PANDEO COMPRESIÓN DEFINICIONES x z P y P Eje de giro: Plano de pandeo: FACTORES QUE INFLUYEN EN LA ESTABILIDAD: EULER (1744): SECCIÓN CIRCULAR x P Mz v ′′ = EI z M z = −P ⋅ v v P v ′′ + v =0 EI z y P P x x + B ⋅ cos v = A ⋅ sen EI z EI z x P v (0 ) = 0 v (L ) = 0 v P → v = A ⋅ sen x EI z P → 0 = A ⋅ sen L EI z P L = nπ EI z y n = 1, 2, ... SECCIÓN CIRCULAR EN OTRAS SUSTENTACIONES (EJEMPLO): x P v y M z = −P ⋅ v + R (L − x ) P ⎧ v = R (L − x ) ⎪v ′′ + EI z ⎨ ⎪v (0 ) = 0 v ′(0 ) = 0 v (L ) = 0 ⎩ R P P x+ x x + B ⋅ cos v = A ⋅ sen P EI z EI z De las tres condiciones de contorno, resultan tres ecuaciones, para obtener las tres incógnitas (A, B, R). Para que el sistema tenga solución, el determinante de coeficientes debe ser nulo, lo que conduce a: P P tg L= L EI z EI z Ecuación trascendente, cuya primera raíz es: Pcr = 4,49 EI z → Pcr = ( π 2EI z L) 2 CASO GENERAL DE SUSTENTACIÓN: Pcr = π 2EI Lp 2 Lp Longitud (efectiva) de pandeo Lp = k·L k es cuanto es la sustentación CASOS EXTREMOS DE SUSTENTACIÓN: 0,7L L 0,5L 2L Empotrada/libre Lp=2L Biarticulada Lp=L Articulada/Empotrada Lp=0,7L Biempotrada Lp=0,5L OTRO PUNTO DE VISTA: π EI 2 Pcr = Lp ⇔ 2 λ = Esbeltez : σ π 2 ⋅E σ cr = 2 λ π 2 ⋅E ⋅ A Pcr = ⇔ 2 λ Lp = I A λ Lp LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER: π 2 ⋅E σ cr = 2 λ 1.- Solo si el material está en régimen elástico σ < σe σ λ > λlím = π E σe σ σe REALIDAD λ λ λlím LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER: 2.- Solo condiciones de laboratorio: Factor de seguridad alto Carga admisible: Padm Pcr = factor de seguridad FÓRMULAS EMPÍRICAS σ Curva empírica λ SECCIONES NO CIRCULARES Y DISTINTA SUSTENTACIÓN EN LOS PLANOS PRINCIPALES 2 ecuaciones diferenciales distintas x y z P ⎧ ⎪w ′′ + EI w = f2 (x ) y ⎨ ⎪c. de contorno (2) ⎩ P ⎧ ′ ′ v = f1 (x ) ⎪v + EI z ⎨ ⎪c. de contorno (1) ⎩ π ⋅E 2 Dos tensiones σ cr = 2 λ críticas z Plano de pandeo: El de carga crítica = esbeltez π 2 ⋅E σ cr = 2 λy MÉTODO DE CÁLCULO: 1.- Hallar el plano de pandeo (Esbeltez máxima): Lp z Lp y λz = λy = Iz Iy A A 2.- Emplear la fórmula de Euler con λmáx