Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos CONDICIONES DE CONTORNO Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos CONDICIONES DE CONTORNO • • • Los cálculos numéricos deben realizarse en un dominio “li it d ” a menudo “limitado” d conectado t d a un d dominio i i exterior t i idealmente ilimitado. Las condiciones de contorno y la forma del dominio fluido distinguen a un problema de otro, ya que, las ecuaciones de conservación son las mismas De la correcta imposición y tratamiento de las condiciones de contorno dependen: – – – – (JMT) La unicidad de la solución La fidelidad de la solución obtenida La estabilidad del algoritmo de integración ... Seminario de Simulación Numérica en Sistemas de Propusión Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos CONDICIONES DE CONTORNO: PREGUNTAS A CONTESTAR • ¿Qué Q éd datos t d deben b ser explicitados li it d en ell contorno? ¿En que número? • ¿Cuáles variables deben ser calculadas en los contornos? ¿Cómo hacerlo? • ¿Cómo deben implementarse el algoritmo numérico para conservar el orden de aproximación p y las características de estabilidad del método interior? (JMT) Seminario de Simulación Numérica en Sistemas de Propusión Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos Ecuaciones de Euler FORMA CONSERVATIVA DE LAS ECUACIONES DE EULER ∂U ∂ F ∂ G ∂ H + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z FORMA QUASILINEAL DE LAS ECUACIONES DE EULER EN VARIABLES PRIMITIVAS ∂ϕ p ∂t ⎡u ρ ⎢0 u ⎢ A = ⎢0 0 ⎢ 0 ⎢0 ⎢⎣ 0 ρ a 2 (JMT) 0 0 0 0 u 0 0 u 0 0 0 ⎤ 1/ ρ ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ u ⎥⎦ ⎡v ⎢0 ⎢ B = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣.0 0 ρ 0 v 0 0 v 0 0 0 0 0 ρ a2 v 0 0 ⎤ 0 ⎥⎥ 1/ ρ ⎥ ⎥ 0 ⎥ v ⎥⎦ +A ⎡w ⎢0 ⎢ C = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣ 0 ∂ϕ p ∂x +B 0 ρ w 0 0 w 0 0 0 0 0 0 0 w ρ a2 ∂ϕ p ∂y +C ∂ϕ p ∂z =0 ⎡ρ ⎤ ⎢ G⎥ ϕ p = ⎢V ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ p⎦ 0 ⎤ 0 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ 1/ ρ ⎥ w ⎥⎦ Seminario de Simulación Numérica en Sistemas de Propusión Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos DIIAGONALIZACIÓN DIAGONALIZACIÓN INDIVIDUAL DE LAS MATRICES JACOBIANAS ∂ϕ p ∂t −1 x + Lx Λ x L ∂ϕ p ∂x −1 y + Ly Λ y L ∂ϕ p ∂y −1 z + Lz Λ z L ∂ϕ p ∂z •Todas las matrices Jacobianas tienen autovalores reales y un conjunto de autovectores asociados. =0 •NO se pueden diagonalizar simultáneamente porque los autovalores son distintos. •Podemos abordar un análisis local fijá d fijándonos en lla di dirección ió perpendicular di l all contorno (situado en x=cte.). CONSIDEREMOS UNA SUPERFICIE DE x=cte. L−1 ⎡ ⎢ ⎢ L = Lx = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ (JMT) 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ∂ϕ p + Λ L−1 ∂t 0 0 0 1 0 ∂ϕ p ∂x ρ / 2a ρ / 2a ⎤ •Las derivadas según las direcciones tangentes (y,z) se pueden evaluar mediante información contenida en el contorno. + L−1 R = 0 ⎡ ⎢ ⎥ 1/ 2 −1/ 2 ⎥ ⎢ 0 0 ⎥ , L−1 = ⎢ ⎢ ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ ⎢ ρ a / 2 ρ a / 2 ⎥⎦ ⎣ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 −1/ a 2 ⎤ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1/ ρ a ⎥ 1/ ρ a ⎥⎦ Seminario de Simulación Numérica en Sistemas de Propusión Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos Variables características ∂ϕ p ∂ϕ p −1 −1 L +ΛL + L−1 R = 0 ∂t ∂x •Cuando sea posible se podrán definir las variables características (ϕc), ) mediante las denominadas ecuaciones de compatibilidad •Las ϕc serán constantes a lo largo de líneas dx/dt=λi en el plano (x-t) •No siempre es posible definir las ϕc Únicamente cuando las matrices diagonalizadoras son constantes (subíndice o) −1 •Cuando R=0, es decir, las variaciones respecto a (y,z) son despreciables se obtiene: −1 d ϕc = L d ϕ p + L R dt MATRIZ DE AUTOVALORES (λi) VARIABLES CARACTERÍSTICAS ∂ϕ c ∂ϕ c +Λ =0 ∂t ∂x (JMT) ϕc = ⎡⎣ ρ − p / a02 , v, w, u + p / ρ 0 a0 , −u + p / ρ 0 a0 ⎤⎦ ⎡ ⎢ ⎢ Λ = Λx = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ u . . . . . u . . . . . u . . . . ⎤ . . ⎥⎥ . . ⎥ ⎥ (u + a ) . ⎥ . (u − a ) ⎥⎦ Seminario de Simulación Numérica en Sistemas de Propusión Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos Ecuaciones de Euler en una dimensión G ρv ⎧ ρ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧0 ⎫ ∂ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ρ u + ρ u + p ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ = ⎨0 ⎬ ∂t ⎪ ∂x⎪ G ⎪ ⎪ ⎪0 ⎪ ρ E ρ v H ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ en forma característica: 0 0 ⎤ ⎧ w1 ⎫ ⎡u ⎧ w1 ⎫ ⎧0⎫ ∂ ⎪ ⎪ ⎢ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ 0 ⎥ ⎨ w2 ⎬ + ⎢ 0 u + c ⎨ w2 ⎬ = ⎨0⎬ ∂t ⎪ ⎪ ∂x⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u − c ⎦⎥ 0 ⎩ w3 ⎭ ⎣⎢ 0 ⎩ w3 ⎭ ⎩0⎭ (JMT) Las variables características definidas son: 1 δp c2 1 δ w2 = δ u + δp ρc δ w1 = δρ − δ w3 = δ u − 1 δp ρc Seminario de Simulación Numérica en Sistemas de Propusión Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos Esquema de direcciones características (C (Caso unidimensional) idi i l) u-c u-c u u+c u Nivel n+1 u+c u Nivel n i=1 i=2 i=3 ENTRADA SUPERSÓNICA (JMT) i=m-1 i=m SALIDA SUBSÓNICA Seminario de Simulación Numérica en Sistemas de Propusión Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos Esquema de direcciones características (C (Caso unidimensional) idi i l) u-c u-c u u+c u u+c Nivel n+1 u Nivel n i=1 i=2 ENTRADA SUBSÓNICA (JMT) i=3 i=m-1 i=m SALIDA SUPERSÓNICA Seminario de Simulación Numérica en Sistemas de Propusión Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos ASPECTOS NUMERICOS • • • • (JMT) Se denominan condiciones de contorno físicas a q ecuaciones ((valores)) q que reemplazan p a las aquellas ecuaciones características de las ondas entrantes Se denominan condiciones de contorno numéricas a la p correspondiente p a las información adicional aportada ondas que abandonan el dominio El método numérico local aplicado en el contorno no tiene que ser muy exigente para garantizar el orden de aproximación interior La estabilidad global tiene que ser garantizada pero se preserva si la implementación de la condiciones de contorno se realiza de forma próxima a las ecuaciones características Seminario de Simulación Numérica en Sistemas de Propusión Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos PROCEDIMIENTOS NUMERICOS • • • • • (JMT) METODOS BASADOS EN LAS ECUACIONES CARACTERISTICAS: Se especifican los valores de contorno como una ligadura para las ecuaciones características que permite imponer una ecuación para las variables del calculo que se debe discretizar con procedimientos similares a los empleados en el interior METODOS NON-REFLECTING: Se ha realizado mucho esfuerzo en el tema de implementar condiciones de contorno de este tipo. Surge también la evidencia de que la imposición q p de condiciones de contorno clásicas (p (por ejemplo j p la p presión estática en una salida subsónica) es incompatible con una condición tipo noreflexiva METODOS ANALITICOS: Basados, normalmente, en la solución analítica (por ejemplo, mediante series de Fourier) de expresiones asintóticas o linealizadas de l ecuaciones las i d de E Euler l que se empalman l con lla solución l ió numérica é i en ell contorno t METODOS DE EXTRAPOLACION: Se trata de métodos prácticos y sencillos que como no respetan exactamente la naturaleza de la información propagada pueden dar lugar a inestabilidades o errores METODOS HOMENTROPICOS: Suponiendo homentropia local se simplifican las relaciones características permitiendo un tratamiento mas sencillo de los contornos, prácticamente como en el caso unidimensional Seminario de Simulación Numérica en Sistemas de Propusión Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos Aspectos prácticos: Celdas fantasma DOMINIO FLUIDO •Los cálculos se realizan sobre las celdas interiores de forma transparente •Las condiciones de contorno se imponen restituyendo las variables fluidas en las celdas fantasma DOMINIO EXTERIOR (JMT) Seminario de Simulación Numérica en Sistemas de Propusión Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos Condiciones de contorno (Mexit = 1) (JMT) Condición de contorno Condición de contorno REFLEXIVA NO-REFLEXIVA Seminario de Simulación Numérica en Sistemas de Propusión Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos C.C. Presión Constante C.C. Presión + Non-Reflecting Contornos de presión estática (atm) (JMT) Seminario de Simulación Numérica en Sistemas de Propusión Laboratorio de Propulsión, DMT-UPM E T. E. T S. S I. I Aeronáuticos Condiciones de contorno en Fluent • GENERALES: pressure inlet, pressure outlet • INCOMPRESIBLES: velocity inlet, outflow • COMPRESIBLES: mass flow inlet inlet, pressure far-fild, mass flow outlet • ESPECIALES: inlet, vent, outlet vent, inttake fan, exhaust fan • OTRAS: wall, symmetry axis, periodic (JMT) Seminario de Simulación Numérica en Sistemas de Propusión