Tercer Parcial

Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Facultad de Ciencias y Educación.
Matemáticas.
Cáculo Vectorial.
Tercer Parcial
R dx+dy
1. Calcular C |x|+|y|
donde C es el contorno del cuadrado de vértices (1, 0), (0, 1), (−1, 0) y
(0, −1) recorrido en sentido contrario al de las agujas del reloj.
2. Un campo de fuerzas bidimensional F tiene por ecuación F (x, y) = (x + y)i + (x − y)j.
Demostrar que el trabajo realizado por esa fuerza al mover una partı́cula siguiendo la curva
α(t) = f (t)i + g(t)j, con a ≤ t ≤ b, depende únicamente de f (a), f (b), g(a) y g(b). Como
caso particular, hallar el trabajo realizado cuando f (a) = 1, f (b) = 2, g(a) = 3 y g(b) = 4.
3. Determinar si f es o no el gradiente de un campo escalar. Si f es un gradiente, hallar la
correspondiente funcion potencial:
(a) f (x, y) = (2xey + y)i + (x2 ey + x − 2y)j
(b) f (x, y) = (sen(xy) + xycos(xy))i + (x2 cos(xy))j
R1
R 1/2
2
2
4. Dadas A = 0 e−t dt y B = 0 e−t dt. Calcular la integral reiterada
Z
1
Z
I=2
−1/2
x
2
e−y dy dx
0
en función de A y B. Existen enteros positivos m y n tales que
I = mA − nB + e−1 − e−1/4 .
Comprobar esta relación con los resultados obtenidos.
5. Si f y g son derivables
con continuidad
en un conjunto abierto conexo de S del plano,
H
H
demostrar que C f ∇g · dα = − C g∇f · dα para toda curva de Jordan C regular a trozos
contenida en S.