TEOREMA DE CEVA

TEOREMA DE CEVA
Este es un resultado de de concurrencia.
Definición: Sean X, Y, Z puntos de los lados BC, CA y AB respectivamente de
un triángulo ABC. Los segmentos AX, BY y CZ se denominan cevianas,
NOTA: El término “cevianas” es en honor al matemático italiano Giovanni Ceva
(1647-1734).
El teorema de Ceva. “ Las rectas que unen los vértices de un triángulo con un
punto cualquiera, determinan sobre los lados seis segmentos tales que razón
formada por el producto de tres de ellos sin extremos comunes, con el producto
de los otros tres es igual a -1 “
H: FB, EA, CD concurren en O
T:
C
EB FC DA
= −1
EC FA DB
D: En ∆ DBC: A, O, E son colineales
∴
E
EB OC AD
= 1.
EC OD AB
F
O
En ∆ADC: F,O, B son colineales
∴
BA OD FC
=1
BD OC FA
A
D
B
Multiplicando miembro a miembro
EB OC AD BA OD FC
=1
EC OD AB BD OC FA
Simplificando y recordando que: BD = -DB, resulta
EB FC DA
= −1.
EC FA DB
NOTA: Si O es exterior al triángulo, entonces dos de los tres puntos D, E, F,
están en la prolongación de los lados.
NOTA: Existe otra demostración basada en que las áreas de los triángulos con
alturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos.
Teorema recíproco: “Si tres puntos, digamos L, M, N, situados sobre los lados
de un triángulo (o dos de ellos, en las prolongaciones) se cumple la relación:
LA MB NC
= −1
LB MC NA
Entonces, las rectas que unen los vértices con estos puntos, se cortan en un
mismo punto”.
D: Demuéstrelo.
APLICACIONES:
1. “Las tres transversales de gravedad concurren a un punto”
H: AN = ta , BM = tb, CP = tc
C
NB MC PA
= −1
T:
NC MA PB
D: NB = - NC
MC = - MA
PB = - AP
∴
N
M
NB
MC
PA
= −1;
= −1;
= −1
NC
MA
PB
∴(-1) (-1) (−1) = −1
A
P
B