Series sumables

ANALISIS
MATEMATICO
BASICO.
TECNICAS
ESPECIFICAS DE SUMAS DE SERIES.
XN
Sabemos que la serie geom
etrica se puede sumar
N !1 n=n0
l
m
r
n=
r
N !1
l
m
n0
r
1
N +1
r
=
r
n0
1
r
;
si
jj
r
Otro ejemplo de series que se suman es el siguiente.
Ejemplo. 1. (Serie telesc
opica). Existe un modo de sumar
< 1:
X1
n=1
1
n(n + 1)
:
Demostraci
on: Veamoslo. En primer lugar hacemos la siguiente suposicion
1
n(n + 1)
=
A
n
B
+
( )
n+1
Haciendo cuantas encontramos que
1
n(n + 1)
XN
XN
1
=
+
n
1
n+1
:
Usando lo anterior, tenemos que
1
n=1 n(n + 1)
=
1
1
n=1 n
n+1
= 1
= 1
XN
1
2
+
1
1
2
3
1
N +1
+
1
3
1
N
+
1
1
N
N +1
:
Ahora tomando l
mites.
1
N !1 n=1 n(n + 1)
l
m
=
N !1
l
m
1
1
N +1
= 1
Observaci
on. 1. La igualdad () anterior es un caso especial del metodo
de Descomposici
on en Fracciones Simples.
El cu
al dice que si tenemos una fracci
on de polinomios de la forma
Q(x)
1
p (x) : : : p
m (x)
donde Q es un polinomio, p
i
son un polinomios irreduci-
bles de grado uno o dos, para todo i = 1; 2; : : : ; m; distintos dos a dos; y el
1
2
C. RUIZ
1
X
m (x); entonces
Ai (x)
;
i=1 pi (x)
grado de Q es menor que el grado de p (x) : : : p
Q(x)
1
p (x) : : : p
m (x)
m
=
i
donde A (x) son polinomio de grado cero, es decir una constante, o de grado
i
1 seg
un sea el grado del correspondiente p
sea uno o dos respectivamente.
Volveremos a usar esta t
ecnica en m
as ocasiones, en particular en el Tema
de Integraci
on.
Ejemplo. 2. Sea
2+2
; escribimos
2
1)(x + 1)
2
x +2
A
Bx + C
=
+
;
2
2
1)(x + 1)
x
1
x +1
x
(x
(x
tiene que ocurrir que
2 + 2 = A(x2 + 1) + (Bx + C )(x
x
2 + (C
1) = (A + B)x
B)x + A
C:
Por tanto
A
+
B
B
=
+
C
A
C
Resolviendo el sistema concluimos que
2+2
2
1)(x + 1)
x
(x
=
x
3
2
1
+
1
=
0
=
2:
1
1
2x 2 :
2
x +1
En los ejemplos anteriores, en cada caso se usa una t
ecnica distinta para
calcular la suma de la serie. No existe un m
etodo com
un para ello. De hecho
solo se pueden sumar series muy particulares. En general para una serie solo
disponemos de herramientas para decir si es convergente o no, pero no para
alcanzar su suma.
Referencias
lisis Matema
tico, Facultad de Matema
ticas, UniverDepartamento de Ana
sidad Complutense, 28040 Madrid, Spain
E-mail address :
Cesar Ruiz@mat.ucm.es