PANDEO El pandeo es un fenómeno de no linealidad geométrica

Anuncio
PANDEO
El pandeo es un fenómeno de no linealidad geométrica que aparece en piezas esbeltas
manifestándose con grandes desplazamientos transversales a la dirección principal de
compresión.
x
x
P
P
x
P
ymax
Mz
y
y
x
x
y
y
y
· El pandeo limita severamente la resistencia en compresión.
· Durante el pandeo aparecen dos esfuerzos con efectos antagonistas:
- Esfuerzo axil: tiende a incrementar el desplazamiento lateral
- Momento flector: tiende a atenuar el desplazamiento lateral
· Existe una fuerza de compresión que en caso de ser superada puede producirse una
situación de inestabilidad elástica.
· La resistencia del material es insuficiente para dimensionar el elemento estructural.
Barra esbelta doblemente articulada. Carga crítica de Euler.
x
P
Mz
y
x
y
M z = − P y = EI z
d2y
dx 2
d2y
P
+
y=0
2
EI z
dx
⎛
⎛
⎞
P ⎞⎟
⎜x P ⎟
y = C1 sin ⎜⎜ x
cos
C
+
2
⎟
⎜ EI ⎟
z ⎠
⎝ EI z ⎠
⎝
Condiciones de contorno:
x=0→ y=0
x=l → y=0
⇒
C2 = 0
⇒
⎛
P ⎞⎟
C1 sin ⎜⎜ l
⎟=0
⎝ EI z ⎠
⎧• C1 = 0
⎪
⎛
⇒⎨
P
⎜
⎪• sin ⎜ l EI
z
⎝
⎩
⎞
⎟ = 0 ⇒ l P = nπ
⎟
EI z
⎠
P=n
2
π 2 EI z
l2
(n = 1,2,...)
(n = 1,2,...)
La carga más pequeña corresponde a n = 1
Pcr =
π 2 EI z
l2
Carga Crítica de Euler
OBS: La carga crítica de Euler no depende del
límite de proporcionalidad σp del material.
Deformada por pandeo
Ecuación diferencial de la elástica:
1
ω=
αz
ρ
=
d2y
ds 2
⎡ ⎛ dy ⎞ 2 ⎤
⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ ds ⎠ ⎥⎦
32
=
Mz
Py
=−
EI z
EI z
Si las deformaciones son pequeñas:
αz
αz
d2y
ds 2
⎡ ⎛ dy ⎞ 2 ⎤
⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ ds ⎠ ⎥⎦
32
d2y
≈ 2
ds
⇒
Py
d2y
=−
2
EI z
ds
Esta ecuación corresponde a la empleada en la determinación de la carga crítica de Euler.
Volviendo a la ecuación diferencial de la elástica:
ω=
1
ρ
=
dα z M z
Py
=
=−
ds
EI z
EI z
dα z P y
+
=0
ds
EI z
d 2α z
P dy
+
=0
2
EI z ds
ds
d 2α z
P
+
sin α z = 0
2
EI z
ds
La flecha máxima se obtiene en el punto medio:
l
α z =0
y max = f = ∫ 2 dy = ∫
0
α z = α z0
P
Pcr
f
l
0º
20º
40º
60º
≤ 1 1.015 1.064 1.152
0
0.11
0.211 0.296
α z =α z 0
sin α z ds
Longitud de pandeo
Supóngase barras esbeltas sometidas a compresión con distintos tipos de enlace:
· Se define la Longitud de Pandeo L como:
L=βl
l : longitud de la barra
β : Coef. función del tipo de enlace
· Carga crítica de Euler:
Pcr =
π 2 EI z
L2
Tensión crítica de Euler. Esbeltez mecánica
σ cr =
iz : Radio de giro i z =
Pcr π 2 EI z π 2 Ei z2 S
π 2E π 2E
=
=
=
= 2
2
S
λ
SL2
SL2
⎛L⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ iz ⎠
Iz
S
λ : Esbeltez mecánica
L
iz
λ=
σcr : Tensión crítica de Euler
σ cr =
π 2E
λ2
Dominio de aplicación de la fórmula de Euler
Hipérbola
de Euler
Validez de tensión crítica de Euler:
π 2E
σ cr = 2 ≤ σ p
λ
OBS.:
· Piezas de esbeltez muy elevada
· Piezas de esbeltez muy pequeña
⇒
λ ≥ λL =
π 2E
σp
⇒ La tensión crítica es muy pequeña
⇒ La tensión crítica de Euler carece de sentido
Pandeo en el dominio anelástico ( λ < λ L )
Engensser-Shanley
Tensiones superiores al límite elástico σ e el módulo de elasticidad tangente disminuye
σ
Módulo elástico tangente
ET =
dσ
= tan β
dε
ε
σ cr =
π 2 ET
λ2
Formula de Tetmajer
Es una fórmula empírica
σ cr = a − bλ + cλ2
E
Acero
dulce
Fundición
Madera de
pino
σe
[kg/cm2]
[kg/cm2]
106
1620
2.1·106
0.1·106
1900
99
λL
a
b
c
105
3100
11.4
0
80
7760
120
0.53
100
293
1.94
0
Coeficiente de seguridad a pandeo γp
Imperfecciones: las cargas descentradas y piezas con ligera curvatura inicial
⇓
Se aplica un coeficiente de seguridad que aumenta con la esbeltez
(σ adm ) p = σ cr
γp
Método de los coeficientes ω de cálculo del pandeo
ω=
σ adm
(σ adm ) p
⇒
ω = f (λ )
donde ya se ha tenido en cuenta (σ adm ) p =
σ=
σ cr
γp
& σ adm =
σ
P
≤ (σ adm ) p = adm
S
ω
Tres planteamientos:
σω =
λ
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
P
ω ≤ σ adm
S
0
1.01
1.03
1.07
1.12
1.19
1.30
1.45
1.65
1.89
2.18
2.50
2.86
3.25
3.68
4.14
4.63
5.15
5.70
6.28
6.90
7.54
8.22
8.92
9.66
1
1.02
1.04
1.07
1.12
1.20
1.31
1.47
1.67
1.92
2.21
2.53
2.90
3.29
3.72
4.18
4.68
5.20
5.76
6.34
6.96
7.61
8.29
8.99
S≥
P
σ adm
ω
Coeficientes ω para aceros St 33 y St 37
2
3
4
5
6
7
1.02
1.02
1.02
1.02
1.02
1.03
1.04
1.04
1.04
1.05
1.05
1.06
1.08
1.08
1.08
1.09
1.09
1.10
1.13
1.14
1.14
1.15
1.16
1.17
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.33
1.34
1.36
1.37
1.39
1.40
1.49
1.51
1.53
1.55
1.57
1.59
1.70
1.72
1.74
1.77
1.79
1.82
1.95
1.97
2.00
2.03
2.06
2.09
2.24
2.27
2.30
2.33
2.37
2.40
2.57
2.60
2.64
2.68
2.71
2.75
2.94
2.97
3.01
3.05
3.09
3.13
3.33
3.38
3.42
3.46
3.50
3.55
3.77
3.81
3.86
3.90
3.95
4.00
4.23
4.28
4.33
4.38
4.43
4.48
4.73
4.78
4.83
4.88
4.94
4.99
5.26
5.31
5.36
5.42
5.48
5.53
5.81
5.87
5.93
5.99
6.05
6.11
6.40
6.46
6.53
6.59
6.65
6.71
7.03
7.09
7.15
7.22
7.28
7.35
7.67
7.74
7.81
7.88
7.94
8.01
8.36
8.43
8.49
8.57
8.64
8.71
9.07
9.14
9.21
9.29
9.36
9.43
P≤
8
1.03
1.06
1.10
1.17
1.28
1.42
1.61
1.84
2.12
2.43
2.78
3.17
3.59
4.04
4.53
5.04
5.59
6.16
6.77
7.41
8.08
8.78
9.51
S σ adm
9
1.03
1.06
1.11
1.18
1.29
1.44
1.63
1.87
2.15
2.47
2.82
3.21
3.63
4.09
4.58
5.09
5.64
6.22
6.84
7.48
8.15
8.85
9.58
ω
λ
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
σe
γ
Descargar