14 Cuerpos geométricos. Volúmenes

Matemáticas Pitágoras 1.º ESO / Resumen Unidad 14
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Cuerpos geométricos. Volúmenes
1. Poliedros
Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos planos.
Los elementos de un poliedro son:
• Caras: son los polígonos que lo delimitan.
• Aristas: son los lados comunes a dos caras.
• Vértices: son los puntos comunes a tres o más aristas.
Arista
Cara
Vértice
Si cortamos un poliedro por un número suficiente de caras, sin separar ninguna de ellas, y lo desplegamos, obtenemos su desarrollo plano.
Si un poliedro puede apoyarse en el plano sobre todas sus caras, es convexo. En caso contrario es cóncavo.
■
Poliedros regulares
Los poliedros regulares son poliedros cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice concurre el mismo número de caras.
Solo hay cinco poliedros regulares.
Tetraedro
Tiene 4 caras que son
triángulos equiláteros.
Cubo
Tiene 6 caras que son
cuadrados.
Octaedro
Tiene 8 caras que son
triángulos equiláteros.
1
Dodecaedro
Tiene 12 caras que son
pentágonos regulares.
Icosaedro
Tiene 20 caras que son
triángulos equiláteros.
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2. Prismas y pirámides
Un prisma es un poliedro que:
• Tiene dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas bases.
• El resto de las caras son paralelogramos y se llaman caras laterales.
Base
h
h
Base
Cara lateral
Un prisma es recto si sus caras laterales son rectángulos. En caso contrario es oblicuo.
Un prisma es regular si es recto y sus bases son polígonos regulares.
Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos.
■
Pirámides
Una pirámide es un poliedro que:
• Tiene una base que es un polígono.
• Sus caras laterales son triángulos y concurren en un vértice.
V
V
Apotema
de pirámide
Apotema
de la pirámide
Apotema
de la base
Una pirámide es recta si sus caras laterales son triángulos isósceles. En caso contrario es oblicua.
Una pirámide es regular si es recta y su base es un polígono regular.
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3. Cilindros y conos
■
Cilindros
Al girar un rectángulo sobre uno de sus lados se genera un cilindro.
El lado sobre el que se gira el rectángulo es el eje del cilindro, y el lado que genera el cilindro es la
generatriz.
B
C
B
C
Base
Generatriz
Eje de
giro
A
D
A
g
Altura
D
2πr
Base
Radio de la base
■
Conos
Al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos se obtiene un cono.
El cateto sobre el que se gira el triángulo es el eje del cono, y la hipotenusa, que genera el cono, es la
generatriz del cono.
C
C
g
Eje de
giro
Generatriz
Altura
2πr
B
A
B
A
Radio de la base
3
Base
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4. Esferas
Al girar un semicírculo sobre su diámetro se genera una esfera.
Radio
O
Eje de giro
La semicircunferencia correspondiente a este semicírculo genera una superficie curva que se llama superficie esférica.
La superficie esférica no tiene desarrollo plano.
Al cortar una esfera por un plano secante, la sección es un círculo, y cada una de las partes en que queda dividida la esfera se llama casquete esférico.
Casquete
Casquete esférico
Círculo
Circunferencia
Casquete
La sección que se obtiene al cortar la esfera con un plano que pasa por el centro se llama círculo máximo y es la mayor que puede obtenerse.
Cada una de las partes en que queda dividida la esfera se llama semiesfera.
Semiesfera
Semiesfera
Circ
má
Circunferencia
Círculo
máxima
máximo
Semiesfera
Semie
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5. Volumen del ortoedro y del cubo
El volumen del ortoedro coincide con el producto del largo (a) por el ancho (b) por la altura (c).
V = área de la base ⋅ altura = a ⋅ b ⋅ c
El volumen de un cubo es igual a la arista elevada al cubo.
V = a3
6. Volumen del prisma y de la pirámide
El volumen de un prisma es igual al área de la base por la altura.
VPRISMA = área de la base ⋅ altura
El volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de la base por la altura.
1
VPIRÁMIDE = ⋅ (área de la base ⋅ altura)
3
7. Volumen del cilindro y del cono
El volumen del cilindro es igual al área de la base por la altura.
VCILINDRO = área de la base ⋅ altura = π ⋅ r2 ⋅ h
El volumen de un cono es igual a un tercio del área de la base por la altura.
1
1
VCONO = ⋅ (área de la base ⋅ altura) = ⋅ π ⋅ r2 ⋅ h
3
3
5