PRELIMINARES
Definición. Una matriz cuadrada A, se denomina diagonal si todas sus
entradas fuera de la diagonal principal son iguales a cero:
∀𝑖, 𝑗 ∈ {1, … , 𝑛} (𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑎𝑖𝑗 = 0.
Definición. Dada una matriz cuadrada 𝐴 de orden 𝑛 se dice que el número 𝜆
es un valor propio de 𝐴 si existe un vector columna 𝑛-dimensional 𝑣 no nulo
talque
𝐴𝑣 = 𝜆 ⋅ 𝑣
El vector 𝑣 se llama vector propio de 𝐴 asociado al valor propio 𝜆.
Teorema. Sea 𝐴 una matriz cuadrada. Entonces
1. Un escalar 𝜆 es valor propio de 𝐴, si y solo si, 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 y 𝜆 ∈ ℝ.
2. Un vector v es un vector propio de 𝐴 asociado al valor propio 𝜆, si y solo si,
𝑣 es una solución no trivial de (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑥 = 0.
Definición. Dada una matriz cuadrada 𝐴, decimos que 𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) es el
polinomio característico de 𝐴.
Las raíces de 𝑝(𝜆) son los valores propios de 𝐴.
Ejemplo: Calcular el polinomio característico de la matriz
3
𝐴 = (0
0
−1 7
5
2)
0 −1
Aunque en general no es fácil de calcular, en este caso tenemos que
3−𝜆
𝑝(𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝐼) = | 0
0
−1
5−𝜆
0
= (3 − 𝜆)(5 − 𝜆)(−1 − 𝜆)
= −𝜆3 + 7𝜆2 − 7𝜆 − 15.
7
2 |
−1 − 𝜆
FORMAS CUADRATICAS
Definición. Sean 𝑉 un espacio vectorial de dimensión 𝑛 y 𝐵 una base 𝑉. Si
(𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) = [𝒙]𝑡𝐵 y 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅, con 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛, se denomina forma cuadrática
sobre V a toda función polinómica 𝑄: 𝑉 → ℝ de la forma
𝑎11
𝑄(𝒙) = ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 = (𝑥1 𝑥2 ⋯ 𝑥𝑛 ) ( ⋮
𝑎𝑛1
𝑖,𝑗=1
𝑛
⋯ 𝑎1𝑛
𝑥1
⋱
⋮ ) ( ⋮ ) = [𝒙]𝑡𝐵 𝐴[𝒙]𝐵 .
⋯ 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛
Es decir, una forma cuadrática es un polinomio homogéneo de grado 2 y 𝑛
variables.
Donde 𝑄(𝒙) = [𝒙]𝑡𝐵 𝐴[𝒙]𝐵 se denomina expresión matricial de la forma
cuadrática. De hecho, se puede expresar siempre mediante una matriz simétrica
ya que
𝑛
[𝒙]𝑡𝐵 𝐴[𝒙]𝐵
= ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 =
[𝒙]𝑡𝐵
𝑖,𝑗=1
y la matriz 𝑆 =
𝐴+𝐴𝑡
2
𝐴 + 𝐴𝑡
[𝒙]𝐵
2
es simétrica, pues
𝑡
𝐴 + 𝐴𝑡
𝐴𝑡 + (𝐴𝑡 )𝑡 𝐴𝑡 + 𝐴
𝑆 =(
) =
=
= 𝑆.
2
2
2
𝑡
Proposición. Toda forma cuadrática 𝑄 sobre 𝑉, se puede expresar
matricialmente como
𝑄(𝒙) = [𝒙]𝑡𝐵 𝐴[𝒙]𝐵
donde 𝐴 es una matriz simétrica.
La matriz simétrica 𝐴, se denomina matriz asociada a la forma cuadrática 𝑄 en
la base 𝐵.
Ejemplo: Para la forma cuadrática 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦 2 + 3𝑦𝑧 + 5𝑧 2
también tenemos que:
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦 2 + 3𝑦𝑧 + 5𝑧 2
3
3
= 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 + 2𝑦 2 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑦 + 5𝑧 2
2
2
luego
1 2
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 𝑦 𝑧) (0 2
0 0
0 𝑥
3) (𝑦)
5 𝑧
1 1 0
3
𝑥
1 2
= (𝑥 𝑦 𝑧)
2 (𝑦) = [𝒙]𝑡𝐵 𝐴[𝒙]𝐵
3
𝑧
0
5
2
(
)
y la matriz simétrica 𝐴 es la matriz de 𝑄 en la base 𝐵.
Teorema. Sean 𝐵 y 𝐵’ dos bases de 𝑉, 𝑃 la matriz de paso de 𝐵’ a 𝐵 y 𝐴 la matriz
simétrica de 𝑄 en la base 𝐵. Entonces, la matriz de 𝑄 en la base 𝐵’, 𝐴’, se obtiene
de 𝐴’ = 𝑃𝑡 𝐴𝑃.
Demostración:
Como 𝑃 es matriz de cambio de base verifica que [𝑥]𝐵 = 𝑃 [𝑥]𝐵’ , y , sustituyendo
en 𝑄, tenemos que
𝑄(𝒙) = [𝒙]𝑡𝐵 𝐴[𝒙]𝐵 = (𝑃[𝒙]𝐵’ )𝑡 𝐴(𝑃[𝒙]𝐵’ ) = [𝒙]𝑡𝐵’ (𝑃𝑡 𝐴𝑃)[𝒙]𝐵’, 𝑥 ∈ 𝑉
luego 𝐴’ = 𝑃𝑡 𝐴𝑃 y es también simétrica 𝐴’𝑡 = (𝑃𝑡 𝐴𝑃 )𝑡 = 𝑃𝑡 𝐴 𝑡(𝑃𝑡 )𝑡 = 𝑃𝑡 𝐴𝑃 =
𝐴’.
∎
Definición. (Formas cuadráticas canónicas)
Sea 𝑄(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = ∑𝑛𝑖,𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 una forma cuadrática, si 𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗, y al
menos existe algún 𝑖 = 𝑗, que cumple: 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, se dice entonces que la forma
cuadrática es canónica, es decir, la forma cuadrática 𝑄, no posee términos que
contengan productos cruzados de la variable 𝑥𝑖 𝑥𝑗 . Luego 𝑄 se puede escribir:
𝑄(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑎11 𝑥12 + 𝑎22 𝑥22 + 𝑎33 𝑥32 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛2 .
Esta
definición
trae
como
consecuencia
que
una
forma
cuadrática canónica posee como matriz asociada, una Matriz Diagonal de la
forma
𝑎11
0
𝑄(𝒙) = ∑ 𝑎𝑖𝑖 𝑥𝑖2 = (𝑥1 𝑥2 ⋯ 𝑥𝑛 ) (
⋮
𝑖=1
0
𝑛
0
𝑎22
⋮
0
𝑥1
⋯ 0
𝑥
⋯ 0 ) ( 2)
⋮
⋱ ⋮
𝑥𝑛
⋯ 𝑎𝑛𝑛
Definición. Dos matrices simétricas se dice que son congruentes cuando son
matrices asociadas a la misma forma cuadrática en distintas bases .
Es decir, 𝐴 y 𝐴’ simétricas son congruentes, si existe 𝑃 inversible tal que
𝐴 = 𝑃𝑡 𝐴𝑃.
DIAGONALIZACIÓN DE UNA FORMA CUADRÁTICA
1. Diagonalizacion ortogonal.
Sea 𝐵 una base de 𝑉 y 𝑄(𝒙) = [𝒙]𝑡𝐵 𝐴[𝒙]𝐵 la expresión matricial de una forma
cuadrática sobre 𝑉. Puesto que 𝐴 es simétrica, existe una base 𝐵̅ tal que la
matriz 𝑃 de cambio de base de 𝐵̅ a 𝐵 es ortogonal y
𝐷 = 𝑃 −1 𝐴𝑃 = 𝑃𝑡 𝐴𝑃 , 𝑐𝑜𝑛 𝐷 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙
es decir, que 𝐷 y 𝐴 son congruentes (además de semejantes). Luego en 𝐵̅, se
tiene que
𝑄(𝒙) = [𝒙]𝑡𝐵̅ 𝑃𝑡 𝐴𝑃[𝒙]𝐵̅ = [𝒙]𝑡𝐵̅ 𝐷[𝒙]𝐵̅ = 𝜆1 𝑦12 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝑦𝑛2
es decir, la forma cuadrática se expresara como una suma de cuadrados,
donde (𝑦1 , … , 𝑦𝑛 ) = [𝒙]𝑡𝐵̅ y 𝜆1 , ⋯ , 𝜆𝑛 son los valores propios de 𝐴.
Ejemplos:
a) Reduce a suma de cuadrados la forma cuadrática
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 2𝑥𝑧 + 𝑦 2 − 2𝑦𝑧.
Solución:
1
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 𝑦 𝑧) (0
1
𝑥
0
1
1 −1) (𝑦)
𝑧
−1 0
Calculando el polinomio característico
1−𝜆
|𝐴 − 𝜆𝐼| = | 0
1
0
1−𝜆
−1
1
−1| = −𝜆3 + 2𝜆2 + 𝜆 − 2 = 0
−𝜆
Se obtienen los siguientes valores propios con sus respectivos valores
propios
𝜆1 = −1 ; 𝑣1 = (−1,1,2)
𝜆2 = 1 ; 𝑣2 = (1,1,0)
𝜆3 = 2 ; 𝑣3 = (1, −1,1)
luego la matriz 𝑃 y 𝑃 −1 son
1
6
1
=
2
1
( 3
−
−1 1 1
𝑃 = ( 1 1 −1) ; 𝑃−1
2 0 1
1
6
1
2
1
−
3
1
3
0
1
3)
por tanto, 𝐴 es congruente con la matriz D
−1 0
𝐷 = 𝑃 −1 𝐴𝑃 = ( 0 1
0 0
0
0)
2
Y existirá una base 𝐵̅ en la cual
𝑄(𝑥) = [𝑥]𝑡𝐵̅ 𝐷[𝑥]𝐵̅ = −𝑥̅ 2 + 𝑦̅ 2 + 2𝑧̅ 2 .
b) Reduce a suma de cuadrados la forma cuadrática
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧.
Solución:
0
1
2
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 𝑦 𝑧)
(0
1
0
2
𝑥
1
𝑦
( )
0
2
𝑧
1
0)
2
Calculando el polinomio característico
𝜆−
|𝐴 − 𝜆𝐼| =
| 1
| 2
1 1
2 2
0
1| 𝜆
= − 𝜆3 = 0
𝜆
2| 2
1
−𝜆
2
0
Se obtienen los siguientes valores propios con sus respectivos valores
propios
𝜆1 = 0
1
𝜆2 = −
√2
1
𝜆3 =
√2
𝑣1 = (−1,0,1)
;
;
𝑣2 = (1, −√2, 1)
;
𝑣3 = (1, √2, 1)
luego la matriz 𝑃 y 𝑃 −1 son
1
1
0
2
2
1
1
1
−
=
4
2√2 4
1
1
1
( 4
2√2 4)
−
−1
1
1
𝑃 = ( 0 −√2 √2) ; 𝑃−1
1
1
1
por tanto, 𝐴 es congruente con la matriz D
0
0
𝐷 = 𝑃 −1 𝐴𝑃 =
(
0
−
0
1
√2
0
0
0
1
√2)
Y existirá una base 𝐵̅ en la cual
𝑄(𝑥) = [𝑥]𝑡𝐵̅ 𝐷[𝑥]𝐵̅ = −
1
√2
𝑦̅ 2 +
1
√2
𝑧̅ 2 .
c) Reduce a suma de cuadrados la forma cuadrática
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦 2 − 4𝑥𝑧 − 4𝑦𝑧 − 𝑧 2
Solución:
2 −1 −2 𝑥
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 𝑦 𝑧) (−1 2 −2) (𝑦)
−2 −2 −1 𝑧
Calculando el polinomio característico
2−𝜆
|𝐴 − 𝜆𝐼| = | −1
−2
−1
2−𝜆
−2
−2
−2 | = −𝜆3 + 3𝜆2 + 9𝜆 − 27 = 0
−1 − 𝜆
Se obtienen los siguientes valores propios con sus respectivos valores
propios
𝜆1 = −3 ; 𝑣1 = (1,1,2)
𝜆2 = 3
;
𝑣2 = (−2,0,1) ; 𝑣3 = (1, −1,1)
luego la matriz 𝑃 y 𝑃 −1 son
1 −2 −1
𝑃 = (1 0
1 ) ; 𝑃−1
2 1
0
1
1
1
6
6
3
1
1 1
= −
−
3
3 3
1 5
1
−
−
(
6 6
3)
por tanto, 𝐴 es congruente con la matriz D
−3 0
𝐷 = 𝑃 −1 𝐴𝑃 = ( 0 3
0 0
0
0)
3
Y existirá una base 𝐵̅ en la cual
𝑄(𝑥) = [𝑥]𝑡𝐵̅ 𝐷[𝑥]𝐵̅ = −3𝑥̅ 2 + 3𝑦̅ 2 + 3𝑧̅ 2 .
d) Reduce a suma de cuadrados la forma cuadrática
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧.
Solución:
0
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 𝑦 𝑧) (1
1
1 1 𝑥
0 1) (𝑦)
1 0 𝑧
Calculando el polinomio característico
−𝜆
|𝐴 − 𝜆𝐼| = | 1
1
0
−𝜆
1
1
1 | = −𝜆3 + 3𝜆2 + 2 = 0
−𝜆
Se obtienen los siguientes valores propios con sus respectivos valores
propios
𝜆1 = −1 ;
𝑣1 = (−1,0,1) ; 𝑣2 = (−1,1,0)
𝜆2 = 2
;
𝑣3 = (1,1,1)
luego la matriz 𝑃 y 𝑃 −1 son
1
1
−
3
3
1 2
= −
3 3
1
1
( 3
3
−
−1 −1 1
𝑃=( 0
1 1) ; 𝑃 −1
1
0 1
2
3
1
−
3
1
3 )
por tanto, 𝐴 es congruente con la matriz D
−1 0 0
𝐷 = 𝑃 𝐴𝑃 = ( 0 −1 0)
0
0 2
−1
Y existirá una base 𝐵̅ en la cual
𝑄(𝑥) = [𝑥]𝑡𝐵̅ 𝐷[𝑥]𝐵̅ = −𝑥̅ 2 − 𝑦̅ 2 + 2𝑧̅ 2 .
2. Diagonalización mediante operaciones elementales.
La idea del método es la siguiente: haciendo operaciones elementales en las
filas de la matriz podemos conseguir una matriz triangular inferior, pero como
necesitamos que la matriz obtenida sea simétrica (debe ser congruente con
la inicial), después de cada operación que hagamos en las filas
repetiremos la misma operación sobre las columnas. Tras cada doble paso
(operación sobre las filas y misma operación sobre las columnas) la matriz
obtenida será simétrica y congruente con la inicial y, al final obtendremos la
matriz diagonal.
La justificación no es difícil si usamos las matrices elementales que
representan a cada operación elemental pues: si 𝐸 es una
matriz elemental, la matriz 𝐸𝐴 realiza la operación elemental sobre las filas de
𝐴 y tomando la traspuesta de 𝐴, 𝐸𝐴𝑡 realiza la operación sobre las columnas
de 𝐴. Entonces: la matriz 𝐸(𝐸𝐴)𝑡 realiza la operación sobre las columnas de
la matriz en la que ya hemos realizado la operación de
las filas; pero como 𝐸(𝐸𝐴)𝑡 = 𝐸𝐴𝑡 𝐸 𝑡 = 𝐸𝐴𝐸 𝑡 (por ser 𝐴 simétrica), esta matriz
es simétrica y congruente con 𝐴 (pues 𝐸 es invertible). Luego repitiendo el
proceso hasta obtener una matriz diagonal:
𝑡
𝐷 = 𝐸𝑘 𝐸𝑘−1 ⋯ 𝐸1 𝐴𝐸1𝑡 ⋯ 𝐸k−1
𝐸𝑘𝑡 = (𝐸𝑘 𝐸𝑘−1 ⋯ 𝐸1 )𝐴(𝐸𝑘 𝐸𝑘−1 ⋯ 𝐸1 )𝑡 = 𝑃𝑡 𝐴(𝑃𝑡 )𝑡 = 𝑃𝑡 𝐴𝑃
Teorema. Para cualquier matriz simétrica 𝐴, existe una sucesión finita de
operaciones elementales, tales que la matriz obtenida a partir de 𝐴, 𝐷,
efectuando cada operación elemental primero en las filas y a continuación la
misma en las columnas, es diagonal y congruente con 𝐴.
Podemos utilizar el siguiente procedimiento para diagonalizar la matriz 𝐴 y
obtener la matriz del cambio de base simultáneamente.
Método practico:
Se sitúa a la derecha de 𝐴 la matriz identidad 𝐼 del mismo orden que 𝐴, (𝐴 | 𝐼)
y efectuamos en 𝐴 las mismas operaciones elementales en sus filas y en sus
columnas y en la matriz identidad sólo en sus columnas, al cabo de un número
finito de pasos obtendremos (𝐷 | 𝑃).
Ejemplos:
a) Se considera 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 + 3𝑧 2 una forma cuadrática
sobre ℝ3 , reducir 𝑄 a suma de cuadrados.
Solución:
2
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 𝑦 𝑧) (1
0
1 0 𝑥
0 1) (𝑦)
1 3 𝑧
Para obtener una matriz congruente con 𝐴 que sea diagonal, hacemos el
proceso de (𝐴 | 𝐼) → (𝐷 | 𝑃), detallando la primera vez como deben darse los
pasos de efectuar cada operación:
2 1
(𝐴 | 𝐼) = (1 0
0 1
0 1 0
1| 0 1
3 0 0
2 1
0
1
1
0) → {𝐹2𝐴 − 𝐹1𝐴 } → (1 −
2
2
1
0 1
2
1
→ {𝐶2𝐴 − 𝐶1𝐴 } → (1
2
0
0 0
1 0
1
−
1| 0 1
2
0 0
1 3
0
0)
1
1
2 0 0
1 −
0
1
1
2
→ {𝐶2𝐼 − 𝐶1𝐼 } → (1 −
)
1|
2
0 1 0
2
0 1 3 0 0 1
0
1
1| 0
0
3
0 0
1 0)
0 1
1
2 0 0
𝐹3𝐴 + 2𝐹2𝐴
1 −
1
2
→ {𝐶3𝐴 + 2𝐶2𝐴 } → (0 −
0|
0
1
2
𝐶3𝐼 + 2𝐶2𝐼
0 0 5 0 0
−1
) = (𝐷|𝑃)
2
1
Obteniendo la matriz diagonal D y la matriz P, verificándose que:
2
(0
0
1
0 0
1 −
1
2
−
1) = (
0
1
2
0 5
0 0
𝑡
2 1
−1
) (1 0
2
0 1
1
1
0
1 −
−1
2
)
(
);
1
0 1
2
3
0 0
1
por lo tanto
1
𝑄(𝑥̅ , 𝑦̅, 𝑧̅) = 2𝑥̅ 2 − 𝑦̅ 2 + 5𝑧̅2
2
b) Se considera 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 3𝑦 2 + 6𝑥𝑧 + 10𝑦𝑧 + 8𝑧 2 una forma
cuadrática sobre ℝ3 , reducir 𝑄 a suma de cuadrados.
Solución:
1
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) (2
3
2 3 𝑥
3 5) (𝑦)
5 8 𝑧
Para obtener una matriz congruente con 𝐴 que sea diagonal, hacemos el
proceso de (𝐴 | 𝐼) → (𝐷 | 𝑃).
1 2 3 1 0 0
1
𝐹2𝐴 − 2𝐹1𝐴
(𝐴 | 𝐼) = (2 3 5 | 0 1 0) → { 𝐴
} → (0
𝐹3 − 3𝐹1𝐴
3 5 8 0 0 1
0
{𝐹3𝐴
−
𝐹2𝐴 }
1 2
3 1
→ (0 −1 −1 | 0
0 0
0 0
2
3 1 0 0
−1 −1 | 0 1 0) →
−1 −1 0 0 1
0 0
1
𝐶2𝐴 − 2𝐶1𝐴
} → (0
1 0) → { 𝐴
𝐶3 − 3𝐶1𝐴
0 1
0
1 0
0
1 −2
𝐶2𝐼 − 2𝐶1𝐼
→{ 𝐼
} → (0 −1 −1 | 0 1
𝐶3 − 3𝐶1𝐼
0 0
0
0 0
0
0 1 0 0
−1 −1 | 0 1 0)
0
0 0 0 1
−3
0 )→
1
1 0 0 1 −2 −1
𝐶3𝐴 − 𝐶2𝐴
→{ 𝐼
} → (0 −1 0 | 0 1 −1) = (𝐷|𝑃)
𝐶3 − 𝐶2𝐼
0 0 0 0 0
1
Obteniendo la matriz diagonal D y la matriz P, verificándose que:
1 0
(0 −1
0 0
0
1 −2 −1 𝑡 1
0) = (0 1 −1) (2
0
0 0
1
3
2 3 1 −2 −1
3 5) (0 1 −1) ;
5 8 0 0
1
por lo tanto
𝑄(𝑥̅ , 𝑦̅, 𝑧̅) = 𝑥̅ 2 − 𝑦̅ 2
c) Se considera 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 5𝑦 2 − 6𝑥𝑧 − 8𝑦𝑧 + 8𝑧 2 una forma
cuadrática sobre ℝ3 , reducir 𝑄 a suma de cuadrados.
Solución:
1
2 −3 𝑥
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 𝑦 𝑧) ( 2
5 −4) (𝑦)
𝑧
−3 −4 8
Para obtener una matriz congruente con 𝐴 que sea diagonal, hacemos el
proceso de (𝐴 | 𝐼) → (𝐷 | 𝑃).
1
(𝐴 | 𝐼) = ( 2
−3
{𝐹3𝐴
−
2𝐹2𝐴 }
2 −3 1 0 0
1
𝐹2𝐴 − 2𝐹1𝐴
} → (0
5 −4 | 0 1 0) → { 𝐴
𝐹3 + 3𝐹1𝐴
−4 8 0 0 1
0
1 2
→ (0 1
0 0
3 1 0 0
1
𝐶2𝐴 − 2𝐶1𝐴
} → (0
2 | 0 1 0) → { 𝐴
𝐶3 + 3𝐶1𝐴
−5 0 0 1
0
1
𝐶2𝐼 − 2𝐶1𝐼
→{ 𝐼
} → (0
𝐶3 + 3𝐶1𝐼
0
→
{𝐶3𝐼
2 3 1 0
1 2 |0 1
2 −1 0 0
−
2𝐶2𝐼 }
1 0
→ (0 1
0 0
0 0
1 −2
1 2 | 0 1
0 −5 0 0
0 0 1 0
1 2 |0 1
0 −5 0 0
3
0) →
1
0 1 −2 7
0 | 0 1 −2) = (𝐷|𝑃)
−5 0 0
1
Obteniendo la matriz diagonal D y la matriz P, verificándose que:
1 0 0
1 −2 7 𝑡 1
2 −3 1 −2
(0 −1 0) = (0 1 −2) ( 2
5 −4) (0 1
0 0 0
0 0
1
−3 −4 8
0 0
7
−2) ;
1
0
0)
1
0
0)
1
por lo tanto
𝑄(𝑥̅ , 𝑦̅, 𝑧̅) = 𝑥̅ 2 + 𝑦̅ 2 − 5𝑧̅ 2 .
d) Se considera 𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑥 2 una forma cuadrática sobre ℝ2 , reducir 𝑄
a suma de cuadrados.
Solución:
1
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 𝑦) (
1
2
1
2 ) (𝑥 )
𝑦
0
Para obtener una matriz congruente con 𝐴 que sea diagonal, hacemos el
proceso de (𝐴 | 𝐼) → (𝐷 | 𝑃).
1
(𝐴 | 𝐼) = (
1
2
1
1
2 | 1 0) → {𝐹 𝐴 − 1 𝐹 𝐴 } → (
2
0 1
2 1
0
0
1
1
→ {𝐶2𝐴 − 𝐶1𝐴 } → (
0
2
1
1
→ {𝐶2𝐼 − 𝐶1𝐼 } → (
0
2
0
1| 1
−
0
4
1
2 |1
1 0
−
4
0
)
1
1
− ) = (𝐷|𝑃)
2
1
0
1| 1
−
4 0
Obteniendo la matriz diagonal D y la matriz P, verificándose que:
1
0
1) = (1
(
0 −
0
4
1 𝑡 1
− ) (
2
1
1
2
1
2 ) (1
0
0
por lo tanto
1
𝑄(𝑥̅ , 𝑦̅) = 𝑥̅ 2 − 𝑦̅ 2
4
1
− );
2
1
0
)
1
BIBLIOGRAFIA.
1) Abia Vian, José A. (2016) Notas del curso de matemática. departamento de
Matemática Aplicada. Universidad de Valladolid.
2) Asmar Charris, Abraham J. (1995) Tópicos en teoría de matrices.
Documento de trabajo. Universidad Nacional de Colombia. Sede Medellín.
3) González Gómez, Antonia (2006) Apuntes de Formas bilineales y Formas
cuadráticas. Departamento de Matemáticas Aplicadas a los Recursos
Naturales. Universidad Politécnica de Madrid.
4) Lázaro Carrión, Moisés (2006) Algebra Lineal y Algunas de sus Aplicaciones.
6ta. Edición. Edit. MOSHERA. Lima.
5) Simón Pinero, Juan J. (2014) Apuntes de Matemática I. Departamento de
Matemáticas, Universidad de Murcia.
6) ------, (2014) Apuntes de algebra lineal. Escuela Técnica Superior de
Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Universidad Politécnica de
Madrid.
