PANDEO El pandeo es un fenómeno de no linealidad geométrica que aparece en piezas esbeltas manifestándose con grandes desplazamientos transversales a la dirección principal de compresión. x x P P x P ymax Mz y y x x y y y · El pandeo limita severamente la resistencia en compresión. · Durante el pandeo aparecen dos esfuerzos con efectos antagonistas: - Esfuerzo axil: tiende a incrementar el desplazamiento lateral - Momento flector: tiende a atenuar el desplazamiento lateral · Existe una fuerza de compresión que en caso de ser superada puede producirse una situación de inestabilidad elástica. · La resistencia del material es insuficiente para dimensionar el elemento estructural. Barra esbelta doblemente articulada. Carga crítica de Euler. x P Mz y x y M z = − P y = EI z d2y dx 2 d2y P + y=0 2 EI z dx ⎛ ⎛ ⎞ P ⎞⎟ ⎜x P ⎟ y = C1 sin ⎜⎜ x cos C + 2 ⎟ ⎜ EI ⎟ z ⎠ ⎝ EI z ⎠ ⎝ Condiciones de contorno: x=0→ y=0 x=l → y=0 ⇒ C2 = 0 ⇒ ⎛ P ⎞⎟ C1 sin ⎜⎜ l ⎟=0 ⎝ EI z ⎠ ⎧• C1 = 0 ⎪ ⎛ ⇒⎨ P ⎜ ⎪• sin ⎜ l EI z ⎝ ⎩ ⎞ ⎟ = 0 ⇒ l P = nπ ⎟ EI z ⎠ P=n 2 π 2 EI z l2 (n = 1,2,...) (n = 1,2,...) La carga más pequeña corresponde a n = 1 Pcr = π 2 EI z l2 Carga Crítica de Euler OBS: La carga crítica de Euler no depende del límite de proporcionalidad σp del material. Deformada por pandeo Ecuación diferencial de la elástica: 1 ω= αz ρ = d2y ds 2 ⎡ ⎛ dy ⎞ 2 ⎤ ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ ds ⎠ ⎥⎦ 32 = Mz Py =− EI z EI z Si las deformaciones son pequeñas: αz αz d2y ds 2 ⎡ ⎛ dy ⎞ 2 ⎤ ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ ds ⎠ ⎥⎦ 32 d2y ≈ 2 ds ⇒ Py d2y =− 2 EI z ds Esta ecuación corresponde a la empleada en la determinación de la carga crítica de Euler. Volviendo a la ecuación diferencial de la elástica: ω= 1 ρ = dα z M z Py = =− ds EI z EI z dα z P y + =0 ds EI z d 2α z P dy + =0 2 EI z ds ds d 2α z P + sin α z = 0 2 EI z ds La flecha máxima se obtiene en el punto medio: l α z =0 y max = f = ∫ 2 dy = ∫ 0 α z = α z0 P Pcr f l 0º 20º 40º 60º ≤ 1 1.015 1.064 1.152 0 0.11 0.211 0.296 α z =α z 0 sin α z ds Longitud de pandeo Supóngase barras esbeltas sometidas a compresión con distintos tipos de enlace: · Se define la Longitud de Pandeo L como: L=βl l : longitud de la barra β : Coef. función del tipo de enlace · Carga crítica de Euler: Pcr = π 2 EI z L2 Tensión crítica de Euler. Esbeltez mecánica σ cr = iz : Radio de giro i z = Pcr π 2 EI z π 2 Ei z2 S π 2E π 2E = = = = 2 2 S λ SL2 SL2 ⎛L⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ iz ⎠ Iz S λ : Esbeltez mecánica L iz λ= σcr : Tensión crítica de Euler σ cr = π 2E λ2 Dominio de aplicación de la fórmula de Euler Hipérbola de Euler Validez de tensión crítica de Euler: π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ OBS.: · Piezas de esbeltez muy elevada · Piezas de esbeltez muy pequeña ⇒ λ ≥ λL = π 2E σp ⇒ La tensión crítica es muy pequeña ⇒ La tensión crítica de Euler carece de sentido Pandeo en el dominio anelástico ( λ < λ L ) Engensser-Shanley Tensiones superiores al límite elástico σ e el módulo de elasticidad tangente disminuye σ Módulo elástico tangente ET = dσ = tan β dε ε σ cr = π 2 ET λ2 Formula de Tetmajer Es una fórmula empírica σ cr = a − bλ + cλ2 E Acero dulce Fundición Madera de pino σe [kg/cm2] [kg/cm2] 106 1620 2.1·106 0.1·106 1900 99 λL a b c 105 3100 11.4 0 80 7760 120 0.53 100 293 1.94 0 Coeficiente de seguridad a pandeo γp Imperfecciones: las cargas descentradas y piezas con ligera curvatura inicial ⇓ Se aplica un coeficiente de seguridad que aumenta con la esbeltez (σ adm ) p = σ cr γp Método de los coeficientes ω de cálculo del pandeo ω= σ adm (σ adm ) p ⇒ ω = f (λ ) donde ya se ha tenido en cuenta (σ adm ) p = σ= σ cr γp & σ adm = σ P ≤ (σ adm ) p = adm S ω Tres planteamientos: σω = λ 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 P ω ≤ σ adm S 0 1.01 1.03 1.07 1.12 1.19 1.30 1.45 1.65 1.89 2.18 2.50 2.86 3.25 3.68 4.14 4.63 5.15 5.70 6.28 6.90 7.54 8.22 8.92 9.66 1 1.02 1.04 1.07 1.12 1.20 1.31 1.47 1.67 1.92 2.21 2.53 2.90 3.29 3.72 4.18 4.68 5.20 5.76 6.34 6.96 7.61 8.29 8.99 S≥ P σ adm ω Coeficientes ω para aceros St 33 y St 37 2 3 4 5 6 7 1.02 1.02 1.02 1.02 1.02 1.03 1.04 1.04 1.04 1.05 1.05 1.06 1.08 1.08 1.08 1.09 1.09 1.10 1.13 1.14 1.14 1.15 1.16 1.17 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.33 1.34 1.36 1.37 1.39 1.40 1.49 1.51 1.53 1.55 1.57 1.59 1.70 1.72 1.74 1.77 1.79 1.82 1.95 1.97 2.00 2.03 2.06 2.09 2.24 2.27 2.30 2.33 2.37 2.40 2.57 2.60 2.64 2.68 2.71 2.75 2.94 2.97 3.01 3.05 3.09 3.13 3.33 3.38 3.42 3.46 3.50 3.55 3.77 3.81 3.86 3.90 3.95 4.00 4.23 4.28 4.33 4.38 4.43 4.48 4.73 4.78 4.83 4.88 4.94 4.99 5.26 5.31 5.36 5.42 5.48 5.53 5.81 5.87 5.93 5.99 6.05 6.11 6.40 6.46 6.53 6.59 6.65 6.71 7.03 7.09 7.15 7.22 7.28 7.35 7.67 7.74 7.81 7.88 7.94 8.01 8.36 8.43 8.49 8.57 8.64 8.71 9.07 9.14 9.21 9.29 9.36 9.43 P≤ 8 1.03 1.06 1.10 1.17 1.28 1.42 1.61 1.84 2.12 2.43 2.78 3.17 3.59 4.04 4.53 5.04 5.59 6.16 6.77 7.41 8.08 8.78 9.51 S σ adm 9 1.03 1.06 1.11 1.18 1.29 1.44 1.63 1.87 2.15 2.47 2.82 3.21 3.63 4.09 4.58 5.09 5.64 6.22 6.84 7.48 8.15 8.85 9.58 ω λ 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 σe γ