Tema 3. Topolog´ıas finales: cociente Una situación análoga a la

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7. CONSTRUCCIÓN DE TOPOLOGÍAS
Tema 3.
Topologı́as finales: cociente
Una situación análoga a la del Tema 1 se plantea cuando ciertas operaciones
de conjuntos (como el cociente por una relación de equivalencia) tienen asociadas
aplicaciones de los conjuntos originales en el nuevo conjunto. Suponiendo ahora
que los conjuntos de partida sean espacios topológicos el objetivo es construir una
topologı́a en el conjunto resultante que haga las aplicaciones naturales continuas.
Obviamente, cuantos menos abiertos tenga el nuevo espacio topológico, más fácil
es que las aplicaciones sean continuas. En el caso extremo, si elegimos la topologı́a
indiscreta las aplicaciones son automáticamente continuas (Ejercicio 2.6(1)). Por
lo tanto se trata de encontrar la topologı́a “más grande” que haga que tales aplicaciones son continuas, es decir, que cualquier otra que tenga más abiertos hace
que alguna de las aplicaciones no sea continua.
Construcción 7.3.1 (Topologı́a cociente). Consideremos (X, T ) un e.t. y
R una relación de equivalencia en X (Definición A.3.4). El conjunto de clases de
equivalencia se denota por X/R. Podemos definir π : X → X/R la aplicación
que envı́a un elemento x ∈ X a su clase de equivalencia [x] en X/R. Para que
π : X → X/R sea continua, lo que tiene que pasar es que π −1 (U ) ∈ TX para todo
abierto de X/R. Por tanto si definimos
TR := {U ⊂ X/R | π −1 (U ) ∈ TX }
y probamos que TX/R es una topologı́a se tiene automáticamente que π : (X, TX ) →
(X/R, TR ) es continua: no sólo eso, sino que además, si T es otra topologı́a de
X/R que tenga más abiertos que TR , es decir, que TR $ T existe U ∈ T \ TR y
por tanto π −1 (U ) 6∈ TR (ya que U 6∈ TR ). Ası́ pues π : (X, TX ) → (X/R, T ) no
es continua. Por lo tanto hemos construido la topologı́a más grande que hace π
continua. A la topologı́a TR se le denomina topologı́a cociente de X por R.
Ejercicio 7.19. ♠ Demuestra que TR es efectivamente una topologı́a.
Observación 7.3.2. Sea X un conjunto y R una relación de equivalencia.
Denotemos π : X → X/R la aplicación cociente. Un subconjunto A ⊂ X se dice
saturado si es unión de clases de equivalencia, es decir, si A = π −1 (π(A)). Todas
las preimagenes por π son subconjuntos saturados. Si X es espacio topológico, la
topologı́a cociente en X/R otorga una importancia a los abiertos saturados de X.
Ejercicio 7.20. ♠ Demuestra que si V ⊂ X/R es entorno de y ∈ V entonces
π (V ) es entorno (saturado) de x ∈ X para todo x ∈ π −1 (y) (en cambio el
recı́proco no es cierto como se observa en el Ejercicio 7.21).
−1
TEMA 3. TOPOLOGÍAS FINALES: COCIENTE
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Propiedades 7.3.3. Sea (X, TX ) e.t, R relación de equivalencia y X/R el
espacio cociente. Entonces se tienen las siguientes propiedades:
1. La aplicación π : (X, TX ) → (X/R, TR ) es continua.
2. A ⊂ X/R es cerrado si y sólo si π −1 (A) ⊂ X es cerrado (saturado).
3. La aplicación π es abierta (resp. cerrada) si y sólo si π(π −1 (A)) es abierto
(resp. cerrado) para todo A ⊂ X/R abierto (resp. cerrado).
4. Si Y es un e.t. y f : X/R → Y una aplicación, entonces f es continua
si y sólo si f ◦ π : X → Y es continua.
Ejercicio 7.21. ♠ Sea X = {0, 1, 2, 3} y TX := {∅, X, {0, 1}, {2, 3}} una topologı́a sobre X. Consideremos la relación de equivalencia de congruencia módulo
3, es decir, xRy ⇔ ∃k ∈ Z tal que x − y = 3k. Demuestra que:
1. X/R = {0̄, 1̄, 2̄} es un espacio indiscreto.
2. V := {0̄, 1̄} no es entorno de 1̄.
3. π −1 (V ) = {0, 1, 3} es entorno de π −1 (1̄) = {1}.
Ejercicio 7.22. ♠ Encuentra ejemplos de cocientes para los cuales la proyección πR : X → X/R no sea abierta (resp. cerrada).
Ejemplo 7.3.4. Consideremos la recta real usual (R, Tu ) y el subconjunto
R
Z ⊂ R de los números enteros. La relación de equivalencia x ∼S y ⇔ (x − y) ∈ Z
define un conjunto cociente R/RS de clases de equivalencia que será denotado R/Z.
Sea πS : R → R/Z la proyección y consideremos la topologı́a cociente. Queremos
comprender la forma de R/Z.
Un modelo razonable del conjunto de clases de equivalencia, es decir, un sistema
transversal (Ejemplo A.3.10) es el intervalo [0, 1). Nos planteamos la siguiente
pregunta: ¿es la aplicación j : [0, 1) → R/Z, j(t) := πS (t) un homeomorfismo?
Es claro que es biyectiva y es continua, ya que es la composición de la inclusión
[0, 1) ,→ R con πS . Sin embargo, vamos a ver que j −1 no es continua; en efecto,
consideremos la sucesión
1
1
= πS −
xn := πS 1 −
n
n
n∈N
Es claro que xn converge a πS (0), pero j −1 (xn ) = 1− n1 ; es decir, la sucesión imagen
no es convergente. Por la Propiedad 5.4.8(5), j −1 no es continua.
Es fácil ver que πS es una aplicación abierta; en efecto, si si U ⊂ R es abierto,
S
es fácil ver que πS−1 (πS (U )) = n∈Z Un , donde Un := {x + n | x ∈ U }. Sea
τn : R → R, la aplicación traslación por n; observemos que τn es homeomorfismo y
que Un = τn (U ), por lo que πS−1 (πS (U )) es abierto en R, es decir, πS (U ) es abierto
en R/Z.
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7. CONSTRUCCIÓN DE TOPOLOGÍAS
Ejercicio 7.23. ♠ Como j es biyectiva, podemos describir los abiertos de R/Z
como imágenes por j de subconjuntos de U . Da una descripción.
Ejercicio 7.24. ♠ La aplicación πS no es cerrada.
Ejercicio 7.25. ♠ Sea S1 := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1}. Consideremos la
aplicación f : R → S1 , dada por f (t) := (cos(2πt), sen(2πt)). Demuestra que existe
una única aplicación g : R/Z → S1 tal que f = g◦πS y que g es un homeomorfismo.
Ejemplo 7.3.5. Consideremos en [0, 1], la relación de equivalencia dada por

x = y
o
x ∼ y ⇐⇒
x, y ∈ {0, 1}.
Todas las clases de equivalencia son unipuntuales salvo {0, 1} que contiene dos
elementos. Denotemos el conjunto cociente [0, 1]/{0=1} y la aplicación cociente
π{0=1} : [0, 1] → [0, 1]/{0=1}.
Ejercicio 7.26. ♠ Demuestra que π{0=1} no es abierta.
Ejercicio 7.27. ♠ Demuestra que [0, 1]/{0=1} es homeomorfo a S1 .
Ejercicio 7.28. ♠ Sea X e.t, R relación de equivalencia y πR : X → X/R
proyección sobre el espacio topológico cociente X/R. Encuentra ejemplos de cocientes para los cuales:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
πR (A) 6= πR (A),
Int(πR (A)) 6= πR (Int(A)),
Fr(πR (A)) 6= πR (Fr(A)),
Ext(πR (A)) 6= πR (Ext(A)),
Ais(πR (A)) 6= πR (Ais(A)),
En cambio, sea D conjunto denso en X, entonces πR (D) es denso en X/R.
A continuación estudiaremos qué relación existe entre las propiedades topológicas que posee X y las que posee su cociente X/R.
Proposición 7.3.6. Si X es separable, entonces X/R es separable.
En cambio el recı́proco no es cierto en general, ni siquiera aunque πR tenga
−1
fibras a lo sumo numerables (es decir, #πR
(y) ≤ ℵ0 ∀y ∈ X/R) como muestra el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 7.3.7. Consideremos R con la topologı́a T generada por la siguiente
subbase Σ := {[n, n + 1) ⊂ R | n ∈ Z} ∪ P([0, 1)). Consideremos RS la relación de
TEMA 3. TOPOLOGÍAS FINALES: COCIENTE
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equivalencia del Ejemplo 7.3.4:
R
x ∼S y ⇔ (x − y) ∈ Z.
Entonces R/RS es un espacio indiscreto ya que los únicos abiertos en T saturados
son el vacı́o y el total; por lo tanto es separable. Además πS−1 (y) = {y + n | n ∈ Z}
que es un conjunto numerable. En cambio (R, T ) no es separable, ya que si lo
fuera, como [0, 1) ∈ T entonces ([0, 1), T |[0,1) ) también deberı́a serlo, pero T |[0,1)
es la topologı́a discreta y #[0, 1) > ℵ0 .
Proposición 7.3.8. Si X/R es separable, πR es abierta y #π −1 (y) ≤ ℵ0
∀y ∈ X/R, entonces X es separable.
El Primer Axioma de Numerabilidad NO se conserva en espacios cociente.
Veamos un ejemplo de topologı́a cociente X/R no ian que provenga de un espacio
topológico X que sı́ sea ian.
Ejemplo 7.3.9. Tomemos X = R y la relación de equivalencia

x = y
R
x∼y⇔
x, y ∈ Z.
Vamos a demostrar que no existen bases de entornos numerables del punto
[0] = Z (la clase del 0 es el conjunto de los números enteros, escribiremos [0] cuando
nos refiramos al punto de R/R y Z cuando nos refiramos a [0] como subconjunto
de R). Supongamos que B0 es una base de entornos de [0] de cardinal a lo sumo
numerable. En tal caso, podemos ordenar sus elementos B0 = {Vn | n ∈ N}.
−1
−1
Como Vn es entorno de [0] entonces Z = πR
([0]) ⊂ Ṽn = πR
(Vn ). Obsérvese que
Ṽn es entorno de m para todo m ∈ Z (Ejercicio 7.20). Ası́ pues, Ṽn es entorno
de n en R, y por tanto existe xn ∈ Ṽn tal que 0 < d(n, xn ) < 21 . Si tomamos
−1
U = R \ {xn }n∈N ∈ Tu tenemos que V := πR (U ) es abierto, ya que πR
(V ) = U y
U es abierto. Como xn ∈ Ṽn \ U , tenemos que Ṽn * U , es decir, Vn * V , ∀n ∈ N.
Por tanto B0 no puede ser base de entornos.
En cambio, si πR es abierta, el primer axioma de numerabilidad se conserva.
Proposición 7.3.10. Si X es ian y πR : X → X/R es abierta, entonces X/R
es ian.
Observación 7.3.11. El Ejemplo 7.3.9 también prueba que iian no se conserva por cocientes ya que R es iian (Propiedad 5.3.3(4)) y R/R no es ian (Ejemplo 7.3.9) y por tanto no es iian (Ejemplo 5.3.3(2)).
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7. CONSTRUCCIÓN DE TOPOLOGÍAS
En cambio, de nuevo si la proyección cociente πR es abierta, el segundo Axioma
de numerabilidad sı́ se conserva por cocientes.
Proposición 7.3.12. Si X es iian y πR : X → X/R es abierta, entonces
X/R es iian.
En otras palabras, hemos visto que la siguiente tabla es cierta.
Separable
X ⇒ X/R
X
ian
iian
πR abierta πR abierta
Ejemplo 7.3.13. Por el Ejemplo 7.3.5 y los Ejercicios 7.26 y 7.27 sabemos que
la condición la proyección cociente es abierta no es condición necesaria (aunque
sı́ suficiente) para que los axiomas de numerabilidad pasen al cociente, ya que S1
es ian y iian.
Ejemplo 7.3.14. Las coordenadas polares suponen un ejemplo de uso de topologı́a cociente. En R>0 × R, definimos la relación de equivalencia
(t1 , ϑ1 ) ∼ (t2 , ϑ2 ) ⇐⇒ t1 = t2 y ϑ2 − ϑ1 ∈ 2πZ.
Es fácil ver que R>0 × R/ ∼ es homeomorfo a R2 \ {(0, 0)}.
Ejercicio 7.29. ♠ Consideremos el espacio (Rn+1 )∗ = Rn+1 \ {0} usual y
R
en él definida la siguiente relación de equivalencia: x ∼P y ⇔ x = λy para cierto
λ ∈ R∗ . El espacio cociente (Rn+1 )∗ /RP con la topologı́a cociente se conoce con
el nombre de espacio proyectivo real de dimensión n y se denota por RP n ; la
aplicación cociente se denota πP . Demuestra que RP1 es homeomorfo a S1 .
Ejemplo 7.3.15. Consideremos el espacio R × R usual y en él definida la
siguiente relación de equivalencia:

x − x 0 ∈ Z
R
(x, y) ∼T (x0 , y 0 ) ⇔
.
y − y 0 ∈ Z
Denotemos el espacio cociente R2 /RT por T1 . Por otra parte podemos definir
T2 := S1 × S1 con la topologı́a producto. Se demuestra fácilmente que T1 ∼
= T2 .
2
Este espacio (que podemos ver como cociente de R o como producto de espacios)
recibe el nombre de toro y se denota por T.
Ejemplo 7.3.16. Consideremos el espacio R × R usual y en él definida la
siguiente relación de equivalencia:

x − x 0 ∈ Z
RM
0
0
.
(x, y) ∼ (x , y ) ⇔
y = (−1)x−x0 y 0
TEMA 3. TOPOLOGÍAS FINALES: COCIENTE
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Denotemos el espacio cociente R2 /RM por M. Este espacio recibe el nombre de
banda de Möbius.
Ejemplo 7.3.17. Análogamente al ejercicio anterior definamos la siguiente
relación de equivalencia:

x − x0 ∈ Z
R
(x, y) ∼K (x0 , y 0 ) ⇔
.
y − (−1)x−x0 y 0 ∈ Z
Denotemos el espacio cociente R2 /RK por K. A este espacio se le conoce como la
botella de Klein.