Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Aplicaciones de la Forma Normal de Smith de una Matriz Entera Rafael Heraclio Villarreal Rodrı́guez Departmento de Matemáticas CINVESTAV-IPN, México D.F. XLV Congreso Nacional Sociedad Matemática Mexicana Universidad Autónoma de Querétaro 28 de octubre al 2 de noviembre de 2012 Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Bosquejo 1 Forma normal de Smith 2 Factores invariantes 3 Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas 4 Grupos abelianos finitamente generados 5 Grado de anillos afı́nes 6 Grado de ideales binomiales asociados a lattices Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Sea A una matriz no-cero de orden m × n con entradas en Z y sea r el rango de A. Esta matriz se escribe como: a11 · · · a1n .. .. A = (aij ) = ... . . am1 · · · amn Operaciones Elementales (I) Permutar filas (columnas). (II) Multiplicar una fila (columna) por −1. (III) Multiplicar una fila (columna) por un entero y sumar a otra fila (columna). Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Teorema (Forma normal de Smith) Usando operaciones elementales la matriz A se puede reducir a una matriz diagonal: d1 0 .. . D= 0 0 . .. 0 d2 .. . 0 0 0 .. . 0 0 .. . ··· ··· .. . 0 0 .. . 0 ··· 0 ··· .. .. . . 0 ··· 0 ··· .. .. . . dr 0 .. . 0 0 .. . ··· ··· 0 0 ··· 0 0 ··· ··· 0 0 .. . 0 = diag{d1 , . . . , dr , 0, . . . , 0}, 0 .. . 0 donde di > 0 y di divide a di+1 para toda i. La matriz D es la forma normal de Smith de A y d1 , . . . , dr son los factores invariantes de A. Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Demostración Sea δ(A) = min{|aij | : aij 6= 0, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}. (1) Podemos suponer que a11 = δ(A). (2) Si a1k 6= 0 para algún k > 1, por algoritmo de la división a1k = bk a11 + b1k , donde 0 ≤ |b1k | < a11 . (3) Multiplicando la primera columna de A por −bk y sumándola a la columna k obtenemos: a11 · · · −bk a11 + a1k = b1k · · · a1n .. .. .. .. B = ... . . . . am1 · · · −bk am1 + amk = bmk · · · amn una matriz equivalente B = (bij ) donde b1k = 0 ó bién b1k 6= 0 y δ(B) ≤ |b1k | < a11 = δ(A). Si b1k = 0, repetimos este paso con otro elemento no-cero de la primera fila. Si b1k 6= 0, regresamos al paso (1) con la matriz B. Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado (4) Repitiendo este proceso tantas veces como sea necesario y usando un proceso similar sobre la primera columna obtenemos una matriz equivalente: c11 0 · · · 0 0 c22 · · · c2n C= . .. .. . . . . 0 cm2 · · · cmn Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado (5) Si c11 no divide a algún cij , sumando la fila i a la fila 1 obtenemos c11 ci2 · · · cin 0 c22 · · · c2n C0 = . .. .. .. . . 0 y regresamos al paso (1). cm2 · · · cmn Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado (6) Aplicando pasos (1) a (5) repetidamente obtenemos: e11 0 · · · 0 0 e22 · · · e2n E = (eij ) = . .. .. .. . . 0 em2 · · · emn donde e11 divide a cualquier entrada eij . (7) Definimos d1 := e11 y se regresa al paso (1) con la matriz: e22 · · · e2n .. .. . . em2 · · · emn 2 Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Ejemplo A = (a11 , . . . , a1n ) ∼ D = (mcd{a11 , . . . , a1n }, 0, . . . , 0) Ejemplo A = (12, −5) ∼ (−5, 12) ∼ (5, 12) ∼ (5, 2) ∼ (2, 5) ∼ (2, 1) ∼ (1, 2) ∼ (1, 0) = D. 1 0 0 1 0 1 −2 5 I2 = → → → ··· → =Q 0 1 1 0 −1 0 −5 12 −2 5 AQ = (12, −5) = (1, 0) = D −5 12 Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Ejemplo 5 0 1 1 2 3 1 0 0 A= ∼ ∼ 1 −2 3 5 0 1 5 −10 −14 1 0 0 1 0 0 1 0 0 ∼ ∼ ∼ 0 −10 −14 0 10 14 0 10 4 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 ∼ ∼ ∼ ∼ =D 0 4 10 0 4 2 0 2 4 0 2 0 1 0 0 1 0 1 I2 = → → ··· → =P 0 1 1 0 −1 5 1 0 0 1 0 0 1 0 −1 I3 = 0 1 0 → 0 −1 0 → · · · → 0 −3 7 = Q 0 0 1 0 0 1 0 −2 5 Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado A op.elem. fila −→ B ⇒ B = EA In PAQ = op.elem. fila −→ E 1 0 −1 1 0 0 0 1 5 0 1 0 −3 7 = =D 0 2 0 −1 5 1 −2 3 0 −2 5 Corolario Existen matrices enteras invertibles P y Q tales que PAQ = diag{d1 , . . . , dr , 0, . . . , 0}, di > 0 para 1 ≤ i ≤ r y di divide a di+1 para 1 ≤ i ≤ r − 1. Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Considere el sistema de ecuaciones lineales Ax = b, (∗) donde b = (b1 , . . . , bm )t es un vector entero y x = (x1 , . . . , xn )t . ¿Como se determinan las soluciones enteras de este sistema? Puesto que PAQ = D, el sistema Ax = b se re-escribe como (P −1 D)(Q −1 x) = b ⇒ Dy = Pb, donde Q −1 x = y Por tanto para determinar las soluciones enteras del sistema Ax = b es suficiente resolver el sistema Dy = Pb y hacer x = Qy. (∗∗) Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Ejemplo Determinar las soluciones enteras de la ecuación 12x1 − 5x2 = 7 Este sistema se puede escribir como Ax = b, donde A = (12, −5), x = (x1 , x2 )t , y b = (7) Recordar que PAQ = D, donde −2 5 P = (1), Q = , D = (1, 0). −5 12 Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado y Dy = (1, 0) 1 = Pb = (1)(7) = (7) y2 ∴ y1 = 7, y2 ∈ Z. De la ecuación x1 −2 5 y1 x= = Qy = x2 −5 12 y2 se obtiene que las soluciones enteras de la ecuación lineal 12x1 − 5x2 = 7 son: x1 = −14 + 5y2 x2 = −35 + 12y2 , y2 ∈ Z. Comprobando: Si y2 = 0, se tiene 12(−14) − 5(−35) = −168 + 175 = 7. Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Ejemplo Determinar las soluciones enteras del sistema 5x1 + x3 = 1 x1 − 2x2 + 3x3 = −11 Este sistema se puede escribir como Ax = b, donde 5 0 1 1 A= y b= 1 −2 3 −11 Recordar que PAQ = D, donde P= 1 0 −1 0 1 1 0 0 , Q = 0 −3 7 , D = −1 5 0 2 0 0 −2 5 Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado y1 1 0 0 0 1 1 −11 y2 = Pb = Dy = = 0 2 0 −1 5 −11 −56 y3 ∴ y1 = −11, y2 = −28, y3 ∈ Z. De la ecuación x1 1 0 −1 y1 x = x2 = Qy = 0 −3 7 y2 x3 0 −2 5 y3 se obtienen las soluciones enteras del sistema Ax = b: x1 = −11 − y3 x2 = 84 + 7y3 x3 = 56 + 5y3 , y3 ∈ Z. Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado ∆r (A) = mcd de los r -menores de A. Teorema (I. Heger) Sea b ∈ Zm un vector columna tal que rango(A) = rango([A b]). Entonces, el sistema Ax = b tiene una solución entera si y sólo si ∆r (A) = ∆r ([A b]). Corolario La ecuación lineal Diofantina a11 x1 + · · · + a1n xn = b1 tiene solución entera si y sólo si mcd(a11 , . . . , a1n ) divide a b1 . Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Teorema (Grupos abelianos finitamente generados) Sean a1 , . . . , am las filas de A y sean d1 , . . . , dr los factores invariantes de A. Entonces Zn /ha1 , . . . , am i ' Z/(d1 ) × · · · × Z/(dr ) × Zn−r ' Zd1 × · · · × Zdr × Zn−r Definición Sean L = ha1 , . . . , am i y M = Zn /L. La parte de torsión de M es T (M) := Zd1 × · · · × Zdr . La parte libre de M es F (M) := Zn−r . Observación T (M) = (0) ⇔ di = 1 para todo i ⇔ M es libre. F (M) = 0 ⇔ rango(M) = n ⇔ T (M) = M ⇔ M es grupo finito. Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Corolario ∆r (A) = |T (Zn /L)|. Demostración: |T (Zn /L)| = d1 · · · dr . Por otra parte PAQ = D y como ∆r (A) es invariante bajo operaciones elementales, obtenemos: ∆r (A) = ∆r (PAQ) = ∆r (D) = d1 · · · dr . Corolario Si n = m y det(A) 6= 0, entonces |Zn /L| = | det(A)|. 2 Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Teorema Si a1 , . . . , am son linealmente independientes, entonces (a) m!vol(conv(0, a1 , . . . , am )) = ∆m (A). (b) Si n = m, entonces m!vol(conv(0, a1 , . . . , am )) = |det(A)|. (c) Zn ∩ (R+ a1 + · · · + R+ am ) = Na1 + · · · + Nam ⇔ ∆m (A) = 1. Ejemplo (Comprobando (b)): Sea A la matrix identidad, i.e., a1 = (1, 0) y a2 = (0, 1). Entonces conv(0, a1 , a2 ) es un triángulo rectángulo con base y altura 1 y con area/volumen igual a 1/2. (Ilustrando (a) y (c)) Sea A = (12, −5) = (a1 ). Entonces conv(0, a1 ) es un segmento de linea en R2 (que tiene area 0) pero por (a) tenemos 1!vol(conv(0, a1 )) = ∆1 (A) = 1 y por (c) tenemos Z2 ∩ R+ (12, −5) = N(12, −5). Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Sea S = K [t1 , . . . , tn ] un anillo de polinomios con coeficientes en un campo K y sea I un ideal de S. Sea ` ∈ N, sea S≤` el K -espacio vectorial de polinomios de S de grado ≤ ` y sea I≤` = I ∩ S≤` . La función HI (`) = dimK (S≤` /I≤` ) es llamada la función de Hilbert de S/I. Esta función es central en álgebra conmutativa y en geometrı́a algebraica. Teorema Existe un único polinomio hI (x) = λd x d + · · · + λ1 x + λ0 con λi ∈ Q para todo i tal que hI (`) = HI (`) para ` 0. Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Definición El entero positivo (d!)λd es el grado de S/I y d es la dimensión de Krull de S/I. Ejemplo Sea S = Q[t1 ] y sea I = (0). Entonces: Q[t1 ]≤i = Q ⊕ Qt1 ⊕ · · · ⊕ Qt1i ⇒ HI (i) = i + 1 ∀ i ⇒ grado(S/I) = grado(S) = 1. Como ejercicio probar que grado(Q[t1 , . . . , tn ]) = 1. Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Ejemplo Sea S = Q[t1 ] y sea I = (t1d + · · · + t1 + 1). Denotamos las clase de t1i en S/I por t1i . t1d + · · · + t1 + 1 = 0 ⇒ t1i ∈ Q1 ⊕ Qt1 ⊕ · · · ⊕ Qt1d−1 para i ≥ d − 1 Para i ≥ d − 1, se tiene Q[t1 ]≤i /I≤i = Q1 ⊕ Qt1 ⊕ · · · ⊕ Qt1d−1 Por tanto dimQ (Q[t1 ]≤i /I≤i ) = d para i ≥ d − 1 ⇒ grado(S/I) = d. Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Un binomio de S es un polinomio de la forma t b − t c , donde b, c ∈ Nn , y donde, si b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Nn , definimos t b = t1b1 · · · tnbn ∈ S. Un ideal binomial es un ideal generado por binomios. Dado c = (ci ) ∈ Nn , podemos escribir c = c + − c − , donde c + y c − son vectores no-negativos. Definición Un subgrupo L de Zn es llamado un lattice (enrejado). Un ideal lattice es un ideal de la forma + − I(L) = ({t c − t c | c ∈ L}) ⊂ S para algún lattice L ⊂ Zn . Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Teorema Si D = kerZ (A) y v1 , . . . , vn son las columnas de A, entonces |T (Zm /hv1 , . . . , vn i)| grado(S/I(D)) = (rango(A)!)vol(conv(0, v2 − v1 , . . . , vn − v1 , −v1 )). Ejemplo 5 0 1 Sea A = . Las soluciones enteras del sistema Ax = 0 1 −2 3 son de la forma y3 (−1, 7, 5) con y3 ∈ Z ⇒ D = kerZ (A) = h(−1, 7, 5)i y I(D) = (t1 − t27 t35 ) Como D = diag(1, 2), tenemos |T (Z2 /hv1 , v2 , v3 i| = |Z2 /h(5, 1), (0, −2), (1, 3)i| = 2. Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Usando el programa Normaliz obtenemos: (rango(A)!)vol(conv(0, v2 − v1 , . . . , vn − v1 , −v1 )) = 2!vol(conv((0, 0), (−5, −3), (−4, 2), (−5, −1))) = 24. Por el teorema anterior obtenemos grado(S/I(D)) = 12. Lo cual es consistente con la noción intuitiva de grado pues el polinomio t1 − t27 t35 tiene grado 12. Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado Teorema Sea L un lattice en Zn . 1 Si rango(L) = n y K = Q, entonces grado(S/I(L)) = |Zn /L|. 2 Si rango(L) = n − 1 y c1 + · · · + cn = 0 para todo (c1 , . . . , cn ) ∈ L, entonces grado(S/I(L)) = |T (Zn /L)|. Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado FIN