Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio

Fı́sica I. Curso 2010/11
Departamento de Fı́sica Aplicada. ETSII de Béjar. Universidad de Salamanca
Profs. Alejandro Medina Domı́nguez y Jesús Ovejero Sánchez
Tema 7. Movimientos oscilatorio
y ondulatorio
Índice
1. Introducción
3
2. Movimiento oscilatorio
3
2.1. Cinemática del movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2. Dinámica del movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3. Energı́a de un oscilador armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4. Ejemplos de movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4.1. Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4.2. Péndulo fı́sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5. Movimiento armónico amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6. Oscilaciones forzadas y resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Movimiento ondulatorio
14
3.1. Conceptos básicos y tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Pulsos unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3. Ondas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Problemas
22
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
2
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
1.
3
Introducción
Los principales objetivos de los capı́tulos dedicados a la Mecánica Clásica fueron cómo
predecir el movimiento de un cuerpo si se conocen su estado inicial (velocidad y posición)
y las fuerzas que actúan sobre él. Un caso particular es cuando la fuerza es proporcional al
desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. Si dicha fuerza siempre está dirigida
hacia la posición de equilibrio se produce un movimiento de ida y vuelta, es decir, un movimiento
periódico u oscilatorio. En Fı́sica, y en la Naturaleza en general, hay gran variedad de ejemplos
de este tipo de movimiento y de ahı́ la importancia de su estudio:
los latidos del corazón
el movimiento del péndulo de un reloj
la vibración de las moléculas de un sólido alrededor de sus posiciones de equilibrio
la corriente eléctrica que circula por el filamento de una bombilla
las vibraciones de las cuerdas de un violı́n.
El movimiento oscilatorio está intrı́nsecamente relacionado con los fenómenos ondulatorios.
Cuando vibra la cuerda de un violı́n se producen oscilaciones de las moléculas del aire que lo
rodea y, por el contacto o interacción entre unas y otras, las oscilaciones se propagan en el
espacio en forma de onda. El ejemplo más sencillo de movimiento oscilatorio es el denominado
movimiento armónico simple (MAS) que se produce cuando un cuerpo oscila indefinidamente
entre dos posiciones espaciales fijas sin perder energı́a mecánica. Además de ser el tipo de movimiento oscilatorio más fácil de describir matemáticamente, constituye una buena aproximación
a muchas oscilaciones que se encuentran en la Naturaleza.
2.
Movimiento oscilatorio
2.1.
Cinemática del movimiento armónico simple
Se dice que una partı́cula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento armónico
simple cuando su desplazamiento respecto a su posición de equilibrio varı́a con el tiempo de
4
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
acuerdo con la relación 1 :
x(t) = A cos(ωt + δ),
donde A, ω y δ son constantes del movimiento 2 . La representación gráfica de x = x(t) tiene
esta forma:
x
A
ωt= π/2
ωt=2 π
ωt= π
ωt=3 π/2
t
T
Conceptos básicos en la descripción de este tipo de movimiento son los siguientes:
A: Amplitud −→ máximo desplazamiento de la partı́cula (negativo o positivo) respecto
de su posición de equilibrio.
δ: Desfase inicial −→ junto a la amplitud indica cuales son las condiciones iniciales del
movimiento. Se determina, como veremos más adelante, a partir de la posición y velocidad
iniciales.
ωt + δ: Fase.
T : Periodo. Es el tiempo que necesita la partı́cula para realizar un ciclo completo de su
movimiento. Es decir, x(t) = x(t + T ). En el tiempo T la fase aumenta 2π.
ω(t + T ) + δ = ωt + δ + 2π
−→
ωT = 2π
−→
ω=
2π
T
ó T =
2π
.
ω
ω: Frecuencia angular (se mide en el S.I. en rad/s).
f = 1/T : Frecuencia −→ número de oscilaciones por unidad de tiempo que realiza la
partı́cula: 2πf = ω. En el S.I. se mide en 1/s ó herzios (Hz).
1
Conviene recordar que las funciones sen x y cos x son periódicas: sen(x + 2nπ) = sen x; cos(x + 2nπ) = cos x.
Por lo que, como veremos más adelante está función para x(t) representa un movimiento periódico en el tiempo.
2
Sabiendo que cos x = sen(x + π/2), se puede definir un MAS alternativamente según x(t) = A sen(ωt + δ +
π/2) ≡ A sen(ωt + δ 0 ).
5
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
δ=0
x(t)
t
-A
v(t)
t
-ωA
a(t)
t
-ω 2A
La velocidad y la aceleración de una partı́cula que realiza un MAS se obtienen sin más que
derivar su posición en función del tiempo:
dx
= −ωA sen(ωt + δ)
dt
dv
a(t) =
= −ω 2 A cos(ωt + δ) = −ω 2 x(t).
dt
v(t) =
(1)
(2)
v(t) y a(t) son también funciones oscilantes y tienen la misma frecuencia que x(t), pero diferente
amplitud y desfase:


x −→ xmax = A
Amplitudes : v −→ vmax = ωA


a −→ amax = ω 2 A
(
x − v −→ π/2
Desfases :
x − a −→ π
6
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
La amplitud, A, y el desfase, δ, del movimiento se obtienen a partir de las condiciones
iniciales del siguiente modo:
x(t) = A cos(ωt + δ)
−→
v(t) = −Aω sen(ωt + δ)
x(t = 0) ≡ x0 = A cos δ
−→
v(t = 0) ≡ v0 = −Aω sen δ.
Dividiendo ambas ecuaciones:
v0
= −ω tan δ
x0
−→
Por otra parte:
v0
tan δ = −
ωx0
x
 0
A
− v0
Aω
=⇒
v0
δ = arctan −
ωx0
.
(3)
1/2
v02
2
A = x0 + 2
.
ω
(4)
= cos δ
= sen δ
Elevando al cuadrado y sumando:
v02
x20
+
=1
A2 A2 ω 2
−→
2
A =
x20
v2
+ 02
ω
=⇒
Para concluir este apartado resumiremos las propiedades más importantes de la cinemática del
MAS:
1. x(t), v(t) y a(t) son funciones oscilantes (senoidales) pero de diferentes amplitudes y
desfasadas entre sı́.
2. La aceleración es proporcional al desplazamiento, pero en sentido opuesto.
3. La frecuencia y el periodo del movimiento son independientes de la amplitud.
2.2.
Dinámica del movimiento armónico simple
Ahora que ya sabemos cómo describir el movimiento armónico simple, investigaremos sus
posibles causas, es decir, las fuerzas que lo provocan. El sistema fı́sico más sencillo que da lugar
a un movimiento de este tipo es un muelle que horizontalmente sujeta una masa (y se desprecian
los rozamientos). Cuando la masa se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio el muelle
ejerce una fuerza sobre ella proporcional a la elongación pero con signo opuesto a ella y que
viene dada por la ley de Hooke,
f = −kx,
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
7
donde k es una constante que depende de las caracterı́sticas del muelle. Despejando la aceleración (f = ma):
k
x.
m
Luego al igual que en el MAS, la aceleración es proporcional en módulo al desplazamiento y
a=−
de sentido opuesto. Comprobemos que, efectivamente, la masa realiza un MAS estudiando la
ecuación de movimiento,
d2 x
k
= − x.
2
dt
m
Es fácil comprobar que la solución de esta ecuación puede escribirse:
1/2
k
x(t) = A cos(ωt + δ)
donde
ω=
.
m
En efecto:

dx



 dt
= −Aω sen(ωt + δ)

2


 d x = −Aω 2 cos(ωt + δ)
dt2
k
k
−Aω 2 cos(ωt + δ) = − A cos(ωt + δ)
=⇒
debe ser ω 2 = .
m
m
Con esto podemos concluir que siempre que sobre una partı́cula actúe una fuerza proporcional
a su desplazamiento y en sentido opuesto a éste, realiza un MAS. El periodo y la frecuencia del
desplazamiento son:



T


f
m 1/2
2π
= 2π
ω
k 1/2
1
1
k
= =
T
2π m
=
T y f sólo dependen de la masa y de la construcción del resorte. La frecuencia es mayor
para un resorte duro y al contrario.
2.3.
Energı́a de un oscilador armónico simple
En temas anteriores ya estudiamos que un sistema masa-resorte es conservativo y que su
energı́a potencial viene dada por:
1
U (x) = kx2 .
2
La energı́a total del sistema será:
1
1
E = Ec + U = mv 2 + kx2 .
2
2
8
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
Por el principio de conservación de la energı́a, E debe ser una constante del movimiento (si
despreciamos las fuerzas de tipo no conservativo), por lo que para calcularla podemos elegir
el punto más cómodo. Elijamos, por ejemplo, el punto donde la elongación es máxima y la
velocidad nula, es decir, en los extremos de la trayectoria:
x = A cos(ωt + δ)
−→
v = −Aω sen(ωt + δ)
x=A
−→
v = 0.
E=cte.
U(t)
Ec (t)
t
En ese punto:
1
E = kA2 .
2
Esta es la energı́a de un MAS. Como vemos sólo depende de la amplitud del movimiento y de
la constante del muelle. Como la energı́a mecánica es constante es instructivo representar cómo
se compensan Ec y U en un diagrama de energı́as frente al tiempo (en la figura se ha elegido
δ = 0).
1
1
U = kx2 = kA2 cos2 (ωt + δ)
2
2
1
1
Ec = mω 2 A2 sen2 (ωt + δ) = kA2 sen2 (ωt + δ).
2
2
La energı́a cinética también se puede expresar en términos de la posición:
1
1
Ec = E − kx2 = k(A2 − x2 ),
2
2
que es la ecuación de una parábola invertida y centrada en x = 0.
1/2
1 2 1
k 2
2
2
2
Ec = mv = k(A − x )
−→
v=
(A − x )
.
2
2
m
De esta ecuación se deduce inmediatamente que la velocidad es máxima en x = 0 y que se
anula en los puntos de máxima elongación: x = ±A.
9
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
E
Ec (x)
U(x)
x
-A
2.4.
2.4.1.
A
Ejemplos de movimiento armónico simple
Péndulo simple
El péndulo simple consta de una masa puntual, m, suspendida de un hilo de longitud, `,
inextensible y de masa despreciable frente a m. El otro extremo del hilo se encuentra sujeto a
una posición fija. Demostraremos que el péndulo realiza un MAS cuando se desplaza ligeramente
de su posición vertical de equilibrio y se deja evolucionar libremente, considerando que no hay
rozamientos.
θ
l
T
m
s
θ
P
La fuerza en la dirección tangente al movimiento viene dada por:
ft = −mg sen θ = m
d2 s
dt2
−→
d2 s
d2 θ
=
`
= −g sen θ
dt2
dt2
10
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
=⇒
d2 θ
g
= − sen θ.
2
dt
`
Si θ es suficientemente pequeño se puede hacer la aproximación, sen θ ' θ. Esto se debe a
que haciendo un desarrollo en serie de la función sen x, y cortándolo en el primer término, la
diferencia entre x y sen x sólo es de un 1 % cuando θ ∼ 15o .
Luego si el péndulo no oscila con demasiada amplitud, su ecuación de movimiento angular
es la de un MAS: θ = θmax cos(ωt + δ). La frecuencia del movimiento y el periodo son:
ω=
g 1/2
`
;
2π
= 2π
T =
ω
1/2
`
.
g
Ambos parámetros sólo dependen de l y g, no de la masa. Entonces todos los péndulos de igual
longitud oscilarán del mismo modo.
El péndulo simple suele utilizarse en la práctica para gran cantidad de aplicaciones que se
podrı́an dividir en dos bloques:
medir tiempos −→ su periodo es constante (salvo rozamientos y variaciones de ` por las
condiciones termodinámicas ó de g por la latitud o altitud) y es fácil visualizar el número
de oscilaciones.
medir g −→ las medidas de g con este método son bastante precisas, lo que es importante porque cambios locales de g pueden dar información valiosa sobre la localización de
recursos minerales o energéticos.
2.4.2.
Péndulo fı́sico
Cualquier sólido rı́gido colgado de algún punto que no sea su centro de masas oscilará cuando
se desplace de su posición de equilibrio. Este dispositivo recibe el nombre de péndulo fı́sico o
compuesto.
El momento del peso respecto al eje de giro será τ = mgh sen φ y la segunda ley de Newton
para la rotación se expresará,
τ = Iα = I
d2 φ
dt2 .
El momento ejercido por la gravedad tiende a disminuir el ángulo φ por lo que:
−mgh sen φ = I
d2 φ
dt2
−→
d2 φ
mgh
=−
sen φ.
2
dt
I
11
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
Para un péndulo simple, I = ml2 y h = l, con lo que se recuperan las ecuaciones del apartado
anterior. Cuando los desplazamientos angulares son pequeños sen φ ' φ y
d2 φ
mgh
φ = −ω 2 φ
=
−
2
dt
I
donde ω =
mgh
I
1/2
y
T = 2π
I
mgh
1/2
.
Este dispositivo puede utilizarse para determinar momentos de inercia de sólidos rı́gidos.
eje de
giro
z
h
m, I
φ
h sen φ
c.m.
P
2.5.
Movimiento armónico amortiguado
Los movimientos oscilatorios que hemos considerado hasta ahora se refieren a sistemas
ideales, es decir, oscilan indefinidamente bajo la acción de una fuerza lineal opuesta al desplazamiento. Sin embargo, en los sistemas reales siempre están presentes fuerzas disipativas que
hacen que la energı́a mecánica se vaya perdiendo progresivamente. En este caso se dice que el
movimiento armónico está amortiguado.
Un tipo habitual de fuerzas de fricción son las proporcionales a la velocidad fr = −bv. La
ecuación de movimiento de un sistema sometido a una fuerza lineal y otra de rozamiento serı́a:
d2 x
m 2 = −kx − bv.
dt
Un ejemplo fı́sico de esta situación serı́a un muelle sumergido en un fluido. Resolviendo la
ecuación diferencial anterior se puede obtener que su solución es de la forma,
b
x(t) = Ae− 2m t cos(ωt + δ),
12
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
donde la frecuencia viene dada por:
"
k
ω=
−
m
b
2m
2 #1/2
.
Evidentemente en el lı́mite b = 0 se recupera la solución de un MAS. Exceptuando la exponencial que aparece en la amplitud, el movimiento que resulta es de tipo oscilatorio con una
frecuencia menor que si no hubiese rozamiento. Pero, además, el factor exponencial hace que
la amplitud del movimiento decrezca de forma progresiva. Si el amortiguamiento es pequeño la
ecuación anterior da como solución una función de la siguiente forma:
x
A
Ae -(b/2m) t
x(t)
t
Se dice que el movimiento es subamortiguado. Matemáticamente se produce cuando (b/2m)2 <
k/m. Cuando el amortiguamiento es muy grande [(b/2m)2 > k/m], ni siquiera se producen oscilaciones. Se habla entonces de movimiento sobreamortiguado y la solución matemática es:
b
x(t) = e− 2m t Aeωt + Be−ωt
x
sobreamortiguado
crítico
t
13
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
Existe además el caso especial en que (b/2m)2 = k/m. En esta situación, además de no
haber oscilaciones la caı́da de la amplitud es más rápida que en el caso sobreamortiguado. Se
dice que el amortiguamiento es crı́tico. Matemáticamente la solución es de la forma:
r
k
−ωt
x(t) = e (A + Bt)
con
ω=
.
m
2.6.
Oscilaciones forzadas y resonancias
Es posible compensar la perdida de energı́a de un oscilador amortiguado aplicando una
fuerza externa. Esto es, por ejemplo, lo que hace un niño en un columpio para mantenerse
en movimiento. Realiza impulsos sincronizados de cierto modo para que se compensen las
fricciones. Otro ejemplo es que para mantener oscilando un muelle vertical se puede ejercer una
fuerza oscilatoria sobre su soporte para mantener el movimiento. En el caso más común las
fuerzas aplicadas son periódicas, por ejemplo de la forma,
f = f0 cos ω0 t.
La ecuación de movimiento ahora será:
m
d2 x
dx
= f0 cos ω0 t − b − kx.
2
dt
dt
La solución de esta ecuación consta de dos partes, la solución transitoria y la solución estacionaria. La transitoria es análoga a la de un oscilador amortiguado, con constantes que dependen de
las condiciones iniciales. Quiere esto decir que desde que se comienza a aplicar la fuerza externa
hasta que desaparece el amortiguamiento y la amplitud se mantiene constante pasa un cierto
tiempo. Cuando el movimiento se ha estabilizado la solución de la ecuación es estacionaria, ya
no depende de las condiciones iniciales y se puede escribir ası́,
x(t) = A cos(ω0 t − δ),
donde ω = (k/m)1/2 , ω0 es la frecuencia de la fuerza impulsora y:

f0


A
=

1/2


[m2 (ω02 − ω 2 )2 + b2 ω 2 ]




tan δ
=
bω
− ω2)
m(ω02
Ahora la amplitud depende de dos frecuencias. Si consideramos que la del oscilador, ω es
fija y variamos la externa, se obtiene una figura ası́ para la amplitud A:
14
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
A
A máx =f0 /bω 0
ω = ω0
ω0
El drástico incremento de la amplitud que se produce cuando ω = ω0 se denomina resonancia. Fı́sicamente, la resonancia se produce cuando la fuerza aplicada y la velocidad del
oscilador están en fase. Entonces como P = f~.~v , la potencia transferida es máxima. Ejemplos
de situaciones con resonancia son los siguientes:
Cuando nos balanceamos en un columpio buscamos la frecuencia natural del sistema para
repetir los impulsos con esa frecuencia.
Cuando un pelotón de soldados marcha por un puente ha de tener cuidado de que la
frecuencia del paso no sea la de resonancia del puente.
Un vaso se puede romper si se emite cerca de él un sonido de frecuencia parecida a su
frecuencia de resonancia.
Un puente se puede derribar si el viento le proporciona una frecuencia de vibración similar
a la de su resonancia.
Sintonizar un aparato de radio o TV no es más que buscar la frecuencia con que emite la
fuente para que coincida en resonancia con la del circuito eléctrico del receptor.
3.
Movimiento ondulatorio
3.1.
Conceptos básicos y tipos de ondas
El movimiento ondulatorio puede considerarse como un transporte de energı́a y cantidad
de movimiento de una región a otra del espacio sin que tenga lugar ningún transporte neto de
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
15
materia.
En cuanto al tipo de medio material en que se pueden propagar, podemos dividir las ondas
en dos grandes grupos:
} Ondas mecánicas: En este caso las ondas se originan mediante una perturbación en el
espacio que se propaga a través de un medio material debido a sus propiedades elásticas.
Ejemplos de este tipo de ondas son las ondas sonoras (vibraciones de las moléculas de
aire que se transmiten de unas a otras), ondas en la superficie de un estanque, ondas en
una cuerda, ondas sı́smicas, etc.
} Ondas electromagnéticas: Estas ondas no necesitan de ningún medio material para propagarse. Pueden hacerlo en el vacı́o. La energı́a y el momento son transportados por campos
eléctricos y magnéticos que se propagan conjuntamente en el espacio. Ejemplos de estas
ondas son las ondas luminosas, las ondas de radio o televisión, las ondas de telefonı́a
móvil, los rayos X, etc.
Las ondas que se propagan en el espacio se denominan ondas viajeras. Sin embargo, hay
otro tipo de ondas (que estudiaremos más adelante con detalle) que se denominan estacionarias
y que están confinadas en una determinada región del espacio. Por ejemplo, al pulsar la cuerda
de una guitarra se produce una onda, pero limitada a la región entre los extremos de la cuerda.
Para una onda estacionaria, la energı́a que lleva asociada permanece acotada en una cierta
región del espacio.
Cuando una onda se propaga a través de un medio, las partı́culas de éste no acompañan su
movimiento de avance, sino que oscilan alrededor de posiciones fijas. Al considerar el movimiento
de una onda hemos de distinguir dos aspectos:
el movimiento de la onda a través del medio
el movimiento oscilatorio de las propias partı́culas del medio.
16
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
propagación
y
x
oscilación
y
x
y
x
Una forma de clasificar ondas alude precisamente a la relación entre la dirección de propagación y la dirección en que vibran las partı́culas del medio.
• Ondas transversales son aquellas en que las partı́culas oscilan perpendicularmente a la
dirección de propagación de la onda. Reproducen el esquema de la figura adjunta. Ejemplos de este tipo de ondas son las que se generan en una cuerda cuando se mueve arriba
y abajo uno de sus extremos.3
• Ondas longitudinales son aquellas en que las partı́culas oscilan en la misma dirección en
que se propaga la onda.
3
Las ondas electromagnéticas también son ondas transversales, aunque en ese caso no tiene lugar ninguna
vibración de las partı́culas del medio, sino que son los propios campos eléctrico y magnético los que vibran
perpendicularmente entre sı́ y a la dirección de propagación.
17
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
propagación
oscilación
Estas ondas se producen, por ejemplo, cuando se pinza uno de los extremos de un muelle situado horizontalmente. La compresión entre las espiras del muelle, se transmite a
través de él debido a sus propiedades elásticas y pinzamiento y dirección de propagación
coinciden. Las ondas sonoras también son ondas longitudinales. Se pueden entender como
perturbaciones de la posición de las partı́culas del medio (aire) que se propagan por las
interacciones entre unas y otras.
En este tema nos ocuparemos únicamente de ondas mecánicas. Estas ondas requieren tres
elementos básicos:
a) Alguna fuente que produzca la perturbación.
b) Un medio que se pueda perturbar.
c) Un mecanismo fı́sico por el cual puntos adyacentes del medio interaccionen para propagar
la perturbación.
Conceptos básicos en cualquier tipo de ondas:
∗ Longitud de onda: distancia entre dos puntos que en el mismo instante están a la misma
distancia de su posición de equilibrio (dicho de otro modo, distancia entre dos puntos que
vibran del mismo modo).
∗ Frecuencia: número de vibraciones por unidad de tiempo de la perturbación.
∗ Velocidad de propagación: velocidad con que se transmite la perturbación.
∗ Amplitud: máxima separación de un punto respecto a su posición de equilibrio.
18
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
3.2.
Pulsos unidimensionales
Un pulso es una onda de extensión relativamente corta, interesante desde el punto de vista
teórico porque permite visualizar el comportamiento genérico de cualquier onda. Matemáticamente, un pulso se puede representar como una cierta función, y = f (x), que se mueve con una
cierta velocidad.
Por ejemplo, un pulso es el resultado de mover el extremo de una cuerda horizontal (estando
el otro extremo sujeto a un punto fijo) con fuerza arriba o abajo durante un breve intervalo de
tiempo.
propagación
Si la forma de un pulso no cambia con el tiempo, respecto a un sistema de referencia inercial,
la curva f (x) se moverá con la velocidad de propagación del pulso, v. Es decir, matemáticamente
un pulso que se desplaza hacia la derecha será una función:
y = f (x − vt),
y si se mueve hacia la izquierda:
y = f (x + vt).
La forma funcional f (x ± vt) se denomina función de ondas. De otro modo: y = y(x, t) =
f (x ± vt). La velocidad con que se propaga la onda no debe confundirse con la velocidad con
que vibran las partı́culas del medio. En concreto, la velocidad del pulso se suele denominar
velocidad de fase y se obtiene como:
v=
dx
.
dt
19
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
t=0
t
y
y
y'
vt
y=f(x)
y=f(x')=f(x-vt)
O
O
3.3.
O'
x
x
x'
x'
Ondas armónicas
Si el extremo de una cuerda se desplaza arriba y abajo siguiendo un MAS, se produce un
tren de ondas sinusoidal que se propaga por la cuerda. La forma de la cuerda en cualquier
instante de tiempo es una función senoidal y además se propaga con una cierta velocidad. Este
tipo de onda, que tiene como origen una perturbación de tipo armónico simple, se denomina
onda armónica.
En t = 0 la forma de la onda siempre se puede representar como:
2π
y = A sen
x .
λ
~ Amplitud: Máximo desplazamiento respecto a la posición de equilibrio
~ Longitud de onda: Distancia entre dos crestas o valles consecutivos o entre dos puntos
adyacentes con la misma fase.
y(x) = y(x + nλ),
n = 1, 2, 3, . . .
porque:
2π
2πx
y(x + nλ) = A sen
(x + nλ) = A sen
+ 2nπ = y(x).
λ
λ
Si la onda se desplaza hacia la derecha con velocidad v, en un tiempo t, posterior, la
función de onda será:
2π
y(x, t) = A sen
(x − vt) .
λ
Si la onda viaja hacia la izquierda, serı́a:
2π
y(x, t) = A sen
(x + vt) .
λ
20
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
~ Periodo: El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a λ se denomina
periodo:
v=
λ
.
T
t=0
λ
y
A
x
t
t=0
y
t
x
vt
Luego una manera alternativa de expresar la función de ondas es:
x
t
y(x, t) = A sen 2π
−
λ T
Esta función muestra el carácter periódico de la onda: y tiene el mismo valor en las posiciones
x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ . . . . Y para cualquier posición dada, x, y toma el mismo valor en los
instantes: t, t + 2T , t + 3T , . . . Es decir, la periodicidad espacial la determina λ y la temporal
T . Matemáticamente:
y(x, t) = y(x + nλ, t)
−→
λ periodicidad espacial
y(x, t) = y(x, t + nT )
−→
T
periodicidad temporal
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
21
Otras definiciones usuales son las siguientes:
2π
λ
2π
ω≡
T
1
f≡
T
k≡
−→
número de onda (1/m)
−→
frecuencia angular (rad/s)
−→
frecuencia (1/s=Hz) (herzio)
En términos de algunos de estos parámetros:
y(x, t) = A sen(kx − ωt),
y la velocidad se puede expresar:
ω
k
v = λf.
v=
Las funciones de onda expuestas hasta ahora presuponen que en el instante inicial, t = 0, x =
0 y el desplazamiento desde el equilibrio es nulo, y = 0. En general, esto no tiene porqué suceder.
Para ello matemáticamente se puede introducir un desfase inicial, δ, de manera que la forma
más general de la función de ondas es:
y(x, t) = A sen(kx − ωt − δ).
El desfase inicial se determina a partir de las condiciones iniciales.
La velocidad con la que vibra un punto cualquiera del medio material en que se transmite
la onda y su aceleración, se determinan derivando y(x, t) respecto al tiempo:
∂y
vy =
= ωA cos(kx − ωt)
∂t x=cte
∂ 2y
= −ω 2 A sen(kx − ωt).
ay = 2
∂t x=cte
Los valores máximos son:
vy,max = ωA
ay,max = ω 2 A.
22
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
4.
Problemas
1. Un coche de 1200 kg se construye a partir de un chasis unido por cuatro amortiguadores a
las ruedas. Si cada amortiguador tiene una constante de fuerza de 20000 N/m, encuéntrese
el periodo y la frecuencia de vibración cuando el automóvil pasa por un bache llevando
en su interior dos personas con una masa conjunta de 160 kg.
(Respuestas: T = 0,85 s;
f = 1,18 Hz )
2. Una partı́cula de 10 g describe un M.A.S. en el eje x. La amplitud es 5 cm y cada segundo
efectúa media vibración. Calcúlense:
a) La ecuación que rige el movimiento.
b) La fuerza que lo produce.
c) Los valores de la elongación para los que será máxima la velocidad.
d) Los valores de la elongación para los que será nula la aceleración.
(Respuestas: a) x(t) = 5 cos πt;
b) f = −mπ 2 x;
c) x(vmax ) = 0; d) x(a = 0) = 0)
3. Un resorte espiral tiene una longitud de 15 cm. Cuando de él se cuelga una masa de 50 g
queda en reposo con una longitud de 17 cm. Calcula:
a) La constante de recuperación del resorte.
b) La frecuencia de las oscilaciones verticales que se producen cuando se cuelga una masa
de 90 g.
c) El trabajo realizado por el resorte para elevar la masa de 90 g entre los extremos de la
trayectoria, si la distancia entre ellos es de 6 cm.
(Respuestas: a) k = 24,5 N/m;
b) f = 2,63 Hz;
c) W = 0,053 J)
4. El péndulo de un reloj de pared está constituido por una varilla homogénea de 1 m
de longitud y masa m1 en cuyo extremo se encuentra un pequeño cilindro macizo y
homogéneo de masa tres veces mayor que la varilla. Calcúlese el radio que debe tener este
cilindro para que el reloj funcione con un periodo de 2 s.
(Respuestas: r = 5,11 cm)
23
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
5. Un anillo de 10 cm de radio está suspendido de una varilla de modo que puede oscilar
libremente. Determina su periodo de oscilación.
(Respuestas: T = 0,90 s)
6. Desde una altura de 2 m se deja caer un cuerpo de 10 kg de masa sobre un plato de una
báscula de masa 10 kg . El muelle de la báscula tiene una constante elástica de 8 kg/cm.
Suponiendo que después del choque el plato y el cuerpo permanecen unidos, calcúlense:
a) el desplazamiento máximo del plato de la báscula y b) la ecuación del movimiento del
conjunto cuerpo-plato.
(Respuestas: y2 = 0, 171 m; x = 0, 16 cos(19, 8t) (S.I.))
7. Por la garganta de una polea, cuya masa M puede considerarse concentrada en su periferia,
pasa un hilo inextensible y sin masa. De uno de los extremos del hilo cuelga una masa
m y el otro extremo del hilo está atado a un resorte vertical cuyo extremo está fijo en el
suelo. Calcula el periodo para pequeñas oscilaciones de m. Datos: M = 900 g; m = 150 g
; k = 1600 N/m.
(Respuestas: T = 0,16 s)
8. La función de ondas de una onda armónica que se propaga a través de una cuerda es,
y(x, t) = 0,03 sen(2,2x − 3,5t)
en el S.I.. Determina su amplitud, longitud de onda, frecuencia angular, frecuencia, periodo, número de ondas y velocidad de propagación.
(Respuestas: A = 0,03 m; λ = 2,9 m; ω = 3,5 rad/s; f = 0,55 Hz; T = 1,8 s;
k = 2,2 m−1 ; v = 1,6 m/s)
9. Determina la ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido negativo del
eje x con una velocidad de 900 m/s, siendo su frecuencia 400 Hz y 0,02 m su amplitud.
Se sabe además que en t = 0, el punto x = 0 se encuentra a 0,02 m de su posición de
equilibrio.
(Respuestas: y(x, t) = 0,02 cos(2,8 x + 2,5 × 103 t) (S.I.))
10. A tiempo t = 0, la forma de un pulso generado sobre una cuerda viene dada por:
y(x) =
a
,
b + x2
Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio
24
donde a = 0,12 m3 y b = 4,0 m2 .
a) Representa gráficamente el pulso en ese instante.
b) ¿Cuál es su función de ondas, y(x, t), si se desplaza en el sentido positivo del eje x con
velocidad de 10 m/s?
c) ¿Y si el pulso se mueve con la misma velocidad, pero en el sentido negativo del eje x?
0,12
0,12
(Respuestas: b) y(x, t) =
(S.I.);
c)
y(x,
t)
=
(S.I.))
4 + (x − 10 t)2
4 + (x + 10 t)2