Matemáticas II Departamento de Matemáticas Lewis Carroll, autor de Alicia en el País de las maravillas, propone un problema que puede enunciarse así: El consumo en una cafetería de un vaso de limonada, tres sandwiches y siete bizcochos ha costado 1 chelín y dos peniques, mientras que un vaso de limonada, cuatro sandwiches y diez bizcochos vale 1 chelín y cinco peniques. Hallar cuál es el precio: 1º De un vaso de limonada, un sandwich y un bizcocho. 2º De dos vasos de limonada, tres sandwiches y cinco bizcochos. Resolver el problema, recordando que 1 chelín vale 12 peniques. Si llamamos x, y, z al precio unitario en peniques de la limonada, el sándwich y el bizcocho respectivamente, de la parte inicial sólo podemos deducir dos ecuaciones con tres incógnitas. El sistema será compatible pero indeterminado. x + 3 y + 7 z = 14 x + 4 z +10 z = 17 Sin embargo no se trata de hallar el importe de cada limonada, cada sandwich y cada bizcocho (los valores de x, y z), sino del valor total de x + y + z. Esto lo podemos abordar de tres maneras diferentes: 1ª Tratamos de expresar el pedido del que queremos saber el precio (x + y + z) como combinación lineal del los dos pedidos de los que conocemos el precio. x + y + z = a ( x + 3 y + 7 z ) + b ( x + 4 y + 10 z ) Basta, por tanto resolver el sistema =1 a+b 3a + 4b = 1 7a + 10b = 1 Comprobamos (hazlo tú) que el sistema es compatible determinado y las soluciones son a = 3 y b = -2 Finalmente, ya que x + y + z = 3 ( x + 3 y + 7 z ) − 2 ( x + 4 y + 10 z ) entonces el precio de x + y + z es 3.14 – 2.17 = 8 Una limonada, un sándwich y un bizcocho cuestan 8 peniques. IES VALLE DE CAMARGO Matemáticas II Departamento de Matemáticas 2ª Resolvemos el sistema compatible indeterminado x + 3 y + 7 z = 14 x + 3 y = 14 − 7 z ⇔ x + 4 z +10 z = 17 x + 4 z = 17 − 10 z 1 3 =1≠ 0 1 4 Consideradas como incógnitas sólo la x y la y, el sistema es compatible determinado 1 14 − 7 z 3 x= ⋅ = 56 − 28 z − 51 + 30 z = 5 + 2 z 1 17 − 10 z 4 1 1 14 − 7 z y= ⋅ = 17 − 10 z − 14 + 7 z = 3 − 3 z 1 1 17 − 10 z Y así podemos calcular x + y + z = ( 5 + 2 z ) + ( 3 − 3 z ) + z = 8 peniques 3ª Se trata de encontrar el valor del parámetro k para que el sistema x + 3 y + 7 z = 14 x + 4 z +10 z = 17 sea compatible determinado (que la limonada, los sándwiches y los x+ y+ z = k bizcochos tengan asignado un precio unitario, aunque no seamos capaces de calcularlo). 1 3 7 Puesto que la matriz de coeficientes del sistema A = 1 4 10 tiene rango 2 1 1 1 1 3 = 1 ≠ 0 ) se trata de hallar el valor de k para que el rango de la matriz 1 4 ampliada también tenga rango 2 (que la tercera ecuación no contradiga a lo que dicen las dos primeras). Para ello, tiene que ser ( A =0 y 1 3 14 1 4 17 = 0 ⇔ 4k + 14 + 51 − 56 − 3k − 17 = 0 ⇔ k − 8 = 0 ⇔ k = 8 1 1 k Por una limonada, un sándwich y un bizcocho “nos tienen que cobrar” 8 peniques. Cualquier otro precio que nos cobrasen, haría que el sistema fuese incompatible: no habría un valor de x, uno de y y uno de z que justificasen simultáneamente los precios de los tres pedidos. IES VALLE DE CAMARGO Matemáticas II Departamento de Matemáticas Resuelve el apartado 2º de cualquiera del las tres maneras: a mi modo de ver, la 1ª es muy rebuscada y larga; la 2ª es sencilla de entender pero cuestan un poco las cuentas; la 3ª supone un planteamiento un poco elaborado pero las cuentas son muy sencillas. Prueba también (no lo propuso Lewis Carroll) a averiguar el precio de 1 limonada, 2 sandwiches y 3 bizcochos. IES VALLE DE CAMARGO