Una única función cuadrática

Por tres puntos pasa una sola función cuadrática
por Santiago Saavedra Pineda
san-saav@uniandes.edu.co
Estudiante de Cálculo Integral de Honores
Universidad de Los Andes – Bogotá - Colombia
Semestre 1 del 2005
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Problema: Demostrar que por tres puntos del plano pasa una y solo una función cuadrática de la forma f ( x)  ax2  bx  c .
Este problema surgió en clase cuando se explicó la famosa regla de Simpson a propósito del tema de los métodos de
integración aproximada. Como es bien sabido, en este método se emplean parábolas para aproximar una curva y cada una de
las parábolas empleadas debe pasar por tres puntos dados del plano. Pero, claro está, es necesario asegurar que tales
parábolas existen y son únicas para los tres puntos dados. El planteamiento de Santiago fue el de demostrar este hecho para
funciones cuadráticas.
Solución: Primero se demuestra que existe al menos una función cuadrática de la
forma f ( x)  ax2  bx  c cuya gráfica pasa por tres puntos dados.
(Comentarios del profesor Aquiles Páramo)
Sean ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) y ( x3 , y3 ) tres puntos del plano, distintos dos a dos.
Utilizando la fórmula de interpolación de Lagrange construimos la siguiente función
cuadrática:
¡Muy buena idea, Santiago, la de utilizar en
este problema los polinomios interpolantes de
Lagrange!
( x  x2 )( x  x3 )
( x  x1 )( x  x3 )
( x  x1 )( x  x2 )
.
f ( x)  y1
 y2
 y3
( x1  x2 )( x1  x3 )
( x2  x1 )( x2  x3 )
( x3  x1 )( x3  x2 )
Sobre estos polinomios pueden consultarse
una nota en los Comentarios adicionales.
Nótese que no hay problemas con el denominador pues se asumió que los puntos
son distintos dos a dos y así x1  x2 , x1  x3 y x2  x3 .
Es fácil ver que la gráfica de esta función cuadrática pasa por los tres puntos dados.
En efecto se tiene:
f ( x1 )  y1
( x1  x2 )( x1  x3 )
( x  x )( x  x )
( x  x )( x  x )
 y2 1 1 1 3  y3 1 1 1 2
( x1  x2 )( x1  x3 )
( x2  x1 )( x2  x3 )
( x3  x1 )( x3  x2 )
 y1 (1)  0  0  y1
El primer sumando se hace y1 y los dos últimos se hacen 0. De una manera similar
se tendrá f ( x2 )  y2 y f ( x3 )  y3 .
Por tres puntos del plano pasa la gráfica de
una única función cuadrática.
Anotación: Si los puntos son colineales, es decir, si existen p , q tales que
yi  pxi  q ( i  1, 2,3 ) entonces el coeficiente a de f ( x) que corresponde a x 2 es
0 pues:
a
y3
y1
y2


( x1  x2 )( x1  x3 ) ( x2  x1 )( x2  x3 ) ( x3  x1 )( x3  x2 )

y1 ( x3  x2 )  y2 ( x1  x3 )  y3 ( x2  x1 )
( x1  x2 )( x2  x3 )( x3  x1 )

( px1  q )( x3  x2 )  ( px2  q )( x1  x3 )  ( px3  q)( x2  x1 )
( x1  x2 )( x2  x3 )( x3  x1 )

px1 x3  px1 x2  qx3  qx2  px2 x1  px2 x3  qx1  qx3  px3 x2  px3 x1  qx2  qx1
( x1  x2 )( x2  x3 )( x3  x1 )

0
 0.
( x1  x2 )( x2  x3 )( x3  x1 )
En esta Anotación Santiago está diciendo
tácitamente que si los tres puntos son
colineales la curva que pasa por ellos es una
recta y no una parábola como en el otro caso.
En segundo lugar se demuestra que tal función cuadrática f ( x)  ax2  bx  c que
pasa por los tres puntos es única.
Supóngase que existen dos funciones polinómicas f ( x) y g ( x) , de grado menor o
igual que 2, que pasan por los tres puntos. Entonces se tendrá:
f ( x1 )  y1  g ( x1 ) , f ( x2 )  y2  g ( x2 ) y f ( x3 )  y3  g ( x3 ) .
Santiago hace su exposición en el tablero.
Construyamos la función polinómica h( x)  f ( x)  g ( x) . En primer lugar,
obsérvese que como grado( f )  2 y grado( g )  2 , entonces grado(h)  2 .
Obsérvese además que h( x1 )  h( x2 )  h( x3 )  0 . Entonces h( x) tiene al menos tres
raíces reales distintas y como su grado es menor o igual a 2, entonces h( x) es
idénticamente igual a la función 0, pues el teorema fundamental del álgebra dice
que un polinomio de grado n tiene a lo más n raíces reales. Así, para todo x  ,
h( x)  0  f ( x)  g ( x) y por lo tanto f ( x)  g ( x) como se quería mostrar.
¡Muy bien, Santiago! Un trabajo impecable.
Comentarios adicionales
Por el profesor Aquiles Páramo
aparamo@uniandes.edu.co
Comentario 1. El método de los polinomios interpolantes de Lagrange es más general que el utilizado en el problema
anterior. Puede ser interesante conocer el siguiente teorema que hemos tomado de Burden, Richard L. y Faires, J. Douglas,
Análisis numérico, 7ª edición, Thomson Learning, México, 2002, p. 109.
“Teorema: Si x0 , x1 , , xn son n  1 números distintos y si f es una función cuyos valores yi  f ( xi ) están dados para esos
números, entonces existe un polinomio único P( x) de grado inferior o igual a n con la propiedad de que
P( xi )  yi
para cada i  0,1,
, n . Este polinomio está dado por
P( x)  y1Ln,0 ( x) 
donde para cada i  0,1,
n
 yn Ln,n   yi Ln ,i
i 0
, n se tiene
Ln,i 
n
( x  x0 )( x  x1 ) ( x  xi 1 )( x  xi 1 ) ( x  xn )
( x  xi )

.”
( xi  x0 )( xi  x1 ) ( xi  xi 1 )( xi  xi 1 ) ( xi  xn ) i 0 ( xk  xi )
ik
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