4.21
3.79
3.50
3.29
3.14
3.01
2.91
2.83
2.76
2.71
2.66
2.61
2.58
2.54
2.51
2.49
2.46
2.44
2.42
2.40
2.39
2.37
2.36
2.35
2.33
2.25
2.17
2.13
2.10
2.09
2.01
8
238.88
19.37
8.85
6.04
4.82
4.15
3.73
3.44
3.23
3.07
2.95
2.85
2.77
2.70
2.64
2.59
2.55
2.51
2.48
2.45
2.42
2.40
2.37
2.36
2.34
2.32
2.31
2.29
2.28
2.27
2.18
2.10
2.06
2.03
2.02
1.94
9
240.54
19.38
8.81
6.00
4.77
4.10
3.68
3.39
3.18
3.02
2.90
2.80
2.71
2.65
2.59
2.54
2.49
2.46
2.42
2.39
2.37
2.34
2.32
2.30
2.28
2.27
2.25
2.24
2.22
2.21
2.12
2.04
2.00
1.97
1.96
1.88
10
241.88
19.40
8.79
5.96
4.74
4.06
3.64
3.35
3.14
2.98
2.85
2.75
2.67
2.60
2.54
2.49
2.45
2.41
2.38
2.35
2.32
2.30
2.27
2.25
2.24
2.22
2.20
2.19
2.18
2.16
2.08
1.99
1.95
1.93
1.91
1.83
12
243.91
19.41
8.74
5.91
4.68
4.00
3.57
3.28
3.07
2.91
2.79
2.69
2.60
2.53
2.48
2.42
2.38
2.34
2.31
2.28
2.25
2.23
2.20
2.18
2.16
2.15
2.13
2.12
2.10
2.09
2.00
1.92
1.88
1.85
1.83
1.75
15
245.95
19.43
8.70
5.86
4.62
3.94
3.51
3.22
3.01
2.85
2.72
2.62
2.53
2.46
2.40
2.35
2.31
2.27
2.23
2.20
2.18
2.15
2.13
2.11
2.09
2.07
2.06
2.04
2.03
2.01
1.92
1.84
1.79
1.77
1.75
1.67
20
248.01
19.45
8.66
5.80
4.56
3.87
3.44
3.15
2.94
2.77
2.65
2.54
2.46
2.39
2.33
2.28
2.23
2.19
2.16
2.12
2.10
2.07
2.05
2.03
2.01
1.99
1.97
1.96
1.94
1.93
1.84
1.75
1.70
1.68
1.66
1.57
25
249.26
19.46
8.63
5.77
4.52
3.83
3.40
3.11
2.89
2.73
2.60
2.50
2.41
2.34
2.28
2.23
2.18
2.14
2.11
2.07
2.05
2.02
2.00
1.97
1.96
1.94
1.92
1.91
1.89
1.88
1.78
1.69
1.64
1.62
1.60
1.51
50
251.77
19.48
8.58
5.70
4.44
3.75
3.32
3.02
2.80
2.64
2.51
2.40
2.31
2.24
2.18
2.12
2.08
2.04
2.00
1.97
1.94
1.91
1.88
1.86
1.84
1.82
1.81
1.79
1.77
1.76
1.66
1.56
1.51
1.48
1.46
1.35
75
252.62
19.48
8.56
5.68
4.42
3.73
3.29
2.99
2.77
2.60
2.47
2.37
2.28
2.21
2.14
2.09
2.04
2.00
1.96
1.93
1.90
1.87
1.84
1.82
1.80
1.78
1.76
1.75
1.73
1.72
1.61
1.51
1.45
1.42
1.40
1.28
100
253.04
19.49
8.55
5.66
4.41
3.71
3.27
2.97
2.76
2.59
2.46
2.35
2.26
2.19
2.12
2.07
2.02
1.98
1.94
1.91
1.88
1.85
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.73
1.71
1.70
1.59
1.48
1.43
1.39
1.37
1.25
∞
254.30
19.50
8.53
5.63
4.37
3.67
3.23
2.93
2.71
2.54
2.41
2.30
2.21
2.13
2.07
2.01
1.96
1.92
1.88
1.84
1.81
1.78
1.76
1.73
1.71
1.69
1.67
1.65
1.64
1.62
1.51
1.39
1.33
1.28
1.26
1.03
Estadı́stica II
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
Tabla 2B. Valores crı́ticos F(α;ν1 ,ν2 ) de la distribución F .
18
v.1.00
p = 0.975
α = 0.025
ν1
ν2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
80
100
120
∞
1
648.
38.51
17.44
12.22
10.01
8.81
8.07
7.57
7.21
6.94
6.72
6.55
6.41
6.30
6.20
6.12
6.04
5.98
5.92
5.87
5.83
5.79
5.75
5.72
5.69
5.66
5.63
5.61
5.59
5.57
5.42
5.29
5.22
5.18
5.15
5.03
2
799.
39.00
16.04
10.65
8.43
7.26
6.54
6.06
5.71
5.46
5.26
5.10
4.97
4.86
4.77
4.69
4.62
4.56
4.51
4.46
4.42
4.38
4.35
4.32
4.29
4.27
4.24
4.22
4.20
4.18
4.05
3.93
3.86
3.83
3.80
3.69
3
864.
39.17
15.44
9.98
7.76
6.60
5.89
5.42
5.08
4.83
4.63
4.47
4.35
4.24
4.15
4.08
4.01
3.95
3.90
3.86
3.82
3.78
3.75
3.72
3.69
3.67
3.65
3.63
3.61
3.59
3.46
3.34
3.28
3.25
3.23
3.12
4
900.
39.25
15.10
9.60
7.39
6.23
5.52
5.05
4.72
4.47
4.28
4.12
4.00
3.89
3.80
3.73
3.66
3.61
3.56
3.51
3.48
3.44
3.41
3.38
3.35
3.33
3.31
3.29
3.27
3.25
3.13
3.01
2.95
2.92
2.89
2.79
5
922.
39.30
14.88
9.36
7.15
5.99
5.29
4.82
4.48
4.24
4.04
3.89
3.77
3.66
3.58
3.50
3.44
3.38
3.33
3.29
3.25
3.22
3.18
3.15
3.13
3.10
3.08
3.06
3.04
3.03
2.90
2.79
2.73
2.70
2.67
2.57
6
937.
39.33
14.73
9.20
6.98
5.82
5.12
4.65
4.32
4.07
3.88
3.73
3.60
3.50
3.41
3.34
3.28
3.22
3.17
3.13
3.09
3.05
3.02
2.99
2.97
2.94
2.92
2.90
2.88
2.87
2.74
2.63
2.57
2.54
2.52
2.41
7
948.
39.36
14.62
9.07
6.85
5.70
4.99
4.53
4.20
3.95
3.76
3.61
3.48
3.38
3.29
3.22
3.16
3.10
3.05
3.01
2.97
2.93
2.90
2.87
2.85
2.82
2.80
2.78
2.76
2.75
2.62
2.51
2.45
2.42
2.39
2.29
8
957.
39.37
14.54
8.98
6.76
5.60
4.90
4.43
4.10
3.85
3.66
3.51
3.39
3.29
3.20
3.12
3.06
3.01
2.96
2.91
2.87
2.84
2.81
2.78
2.75
2.73
2.71
2.69
2.67
2.65
2.53
2.41
2.35
2.32
2.30
2.19
9
963.
39.39
14.47
8.90
6.68
5.52
4.82
4.36
4.03
3.78
3.59
3.44
3.31
3.21
3.12
3.05
2.98
2.93
2.88
2.84
2.80
2.76
2.73
2.70
2.68
2.65
2.63
2.61
2.59
2.57
2.45
2.33
2.28
2.24
2.22
2.11
10
969.
39.40
14.42
8.84
6.62
5.46
4.76
4.30
3.96
3.72
3.53
3.37
3.25
3.15
3.06
2.99
2.92
2.87
2.82
2.77
2.73
2.70
2.67
2.64
2.61
2.59
2.57
2.55
2.53
2.51
2.39
2.27
2.21
2.18
2.16
2.05
12
977.
39.41
14.34
8.75
6.52
5.37
4.67
4.20
3.87
3.62
3.43
3.28
3.15
3.05
2.96
2.89
2.82
2.77
2.72
2.68
2.64
2.60
2.57
2.54
2.51
2.49
2.47
2.45
2.43
2.41
2.29
2.17
2.11
2.08
2.05
1.95
15
985.
39.43
14.25
8.66
6.43
5.27
4.57
4.10
3.77
3.52
3.33
3.18
3.05
2.95
2.86
2.79
2.72
2.67
2.62
2.57
2.53
2.50
2.47
2.44
2.41
2.39
2.36
2.34
2.32
2.31
2.18
2.06
2.00
1.97
1.94
1.83
20
993.
39.45
14.17
8.56
6.33
5.17
4.47
4.00
3.67
3.42
3.23
3.07
2.95
2.84
2.76
2.68
2.62
2.56
2.51
2.46
2.42
2.39
2.36
2.33
2.30
2.28
2.25
2.23
2.21
2.20
2.07
1.94
1.88
1.85
1.82
1.71
25
998.
39.46
14.12
8.50
6.27
5.11
4.40
3.94
3.60
3.35
3.16
3.01
2.88
2.78
2.69
2.61
2.55
2.49
2.44
2.40
2.36
2.32
2.29
2.26
2.23
2.21
2.18
2.16
2.14
2.12
1.99
1.87
1.81
1.77
1.75
1.63
50
1008.
39.48
14.01
8.38
6.14
4.98
4.28
3.81
3.47
3.22
3.03
2.87
2.74
2.64
2.55
2.47
2.41
2.35
2.30
2.25
2.21
2.17
2.14
2.11
2.08
2.05
2.03
2.01
1.99
1.97
1.83
1.70
1.63
1.59
1.56
1.43
75
1011.
39.48
13.97
8.34
6.10
4.94
4.23
3.76
3.43
3.18
2.98
2.82
2.70
2.59
2.50
2.42
2.35
2.30
2.24
2.20
2.16
2.12
2.08
2.05
2.02
2.00
1.97
1.95
1.93
1.91
1.77
1.63
1.56
1.52
1.49
1.35
100
1013.
39.49
13.96
8.32
6.08
4.92
4.21
3.74
3.40
3.15
2.96
2.80
2.67
2.56
2.47
2.40
2.33
2.27
2.22
2.17
2.13
2.09
2.06
2.02
2.00
1.97
1.94
1.92
1.90
1.88
1.74
1.60
1.53
1.48
1.45
1.30
∞
1018.
39.50
13.90
8.26
6.02
4.85
4.14
3.67
3.33
3.08
2.88
2.73
2.60
2.49
2.40
2.32
2.25
2.19
2.13
2.09
2.04
2.00
1.97
1.94
1.91
1.88
1.85
1.83
1.81
1.79
1.64
1.48
1.40
1.35
1.31
1.04
Estadı́stica II
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
Tabla 2C. Valores crı́ticos F(α;ν1 ,ν2 ) de la distribución F .
19
v.1.00
p = 0.99
α = 0.01
ν1
ν2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
80
100
120
∞
1
4052.
98.50
34.12
21.20
16.26
13.75
12.25
11.26
10.56
10.04
9.65
9.33
9.07
8.86
8.68
8.53
8.40
8.29
8.18
8.10
8.02
7.95
7.88
7.82
7.77
7.72
7.68
7.64
7.60
7.56
7.31
7.08
6.96
6.90
6.85
6.64
2
4999.
99.00
30.82
18.00
13.27
10.92
9.55
8.65
8.02
7.56
7.21
6.93
6.70
6.51
6.36
6.23
6.11
6.01
5.93
5.85
5.78
5.72
5.66
5.61
5.57
5.53
5.49
5.45
5.42
5.39
5.18
4.98
4.88
4.82
4.79
4.61
3
5403.
99.17
29.46
16.69
12.06
9.78
8.45
7.59
6.99
6.55
6.22
5.95
5.74
5.56
5.42
5.29
5.18
5.09
5.01
4.94
4.87
4.82
4.76
4.72
4.68
4.64
4.60
4.57
4.54
4.51
4.31
4.13
4.04
3.98
3.95
3.78
4
5625.
99.25
28.71
15.98
11.39
9.15
7.85
7.01
6.42
5.99
5.67
5.41
5.21
5.04
4.89
4.77
4.67
4.58
4.50
4.43
4.37
4.31
4.26
4.22
4.18
4.14
4.11
4.07
4.04
4.02
3.83
3.65
3.56
3.51
3.48
3.32
5
5764.
99.30
28.24
15.52
10.97
8.75
7.46
6.63
6.06
5.64
5.32
5.06
4.86
4.69
4.56
4.44
4.34
4.25
4.17
4.10
4.04
3.99
3.94
3.90
3.85
3.82
3.78
3.75
3.73
3.70
3.51
3.34
3.26
3.21
3.17
3.02
6
5859.
99.33
27.91
15.21
10.67
8.47
7.19
6.37
5.80
5.39
5.07
4.82
4.62
4.46
4.32
4.20
4.10
4.01
3.94
3.87
3.81
3.76
3.71
3.67
3.63
3.59
3.56
3.53
3.50
3.47
3.29
3.12
3.04
2.99
2.96
2.80
7
5928.
99.36
27.67
14.98
10.46
8.26
6.99
6.18
5.61
5.20
4.89
4.64
4.44
4.28
4.14
4.03
3.93
3.84
3.77
3.70
3.64
3.59
3.54
3.50
3.46
3.42
3.39
3.36
3.33
3.30
3.12
2.95
2.87
2.82
2.79
2.64
8
5981.
99.37
27.49
14.80
10.29
8.10
6.84
6.03
5.47
5.06
4.74
4.50
4.30
4.14
4.00
3.89
3.79
3.71
3.63
3.56
3.51
3.45
3.41
3.36
3.32
3.29
3.26
3.23
3.20
3.17
2.99
2.82
2.74
2.69
2.66
2.51
9
6022.
99.39
27.35
14.66
10.16
7.98
6.72
5.91
5.35
4.94
4.63
4.39
4.19
4.03
3.89
3.78
3.68
3.60
3.52
3.46
3.40
3.35
3.30
3.26
3.22
3.18
3.15
3.12
3.09
3.07
2.89
2.72
2.64
2.59
2.56
2.41
10
6056.
99.40
27.23
14.55
10.05
7.87
6.62
5.81
5.26
4.85
4.54
4.30
4.10
3.94
3.80
3.69
3.59
3.51
3.43
3.37
3.31
3.26
3.21
3.17
3.13
3.09
3.06
3.03
3.00
2.98
2.80
2.63
2.55
2.50
2.47
2.32
12
6106.
99.42
27.05
14.37
9.89
7.72
6.47
5.67
5.11
4.71
4.40
4.16
3.96
3.80
3.67
3.55
3.46
3.37
3.30
3.23
3.17
3.12
3.07
3.03
2.99
2.96
2.93
2.90
2.87
2.84
2.66
2.50
2.42
2.37
2.34
2.19
15
6157.
99.43
26.87
14.20
9.72
7.56
6.31
5.52
4.96
4.56
4.25
4.01
3.82
3.66
3.52
3.41
3.31
3.23
3.15
3.09
3.03
2.98
2.93
2.89
2.85
2.81
2.78
2.75
2.73
2.70
2.52
2.35
2.27
2.22
2.19
2.04
20
6209.
99.45
26.69
14.02
9.55
7.40
6.16
5.36
4.81
4.41
4.10
3.86
3.66
3.51
3.37
3.26
3.16
3.08
3.00
2.94
2.88
2.83
2.78
2.74
2.70
2.66
2.63
2.60
2.57
2.55
2.37
2.20
2.12
2.07
2.03
1.88
25
6240.
99.46
26.58
13.91
9.45
7.30
6.06
5.26
4.71
4.31
4.01
3.76
3.57
3.41
3.28
3.16
3.07
2.98
2.91
2.84
2.79
2.73
2.69
2.64
2.60
2.57
2.54
2.51
2.48
2.45
2.27
2.10
2.01
1.97
1.93
1.77
50
6303.
99.48
26.35
13.69
9.24
7.09
5.86
5.07
4.52
4.12
3.81
3.57
3.38
3.22
3.08
2.97
2.87
2.78
2.71
2.64
2.58
2.53
2.48
2.44
2.40
2.36
2.33
2.30
2.27
2.25
2.06
1.88
1.79
1.74
1.70
1.53
75
6324.
99.49
26.28
13.61
9.17
7.02
5.79
5.00
4.45
4.05
3.74
3.50
3.31
3.15
3.01
2.90
2.80
2.71
2.64
2.57
2.51
2.46
2.41
2.37
2.33
2.29
2.26
2.23
2.20
2.17
1.98
1.79
1.70
1.65
1.61
1.42
100
6334.
99.49
26.24
13.58
9.13
6.99
5.75
4.96
4.41
4.01
3.71
3.47
3.27
3.11
2.98
2.86
2.76
2.68
2.60
2.54
2.48
2.42
2.37
2.33
2.29
2.25
2.22
2.19
2.16
2.13
1.94
1.75
1.65
1.60
1.56
1.36
∞
6366.
99.50
26.13
13.46
9.02
6.88
5.65
4.86
4.31
3.91
3.60
3.36
3.17
3.01
2.87
2.75
2.65
2.57
2.49
2.42
2.36
2.31
2.26
2.21
2.17
2.13
2.10
2.07
2.04
2.01
1.81
1.60
1.50
1.43
1.38
1.05
Estadı́stica II
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
Tabla 2D. Valores crı́ticos F(α;ν1 ,ν2 ) de la distribución F .
20
v.1.00
p = 0.995
α = 0.005
ν1
ν2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
80
100
120
∞
1
16211.
198.50
55.55
31.33
22.78
18.63
16.24
14.69
13.61
12.83
12.23
11.75
11.37
11.06
10.80
10.58
10.38
10.22
10.07
9.94
9.83
9.73
9.63
9.55
9.48
9.41
9.34
9.28
9.23
9.18
8.83
8.49
8.33
8.24
8.18
7.88
2
19999.
199.00
49.80
26.28
18.31
14.54
12.40
11.04
10.11
9.43
8.91
8.51
8.19
7.92
7.70
7.51
7.35
7.21
7.09
6.99
6.89
6.81
6.73
6.66
6.60
6.54
6.49
6.44
6.40
6.35
6.07
5.79
5.67
5.59
5.54
5.30
3
21615.
199.17
47.47
24.26
16.53
12.92
10.88
9.60
8.72
8.08
7.60
7.23
6.93
6.68
6.48
6.30
6.16
6.03
5.92
5.82
5.73
5.65
5.58
5.52
5.46
5.41
5.36
5.32
5.28
5.24
4.98
4.73
4.61
4.54
4.50
4.28
4
22500.
199.25
46.19
23.15
15.56
12.03
10.05
8.81
7.96
7.34
6.88
6.52
6.23
6.00
5.80
5.64
5.50
5.37
5.27
5.17
5.09
5.02
4.95
4.89
4.84
4.79
4.74
4.70
4.66
4.62
4.37
4.14
4.03
3.96
3.92
3.72
5
23056.
199.30
45.39
22.46
14.94
11.46
9.52
8.30
7.47
6.87
6.42
6.07
5.79
5.56
5.37
5.21
5.07
4.96
4.85
4.76
4.68
4.61
4.54
4.49
4.43
4.38
4.34
4.30
4.26
4.23
3.99
3.76
3.65
3.59
3.55
3.35
6
23437.
199.33
44.84
21.97
14.51
11.07
9.16
7.95
7.13
6.54
6.10
5.76
5.48
5.26
5.07
4.91
4.78
4.66
4.56
4.47
4.39
4.32
4.26
4.20
4.15
4.10
4.06
4.02
3.98
3.95
3.71
3.49
3.39
3.33
3.28
3.09
7
23715.
199.36
44.43
21.62
14.20
10.79
8.89
7.69
6.88
6.30
5.86
5.52
5.25
5.03
4.85
4.69
4.56
4.44
4.34
4.26
4.18
4.11
4.05
3.99
3.94
3.89
3.85
3.81
3.77
3.74
3.51
3.29
3.19
3.13
3.09
2.90
8
23925.
199.37
44.13
21.35
13.96
10.57
8.68
7.50
6.69
6.12
5.68
5.35
5.08
4.86
4.67
4.52
4.39
4.28
4.18
4.09
4.01
3.94
3.88
3.83
3.78
3.73
3.69
3.65
3.61
3.58
3.35
3.13
3.03
2.97
2.93
2.75
9
24091.
199.39
43.88
21.14
13.77
10.39
8.51
7.34
6.54
5.97
5.54
5.20
4.94
4.72
4.54
4.38
4.25
4.14
4.04
3.96
3.88
3.81
3.75
3.69
3.64
3.60
3.56
3.52
3.48
3.45
3.22
3.01
2.91
2.85
2.81
2.62
10
24224.
199.40
43.69
20.97
13.62
10.25
8.38
7.21
6.42
5.85
5.42
5.09
4.82
4.60
4.42
4.27
4.14
4.03
3.93
3.85
3.77
3.70
3.64
3.59
3.54
3.49
3.45
3.41
3.38
3.34
3.12
2.90
2.80
2.74
2.71
2.52
12
24426.
199.42
43.39
20.70
13.38
10.03
8.18
7.01
6.23
5.66
5.24
4.91
4.64
4.43
4.25
4.10
3.97
3.86
3.76
3.68
3.60
3.54
3.47
3.42
3.37
3.33
3.28
3.25
3.21
3.18
2.95
2.74
2.64
2.58
2.54
2.36
15
24630.
199.43
43.08
20.44
13.15
9.81
7.97
6.81
6.03
5.47
5.05
4.72
4.46
4.25
4.07
3.92
3.79
3.68
3.59
3.50
3.43
3.36
3.30
3.25
3.20
3.15
3.11
3.07
3.04
3.01
2.78
2.57
2.47
2.41
2.37
2.19
20
24836.
199.45
42.78
20.17
12.90
9.59
7.75
6.61
5.83
5.27
4.86
4.53
4.27
4.06
3.88
3.73
3.61
3.50
3.40
3.32
3.24
3.18
3.12
3.06
3.01
2.97
2.93
2.89
2.86
2.82
2.60
2.39
2.29
2.23
2.19
2.00
25
24960.
199.46
42.59
20.00
12.76
9.45
7.62
6.48
5.71
5.15
4.74
4.41
4.15
3.94
3.77
3.62
3.49
3.38
3.29
3.20
3.13
3.06
3.00
2.95
2.90
2.85
2.81
2.77
2.74
2.71
2.48
2.27
2.17
2.11
2.07
1.88
50
25211.
199.48
42.21
19.67
12.45
9.17
7.35
6.22
5.45
4.90
4.49
4.17
3.91
3.70
3.52
3.37
3.25
3.14
3.04
2.96
2.88
2.82
2.76
2.70
2.65
2.61
2.57
2.53
2.49
2.46
2.23
2.01
1.90
1.84
1.80
1.59
75
25295.
199.49
42.09
19.55
12.35
9.07
7.26
6.13
5.37
4.82
4.40
4.08
3.82
3.61
3.44
3.29
3.16
3.05
2.96
2.87
2.80
2.73
2.67
2.61
2.56
2.52
2.48
2.44
2.40
2.37
2.14
1.91
1.80
1.74
1.69
1.47
100
25337.
199.49
42.02
19.50
12.30
9.03
7.22
6.09
5.32
4.77
4.36
4.04
3.78
3.57
3.39
3.25
3.12
3.01
2.91
2.83
2.75
2.69
2.62
2.57
2.52
2.47
2.43
2.39
2.36
2.32
2.09
1.86
1.75
1.68
1.64
1.40
∞
25463.
199.50
41.83
19.33
12.15
8.88
7.08
5.95
5.19
4.64
4.23
3.91
3.65
3.44
3.26
3.11
2.99
2.87
2.78
2.69
2.62
2.55
2.49
2.43
2.38
2.33
2.29
2.25
2.21
2.18
1.93
1.69
1.57
1.49
1.43
1.05
Estadı́stica II
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
Tabla 2E. Valores crı́ticos F(α;ν1 ,ν2 ) de la distribución F .
21
v.1.00
Estadı́stica II
2.7.
22
Distribución del estadı́stico ρs de Spearman
P
6 d2i
ρs = 1 − 3
n −n
donde di es la diferencia de rangos para el individuo i.
α
p
Nota: −1 ≤ ρs ≤ 1 y su distribución es simétrica, luego
P (ρs ≥ rs ) = P (ρs ≤ −rs ).
X
p = P (ρs ≤ r) =
P (ρs = k) = 1 − α
0
−1
k
r
1
Tabla 2. Valores crı́ticos r(α;n) de la distribución ρs de Spearman∗ .
p
0.99
0.975
p
0.95
0.90
0.99
0.975
α
n
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
∗
0.01
1.000
0.943
0.893
0.833
0.783
0.745
0.709
0.678
0.648
0.626
0.604
0.582
0.566
0.550
0.535
0.521
0.508
0.497
0.486
0.475
0.466
0.457
0.448
0.440
0.432
0.425
0.418
0.412
0.405
0.399
0.394
0.388
0.383
0.378
0.373
0.368
0.364
0.359
0.355
0.351
0.347
0.343
0.340
0.336
0.333
0.329
0.326
0.323
0.025
1.000
0.886
0.786
0.738
0.700
0.648
0.618
0.587
0.560
0.538
0.521
0.503
0.488
0.472
0.458
0.446
0.435
0.425
0.415
0.406
0.398
0.390
0.382
0.375
0.368
0.362
0.356
0.350
0.345
0.340
0.335
0.330
0.325
0.321
0.317
0.313
0.309
0.305
0.301
0.298
0.294
0.291
0.288
0.285
0.282
0.279
0.276
0.274
0.95
0.90
0.05
0.228
0.226
0.224
0.222
0.220
0.218
0.216
0.214
0.213
0.211
0.209
0.207
0.206
0.204
0.203
0.201
0.200
0.198
0.197
0.195
0.194
0.193
0.191
0.190
0.189
0.188
0.186
0.185
0.184
0.183
0.182
0.181
0.180
0.179
0.177
0.176
0.175
0.174
0.173
0.173
0.172
0.171
0.170
0.169
0.168
0.167
0.166
0.165
0.10
0.179
0.177
0.175
0.174
0.172
0.171
0.169
0.168
0.166
0.165
0.163
0.162
0.161
0.160
0.158
0.157
0.156
0.155
0.154
0.153
0.152
0.151
0.150
0.149
0.148
0.147
0.146
0.145
0.144
0.143
0.142
0.141
0.140
0.139
0.139
0.138
0.137
0.136
0.135
0.135
0.134
0.133
0.133
0.132
0.131
0.130
0.130
0.129
α
0.05
0.900
0.829
0.714
0.643
0.600
0.564
0.536
0.503
0.484
0.464
0.446
0.429
0.414
0.401
0.390
0.379
0.369
0.360
0.352
0.344
0.337
0.330
0.324
0.317
0.312
0.306
0.301
0.296
0.291
0.287
0.283
0.279
0.275
0.271
0.267
0.264
0.261
0.257
0.254
0.251
0.248
0.246
0.243
0.240
0.238
0.235
0.233
0.231
0.10
0.800
0.657
0.571
0.524
0.483
0.455
0.427
0.406
0.385
0.367
0.354
0.341
0.328
0.317
0.307
0.299
0.291
0.284
0.277
0.271
0.265
0.259
0.254
0.249
0.245
0.240
0.236
0.232
0.229
0.225
0.222
0.218
0.215
0.212
0.209
0.207
0.204
0.201
0.199
0.197
0.194
0.192
0.190
0.188
0.186
0.184
0.182
0.180
n
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
0.01
0.320
0.317
0.314
0.311
0.308
0.306
0.303
0.301
0.298
0.296
0.293
0.291
0.289
0.287
0.284
0.282
0.280
0.278
0.276
0.274
0.272
0.271
0.269
0.267
0.265
0.264
0.262
0.260
0.259
0.257
0.255
0.254
0.252
0.251
0.250
0.248
0.247
0.245
0.244
0.243
0.241
0.240
0.239
0.238
0.236
0.235
0.234
0.233
0.025
0.271
0.268
0.266
0.264
0.261
0.259
0.257
0.254
0.252
0.250
0.248
0.246
0.244
0.243
0.241
0.239
0.237
0.235
0.234
0.232
0.230
0.229
0.227
0.226
0.224
0.223
0.221
0.220
0.219
0.217
0.216
0.215
0.213
0.212
0.211
0.210
0.209
0.207
0.206
0.205
0.204
0.203
0.202
0.201
0.200
0.199
0.198
0.197
Nota: Para n ≥ 19, se presentan aproximaciones por medio de series de Edgeworth.
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
v.1.00
Estadı́stica II
2.8.
23
Distribución del estadı́stico U de Mann-Whitney
Sean X1 , ..., Xm y Y1 , ..., Yn dos muestras.
U = TX −
m(m + 1)
2
α
p
P
donde TX =
R(Xi ) i.e. la suma de los rangos de
las Xi , en la muestra conjunta de X y Y .
Notas:
La distribución de U es simétrica en m y n.
Para valores de m y n mayores a 40, la distribución de U es aproximadamente normal.
0
u
Prueba de hipótesis H0 : E[X] ≤ E[Y ] de significancia α:
Si
Si
U ≤ U(α;m,n)
U > U(α;m,n)
Se rechaza la hipótesis nula
No hay evidencia signigicativa para rechazar la hipótesis nula
Prueba de hipótesis H0 : E[X] ≥ E[Y ] de significancia α:
Si
Si
U ≥ mn − U(α;m,n)
U < mn − U(α;m,n)
Se rechaza la hipótesis nula
No hay evidencia signigicativa para rechazar la hipótesis nula
Prueba de hipótesis H0 : E[X] = E[Y ] de significancia α:
Si
Si
U ≤ U( α2 ;m,n) ó U ≥ mn − U( α2 ;m,n)
U( α2 ;m,n) < U < mn − U( α2 ;m,n)
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
Se rechaza la hipótesis nula
No hay evidencia signigicativa para rechazar la hipótesis nula
v.1.00
Estadı́stica II
24
Tabla 2A.1 Valores crı́ticos U(α;m,n) del estadı́stico de Mann-Whitney
α = 0.01
m
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
·
−
−
−
−
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
7
7
7
8
8
9
9
9
10
10
11
11
11
12
12
13
4
·
·
−
0
1
1
2
3
3
4
5
5
6
7
7
8
9
9
10
11
11
12
13
13
14
15
16
16
17
18
18
19
20
20
21
22
22
23
24
5
·
·
·
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
6
·
·
·
·
3
4
6
7
8
9
11
12
13
15
16
18
19
20
22
23
24
26
27
29
30
31
33
34
35
37
38
40
41
42
44
45
46
48
49
7
·
·
·
·
·
6
7
9
11
12
14
16
17
19
21
23
24
26
28
30
31
33
35
36
38
40
42
43
45
47
49
50
52
54
56
57
59
61
63
8
·
·
·
·
·
·
9
11
13
15
17
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
45
47
49
51
53
55
57
59
61
64
66
68
70
72
74
76
9
·
·
·
·
·
·
·
14
16
18
21
23
26
28
31
33
36
38
40
43
45
48
50
53
55
58
60
63
65
68
70
73
75
78
80
83
85
88
90
10
·
·
·
·
·
·
·
·
19
22
24
27
30
33
36
38
41
44
47
50
53
55
58
61
64
67
70
73
76
78
81
84
87
90
93
96
99
101
104
n
11
·
·
·
·
·
·
·
·
·
25
28
31
34
37
41
44
47
50
53
57
60
63
66
70
73
76
79
83
86
89
92
96
99
102
106
109
112
115
119
12
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
31
35
38
42
46
49
53
56
60
64
67
71
75
78
82
85
89
93
96
100
104
107
111
115
118
122
126
129
133
13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
39
43
47
51
55
59
63
67
71
75
79
83
87
91
95
99
103
107
111
115
119
123
127
131
135
139
144
148
14
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
47
51
56
60
65
69
73
78
82
87
91
95
100
104
109
113
118
122
127
131
135
140
144
149
153
158
162
15
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
56
61
66
70
75
80
85
90
94
99
104
109
114
119
123
128
133
138
143
148
153
158
162
167
172
177
16
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
66
71
76
82
87
92
97
102
108
113
118
123
129
134
139
144
150
155
160
165
171
176
181
187
192
17
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
77
82
88
93
99
105
110
116
122
127
133
139
144
150
156
161
167
173
178
184
190
195
201
207
18
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
88
94
100
106
112
118
124
130
136
142
149
155
161
167
173
179
185
191
197
203
209
216
222
19
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
101
107
113
120
126
133
139
146
152
159
165
172
178
185
191
198
204
211
217
224
230
237
20
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
114
121
127
134
141
148
155
162
169
176
182
189
196
203
210
217
224
231
238
245
252
Nota: Los caracteres “−” y “·” se refieren a valores inexistentes y valores que se pueden obtener por simetrı́a respectivamente.
Tabla 2A.2 Valores crı́ticos U(α;m,n) del estadı́stico de Mann-Whitney
α = 0.01
m
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
21
128
135
142
150
157
164
171
179
186
193
201
208
215
223
230
237
245
252
259
267
22
·
143
150
158
166
173
181
189
197
204
212
220
228
235
243
251
259
266
274
282
23
·
·
158
167
175
183
191
199
207
215
223
232
240
248
256
264
273
281
289
297
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
24
·
·
·
175
184
192
201
209
218
226
235
243
252
261
269
278
286
295
304
312
25
·
·
·
·
192
201
210
219
228
237
246
255
264
273
282
291
300
309
318
328
26
·
·
·
·
·
211
220
230
239
248
258
267
277
286
295
305
314
324
333
343
27
·
·
·
·
·
·
230
240
250
259
269
279
289
299
309
319
328
338
348
358
28
·
·
·
·
·
·
·
250
260
270
281
291
301
312
322
332
342
353
363
373
29
·
·
·
·
·
·
·
·
271
282
292
303
314
324
335
346
356
367
378
389
n
30
·
·
·
·
·
·
·
·
·
293
304
315
326
337
348
359
371
382
393
404
31
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
315
327
338
350
361
373
385
396
408
419
32
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
339
351
363
375
387
399
411
423
435
33
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
363
376
388
400
413
425
438
450
34
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
388
401
414
427
440
453
466
35
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
414
428
441
454
468
481
36
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
441
455
469
483
496
37
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
469
484
498
512
38
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
498
513
527
39
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
528
543
40
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
558
v.1.00
Estadı́stica II
25
Tabla 2B.1 Valores crı́ticos U(α;m,n) del estadı́stico de Mann-Whitney
α = 0.025
m
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
2
−
−
−
−
−
−
0
0
0
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
3
·
−
−
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
18
18
4
·
·
0
1
2
3
4
4
5
6
7
8
9
10
11
11
12
13
14
15
16
17
17
18
19
20
21
22
23
24
24
25
26
27
28
29
30
31
31
5
·
·
·
2
3
5
6
7
8
9
11
12
13
14
15
17
18
19
20
22
23
24
25
27
28
29
30
32
33
34
35
37
38
39
40
41
43
44
45
6
·
·
·
·
5
6
8
10
11
13
14
16
17
19
21
22
24
25
27
29
30
32
33
35
37
38
40
42
43
45
46
48
50
51
53
55
56
58
59
7
·
·
·
·
·
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
8
·
·
·
·
·
·
13
15
17
19
22
24
26
29
31
34
36
38
41
43
45
48
50
53
55
57
60
62
65
67
69
72
74
77
79
81
84
86
89
9
·
·
·
·
·
·
·
17
20
23
26
28
31
34
37
39
42
45
48
50
53
56
59
62
64
67
70
73
76
78
81
84
87
89
92
95
98
101
103
10
·
·
·
·
·
·
·
·
23
26
29
33
36
39
42
45
48
52
55
58
61
64
67
71
74
77
80
83
87
90
93
96
99
103
106
109
112
115
119
n
11
·
·
·
·
·
·
·
·
·
30
33
37
40
44
47
51
55
58
62
65
69
73
76
80
83
87
90
94
98
101
105
108
112
116
119
123
127
130
134
12
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
89
93
97
101
105
109
113
117
121
125
129
133
137
141
145
149
13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
45
50
54
59
63
67
72
76
80
85
89
94
98
102
107
111
116
120
125
129
133
138
142
147
151
156
160
165
14
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
55
59
64
69
74
78
83
88
93
98
102
107
112
117
122
127
131
136
141
146
151
156
161
165
170
175
180
15
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
64
70
75
80
85
90
96
101
106
111
117
122
127
132
138
143
148
153
159
164
169
174
180
185
190
196
16
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
75
81
86
92
98
103
109
115
120
126
132
137
143
149
154
160
166
171
177
183
188
194
200
206
211
17
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
87
93
99
105
111
117
123
129
135
141
147
154
160
166
172
178
184
190
196
202
209
215
221
227
18
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
99
106
112
119
125
132
138
145
151
158
164
171
177
184
190
197
203
210
216
223
230
236
243
19
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
113
119
126
133
140
147
154
161
168
175
182
189
196
203
210
217
224
231
238
245
252
258
20
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
127
134
141
149
156
163
171
178
186
193
200
208
215
222
230
237
245
252
259
267
274
Tabla 2B.2 Valores crı́ticos U(α;m,n) del estadı́stico de Mann-Whitney
α = 0.025
m
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
21
142
150
157
165
173
181
188
196
204
212
220
227
235
243
251
259
267
275
282
290
22
·
158
166
174
182
191
199
207
215
223
232
240
248
256
265
273
281
290
298
306
23
·
·
175
183
192
200
209
218
226
235
244
252
261
270
278
287
296
305
313
322
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
24
·
·
·
192
201
210
219
228
238
247
256
265
274
283
292
301
311
320
329
338
25
·
·
·
·
211
220
230
239
249
258
268
277
287
297
306
316
325
335
344
354
26
·
·
·
·
·
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
27
·
·
·
·
·
·
250
261
271
282
292
302
313
323
334
344
355
365
376
386
28
·
·
·
·
·
·
·
272
282
293
304
315
326
337
348
358
369
380
391
402
29
·
·
·
·
·
·
·
·
294
305
316
328
339
350
361
373
384
395
407
418
n
30
·
·
·
·
·
·
·
·
·
317
328
340
352
364
375
387
399
411
422
434
31
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
341
353
365
377
389
401
414
426
438
450
32
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
365
378
391
403
416
428
441
454
466
33
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
391
404
417
430
443
456
469
482
34
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
418
431
445
458
472
485
499
35
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
445
459
473
487
501
515
36
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
473
488
502
516
531
37
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
503
517
532
547
38
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
533
548
563
39
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
564
579
40
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
596
v.1.00
Estadı́stica II
26
Tabla 2C.1 Valores crı́ticos U(α;m,n) del estadı́stico de Mann-Whitney
α = 0.05
m
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
2
−
−
−
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10
11
3
·
−
0
1
2
2
3
3
4
5
5
6
7
7
8
9
9
10
11
11
12
13
13
14
15
15
16
17
17
18
19
19
20
21
21
22
23
23
24
4
·
·
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
38
39
5
·
·
·
4
5
6
8
9
11
12
13
15
16
18
19
20
22
23
25
26
28
29
30
32
33
35
36
38
39
40
42
43
45
46
48
49
50
52
53
6
·
·
·
·
7
8
10
12
14
16
17
19
21
23
25
26
28
30
32
34
36
37
39
41
43
45
46
48
50
52
54
56
57
59
61
63
65
67
68
7
·
·
·
·
·
11
13
15
17
19
21
24
26
28
30
33
35
37
39
41
44
46
48
50
53
55
57
59
61
64
66
68
70
73
75
77
79
82
84
8
·
·
·
·
·
·
15
18
20
23
26
28
31
33
36
39
41
44
47
49
52
54
57
60
62
65
68
70
73
76
78
81
84
86
89
91
94
97
99
9
·
·
·
·
·
·
·
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48
51
54
57
60
63
66
69
72
75
78
82
85
88
91
94
97
100
103
106
109
112
115
10
·
·
·
·
·
·
·
·
27
31
34
37
41
44
48
51
55
58
62
65
68
72
75
79
82
86
89
93
96
100
103
107
110
114
117
121
124
128
131
n
11
·
·
·
·
·
·
·
·
·
34
38
42
46
50
54
57
61
65
69
73
77
81
85
89
92
96
100
104
108
112
116
120
124
128
131
135
139
143
147
12
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
42
47
51
55
60
64
68
72
77
81
85
90
94
98
103
107
111
116
120
124
128
133
137
141
146
150
154
159
163
13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
51
56
61
65
70
75
80
84
89
94
98
103
108
113
117
122
127
132
136
141
146
151
156
160
165
170
175
179
14
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
61
66
71
77
82
87
92
97
102
107
113
118
123
128
133
138
144
149
154
159
164
170
175
180
185
190
196
15
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
72
77
83
88
94
100
105
111
116
122
128
133
139
144
150
156
161
167
172
178
184
189
195
201
206
212
16
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
83
89
95
101
107
113
119
125
131
137
143
149
156
162
168
174
180
186
192
198
204
210
216
222
228
17
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
96
102
109
115
121
128
134
141
147
154
160
167
173
180
186
193
199
206
212
219
225
232
238
245
18
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
109
116
123
130
136
143
150
157
164
171
178
185
192
199
206
212
219
226
233
240
247
254
261
19
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
123
130
138
145
152
160
167
174
182
189
196
204
211
218
226
233
241
248
255
263
270
278
20
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
138
146
154
161
169
177
185
192
200
208
216
224
231
239
247
255
263
271
278
286
294
Tabla 2C.2 Valores crı́ticos U(α;m,n) del estadı́stico de Mann-Whitney
α = 0.05
m
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
21
154
162
170
179
187
195
203
212
220
228
236
244
253
261
269
277
286
294
302
311
22
·
171
179
188
197
205
214
223
231
240
249
257
266
275
284
292
301
310
318
327
23
·
·
189
198
207
216
225
234
243
252
261
271
280
289
298
307
316
325
335
344
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
24
·
·
·
207
217
226
236
245
255
264
274
284
293
303
312
322
331
341
351
360
25
·
·
·
·
227
237
247
257
267
277
287
297
307
317
327
337
347
357
367
377
26
·
·
·
·
·
247
257
268
278
289
299
310
320
331
341
352
362
373
383
394
27
·
·
·
·
·
·
268
279
290
301
312
323
334
345
356
366
377
388
399
410
28
·
·
·
·
·
·
·
291
302
313
325
336
347
359
370
381
393
404
416
427
29
·
·
·
·
·
·
·
·
314
325
337
349
361
373
384
396
408
420
432
444
n
30
·
·
·
·
·
·
·
·
·
338
350
362
374
387
399
411
423
436
448
460
31
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
363
375
388
401
413
426
439
452
464
477
32
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
388
402
415
428
441
454
467
481
494
33
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
415
429
442
456
470
483
497
511
34
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
443
457
471
485
499
513
527
35
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
471
486
500
515
529
544
36
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
501
516
531
546
561
37
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
531
547
562
578
38
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
563
578
594
39
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
595
611
40
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
628
v.1.00
Estadı́stica II
27
Tabla 2D.1 Valores crı́ticos U(α;m,n) del estadı́stico de Mann-Whitney
α = 0.10
m
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
2
−
−
0
1
1
1
2
2
3
3
4
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
13
14
14
15
15
16
16
3
·
0
1
2
3
4
5
5
6
7
8
9
10
10
11
12
13
14
15
15
16
17
18
19
20
20
21
22
23
24
25
26
26
27
28
29
30
31
31
4
·
·
2
4
5
6
7
9
10
11
12
13
15
16
17
18
20
21
22
23
25
26
27
28
30
31
32
33
35
36
37
38
40
41
42
43
45
46
47
5
·
·
·
5
7
8
10
12
13
15
17
18
20
22
23
25
27
28
30
31
33
35
36
38
40
41
43
45
46
48
50
51
53
55
56
58
60
61
63
6
·
·
·
·
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
7
·
·
·
·
·
13
16
18
21
23
26
28
31
33
36
38
41
43
46
48
51
53
56
58
61
63
66
68
71
73
76
78
81
83
86
88
91
93
96
8
·
·
·
·
·
·
19
22
24
27
30
33
36
39
42
45
48
51
54
56
59
62
65
68
71
74
77
80
83
86
89
92
95
98
100
103
106
109
112
9
·
·
·
·
·
·
·
25
28
31
35
38
41
45
48
52
55
58
62
65
68
72
75
78
82
85
88
92
95
99
102
105
109
112
115
119
122
126
129
10
·
·
·
·
·
·
·
·
32
36
39
43
47
51
54
58
62
66
70
73
77
81
85
89
92
96
100
104
108
111
115
119
123
127
131
134
138
142
146
n
11
·
·
·
·
·
·
·
·
·
40
44
48
52
57
61
65
69
73
78
82
86
90
95
99
103
107
112
116
120
124
129
133
137
141
146
150
154
158
163
12
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
49
53
58
63
67
72
77
81
86
91
95
100
105
109
114
119
123
128
133
137
142
147
151
156
161
166
170
175
180
13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
58
63
68
74
79
84
89
94
99
104
109
114
120
125
130
135
140
145
150
156
161
166
171
176
181
186
192
197
14
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
69
74
80
85
91
97
102
108
113
119
124
130
136
141
147
152
158
163
169
175
180
186
191
197
203
208
214
15
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
80
86
92
98
104
110
116
122
128
134
140
146
152
158
164
170
177
183
189
195
201
207
213
219
225
231
16
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
93
99
106
112
119
125
131
138
144
151
157
164
170
177
183
190
196
203
209
216
222
229
235
242
248
17
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
106
113
120
127
134
141
147
154
161
168
175
182
189
196
203
210
217
224
230
237
244
251
258
265
18
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
120
128
135
142
150
157
164
172
179
186
194
201
209
216
223
231
238
245
253
260
268
275
282
19
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
135
143
151
159
167
174
182
190
198
206
213
221
229
237
245
253
260
268
276
284
292
300
20
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
151
160
168
176
184
193
201
209
217
226
234
242
251
259
267
275
284
292
300
309
317
37
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
565
581
597
613
38
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
597
614
630
39
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
631
648
Tabla 2D.2 Valores crı́ticos U(α;m,n) del estadı́stico de Mann-Whitney
α = 0.10
m
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
21
168
177
186
194
203
212
221
229
238
247
255
264
273
282
290
299
308
317
325
334
22
·
186
195
204
214
223
232
241
250
260
269
278
287
296
306
315
324
333
342
352
23
·
·
205
215
224
234
243
253
263
272
282
292
301
311
321
330
340
350
359
369
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
24
·
·
·
225
235
245
255
265
275
285
295
305
315
326
336
346
356
366
376
386
25
·
·
·
·
245
256
266
277
287
298
308
319
330
340
351
361
372
382
393
404
26
·
·
·
·
·
267
278
289
300
311
322
333
344
355
366
377
388
399
410
421
27
·
·
·
·
·
·
289
301
312
324
335
346
358
369
381
392
404
415
427
438
28
·
·
·
·
·
·
·
313
324
336
348
360
372
384
396
408
420
432
444
456
29
·
·
·
·
·
·
·
·
337
349
362
374
386
399
411
424
436
448
461
473
n
30
·
·
·
·
·
·
·
·
·
362
375
388
401
413
426
439
452
465
478
491
31
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
388
401
415
428
441
455
468
481
495
508
32
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
415
429
443
457
470
484
498
512
526
33
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
443
457
472
486
500
515
529
543
34
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
472
487
502
516
531
546
561
35
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
502
517
532
548
563
578
36
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
533
549
564
580
595
40
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
665
v.1.00
Estadı́stica II
3.
3.1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
28
Tabla de Números Aleatorios
1050 Números Seudoaleatorios
1
82207
08782
03897
31066
70691
05473
66636
72813
50139
08305
09732
06394
11775
05492
84217
35602
18937
09063
68686
94005
68729
61437
67205
81435
35931
29107
90077
94296
78466
24715
87308
96027
50097
13275
34327
44247
26040
78618
87347
80088
48543
12746
54959
63750
31078
43124
43025
79155
69978
95986
89260
70348
36057
14822
14861
92519
33432
85477
96733
95071
31762
74194
08009
19493
81881
65602
64218
15774
14027
51995
2
32971
88748
78310
29277
36787
12332
94524
65324
20777
08720
10854
20244
46653
36719
03832
93562
31233
72987
29310
63168
09294
46400
52661
01444
83937
34375
02749
76997
24707
47704
60352
08859
07108
51460
31136
78593
85864
40504
99792
22869
65583
72369
24443
64262
98829
64862
74904
22329
33341
86287
01121
95862
56642
56346
05403
01665
78296
95660
11979
31306
50916
44604
73767
59379
47467
02360
33987
49562
23287
52431
3
61821
93209
00843
39356
30040
29330
39277
37927
09743
45241
21679
41751
28843
45201
39880
46721
69786
22942
27737
99225
20553
83356
44940
69273
10333
28918
73330
31616
06113
81971
89109
53132
72610
87908
78592
55878
16778
02604
18053
56309
01521
88929
22348
57639
00648
36209
27636
61951
57891
20945
89550
10251
69166
34764
98439
42921
80872
43894
58208
51364
33590
83439
82915
53859
29274
40533
84448
70491
32715
58043
c E. Barrios y J. A. Garcı́a
4
07315
02753
36634
68641
86232
91235
13253
59485
09944
56392
23452
02024
57869
34011
90499
58406
27423
73570
41013
32729
60615
93696
65867
83712
78759
02651
41414
37554
49373
80046
15387
31129
27253
30894
39142
43412
71500
57240
68564
44646
16999
07235
87977
90103
58021
29283
84706
18687
24062
28844
86257
85670
42068
01974
63040
70981
91904
51113
47759
90976
22597
85492
35867
04117
30934
54264
44521
11895
90935
62695
5
05123
51060
88682
93508
45147
71281
56450
56667
51075
70316
78626
92900
78131
53980
51196
74254
61189
99178
71361
38332
47547
41961
47850
04884
05037
32807
95824
08270
50945
58200
87582
21942
86750
31955
86501
43229
71092
06697
62756
22752
97872
44319
95615
14477
95043
60822
67750
32898
72470
18291
48235
30137
99118
96148
81557
69109
49754
31450
30551
23021
60078
28450
78324
96045
22320
36303
87606
48996
13858
51833
6
49509
20520
01283
67156
26600
56367
27705
31734
08054
22790
03967
98611
14760
16243
27703
18811
73842
74670
70101
20433
95868
82064
19618
12117
03009
86061
65587
67042
95451
93027
35140
78718
28086
03957
72157
18323
13622
23727
08622
91753
10458
34906
61691
79209
59644
66093
72582
02136
81311
87287
35045
89658
22337
31068
96735
24056
55938
27637
38510
18136
96242
14910
94670
43959
73655
19012
05917
70008
21421
92116
7
90787
95553
18719
48082
06145
92870
40385
65678
08237
49750
32638
93004
05781
96598
33593
08743
95420
86925
87117
80957
27575
74905
34954
82171
45646
07634
40375
32544
58550
44994
53967
43613
39437
32518
63527
89169
92687
63192
15321
08212
39045
78656
65636
75450
46876
00365
36718
43242
20359
06384
11439
21653
58790
28547
23649
61950
98134
75221
65681
89260
55968
81475
20362
20782
72771
03235
19605
39219
54507
87174
8
40307
00304
05062
82129
34248
67289
45780
88267
56341
27856
34731
67680
80610
63744
78317
41168
28386
52416
73214
93792
28445
22200
96868
64567
70365
48297
67842
29185
42748
77322
38850
90474
67703
67123
74013
07109
44602
16315
90718
79369
38358
34954
20590
91035
07478
48681
04183
60520
67782
05109
37364
94004
94750
27859
69837
82158
83517
22127
74183
99351
07185
07563
24641
39648
44895
65292
15402
60029
80184
95566
9
17954
79373
58450
77012
55430
15497
46888
67990
60524
88651
13096
43594
98863
62028
98902
27447
07615
42298
13145
42603
75083
22864
98198
26240
71554
02864
49525
15643
77981
30296
90938
61483
17628
16800
76571
60604
49380
99058
29674
50526
00317
74594
28991
04374
71748
58598
22380
87246
29891
22216
28969
41721
79523
65449
08667
73354
95264
14441
61242
03051
01308
45893
53489
88951
87941
43814
76479
35009
00922
09210
10
39359
25619
03007
73662
73805
91458
01992
38285
11440
20872
89622
64250
25172
69860
82734
70694
05336
05322
54469
04600
57291
27586
38242
77157
02507
68798
63674
06072
78868
82056
54470
00138
06197
83785
87286
10544
20154
04616
82069
42499
60506
96445
11429
16419
35035
63975
96030
43448
66677
29425
16983
47262
43035
46979
13695
94756
30988
82722
14056
04622
01061
88970
06511
53974
85621
94427
73181
72325
41586
65367
11
03509
30230
18043
58886
69535
86862
24363
03004
77426
45309
96556
76547
13139
61257
32279
54801
82037
04194
17946
76042
15750
02415
04384
03304
35697
84678
03170
70927
49284
59420
70389
88732
50731
51182
06946
27785
74640
17027
33948
16318
00099
51104
66437
89987
28377
04758
54652
60134
16188
45199
31708
27860
90875
40955
71573
85887
03039
98994
96089
75100
84467
64756
67402
32391
92089
93421
33173
51324
07130
38960
12
41932
70305
82009
12708
70709
66026
24922
37612
12225
45738
49203
77016
84419
80528
00439
95152
09500
59593
22718
58495
11610
69494
93983
74675
47666
96942
48362
71644
07178
77465
35013
75923
29454
35737
13135
35265
69627
00662
49601
12735
93084
54658
06514
18093
78314
95095
16280
82182
83486
17817
09253
87321
47546
99165
60711
48311
19727
89319
39000
05123
25558
78089
90585
52822
40424
05174
38720
28218
76427
99917
13
43282
21380
48034
29393
07467
36217
39112
68859
83228
63223
16957
86194
50756
66348
28388
52571
63224
64814
04640
60616
63546
69663
78381
27520
63533
07619
40050
71104
37543
08361
44122
29391
39432
45671
90821
46138
56552
07209
97345
13826
33072
32172
81454
36065
44956
11269
48384
66493
31076
42741
22202
20735
79240
61754
35702
51023
41776
00185
78819
32264
92507
45884
35593
31603
80042
16599
83412
83398
12043
35136
14
68591
27406
04251
07233
33263
26543
91854
42143
30083
31353
86919
34316
13884
06244
80217
14835
55901
89117
11577
50111
35273
64862
35914
33186
34112
24987
05777
04424
48830
06568
33961
15449
73065
22024
12435
61232
02323
34427
18781
66726
42085
50619
73091
84075
73710
05001
36434
45007
00575
64886
35854
04350
58578
87738
08571
28261
53424
89949
82582
78105
90732
80353
92179
87594
76452
76135
53840
72611
25585
01280
15
47877
84985
18956
91496
75402
94725
27677
99716
08031
75646
82242
13515
93264
19489
18720
59536
05859
81064
44776
07848
17333
81553
46828
50510
90591
92411
08439
16527
43691
49460
54571
04077
03546
02831
11876
49986
97439
97181
04994
90387
33138
06772
93854
82521
42747
23589
41464
93803
60955
82736
98413
55524
92376
34071
01896
15316
78041
11289
94105
38241
63759
01839
92200
35509
88664
60482
43411
36070
57165
16504
v.1.00