Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia F. Javier Cara ETSII-UPM Curso 2012-2013 1 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Contenido Función de densidad espectral Definición Relación con la transformada de Fourier Propiedades Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Funcion de densidad espectral cruzada Estimacion de la funcion de densidad espectral Densidad espectral de algunos procesos estocásticos Generación de realizaciones artificiales 2 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Función de densidad espectral ◮ ◮ ◮ ◮ ◮ En el dominio del tiempo, un proceso estocástico queda caracterizado si conocemos la función de medias µX (t) y la función de autocorrelación RX (τ ) (o la función de autocovarianzas). Los procesos estocásticos estacionarios tienen propiedades muy importantes cuando se analizan en el dominio de la frecuencia. Un proceso estocástico queda caracterizado en el dominio de la frecuencia mediante la función de densidad espectral, que es la transformada de Fourier de RX (τ ). La descripción en el dominio de la frecuencia de una señal determinista x(t) viene dado por la transformada de Fourier X (ω) (y por tanto, también por el espectro, |X (ω)|2 ). Sin embargo, no siempre es posible calcular la transformada de Fourier de una señal aleatoria. La función de densidad espectral si se puede calcular. 3 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Para que una función f (t) tenga transformada de Fourier se tiene que cumplir 1. La función es absolutamente integrable Z +∞ |f (t)|dt < ∞ −∞ 2. Cualquier discontinuidad de f (t) es finita. Sea {X (t)} un proceso estocástico. En principio, todos los procesos estocásticos que vamos a considerar no tienen discontinuidades infinitas. Para que se cumpla la primera propiedad se tiene que dar que X (t) → 0 cuando t → −∞ y t → ∞. Esto no pasa en los procesos estocáticos! Por tanto, no podemos calcular la transformada de Fourier de X (t). Vamos a calcular la transformada de Fourier de la función de autocorrelación, que es la que nos sirve para caracterizar el proceso estocástico en el dominio del tiempo. 4 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Para procesos estacionarios, la función de autocorrelación se puede poner como: RX (τ ) = E (X (t)X (t + τ )) Los procesos estocásticos estacionarios dejan de estar correlacionados para valores muy grandes de τ , esto es lim RX (τ ) = E (X (t))E (X (t + τ )) = µ2X τ →∞ Si la media del proceso es distinta de cero, se le resta la media y por tanto cumple que lim RX (τ ) = 0 τ →∞ Por tanto Z ∞ |RX (τ )|dτ < ∞ −∞ Luego la función de autocorrelación de los procesos estocásticos estacionarios (con media cero) tiene transformada de Fourier. 5 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Definición Definición Sea {X (t)} un proceso estocástico estacionario. La función de densidad espectral de {X (t)}, que se escribe como SX (ω), se define como la transformada de Fourier de la función de autocorrelación: Z ∞ 1 SX (ω) = RX (τ )e −iωτ dτ 2π −∞ Z ∞ RX (τ ) = SX (ω)e iωτ dω −∞ Las ecuaciones anteriores se conocen también como las ecuaciones de Wiener-Kinchin en honor a los matemáticos Norbert Wiener y Aleksandr Khinchin. Como la función de autocorrelación caracteriza al proceso estocástico en el dominio del tiempo, la función de densidad espectral caracteriza al proceso en el dominio de la frecuencia. 6 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Relación con la transformada de Fourier Relación con la transformada de Fourier de X (t) ◮ Si estamos trabajando con el proceso estocático {X (t)} y con la Transformada de Fourier (T.F.), sería deseable que la función de densidad espectral estuviese definida a partir de la T.F. de {X (t)} Z ∞ 1 T .F . X (t)e −iωt dt X (t) ⇐⇒ X (ω) = 2π −∞ ◮ Sin embargo, si el proceso estocástico es estacionario, R ∞teóricamente X (t) se extiende desde −∞ hasta +∞, y por tanto −∞ |X (t)|dt no es finita, por lo que en principio no se puede hacer la T.F. de X (t). Para resolver este problema vamos a considerar X (t) en el intervalo (0, T ), y hacemos cero en el resto. Ahora si está definida la T.F. Z ∞ Z T 1 X (t)e −iωt dt = X (t)e −i2πft dt X (f , T ) = 2π −∞ 0 ◮ ◮ Vamos a trabajar con f en lugar de con ω para evitar el factor 1 2π . 7 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Relación con la transformada de Fourier ◮ La media de |X (f , T )|2 para cada frecuencia f se calcula como E (|X (f , T )|2 ) = E (X (f , T )X ∗ (f , T )) Z T Z =E X (t)e −i2πft dt 0 =E Z T 0 ◮ Z T X (s)e +i2πfs T X (t)X (s)e 0 ds 0 −i2πf (t−s) ds dt ! ! La región de integración se muestra en la figura siguiente (a). Si definimos τ = t − s, la nueva área de integración es (b). ! Z Z T t X (t)X (t − τ )e −i2πf τ dτ dt E (|X (f , T )|2 ) = E 0 t−T 8 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Relación con la transformada de Fourier ◮ Si intercambiamos el orden de integración y tomamos la esperanza dentro: Z TZ t 2 E (|X (f , T )| ) = E (X (t)X (t − τ )) e −i2πf τ dτ dt 0 = Z 0 ◮ T t−T t Z RX (τ )e −i2πf τ dτ dt t−T Como el integrando no depende de t, integramos primero en t y luego en τ . Hay dos regiones de integración, como se observa en (c): para τ ∈ (−T , 0) ⇒ t ∈ (0, τ + T ); τ ∈ (0, T ) ⇒ t ∈ (τ, T ). 9 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Relación con la transformada de Fourier E (|X (f , T )|2 ) = Z Z 0 −i2πf τ RX (τ )e = 0 −T = = Z t+τ dt dτ + 0 −T Z T RX (τ )e −i2πf τ Z (τ + T )dτ + 0 T RX (τ )e −i2πf τ Z T dt τ ! dτ T Z RX (τ )e −i2πf τ (τ − T )dτ 0 RX (τ )e −i2πf τ (T − |τ |)dτ −T ◮ ◮ La integral anterior va a infinito cuando T → ∞. Dividimos por T para que esto no ocurra: Z T 1 |τ | E (|X (f , T )|2 ) = RX (τ )e −i2πf τ 1 − dτ T T −T Para T grande 1 E (|X (f , T )|2 ) = lim T →∞ T Z ∞ −∞ RX (τ )e −i2πf τ dτ = SX (f ) 10 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Relación con la transformada de Fourier Teorema Sea {X (t)} un proceso estocástico estacionario. La función de densidad espectral de {X (t)} se puede expresar como: 1 E (|X (f , T )|2 ) T 1 SX (ω) = lim E (|X (ω, T )|2 ) T →∞ 2πT SX (f ) = lim T →∞ ◮ ◮ A grandes rasgos, lo que quiere decir el teorema anterior es que, para un proceso estocástico estacionario, el espectro de amplitudes del proceso se calcula como la media de los espectros de amplitudes de las diferentes realizaciones y se denomina función de densidad espectral (como una señal aleatoria no tiene transformada de Fourier hay que dividir por T y calcular el límite). El espectro de amplitudes también se conoce como periodograma. Pero el periodograma se suele representar en función del periodo, no de la frecuencia (T = 1/f ). 11 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Relación con la transformada de Fourier Ya vimos un resultado similar en el tema de Fourier: la Transformada de Fourier de la correlación de dos funciones es igual al producto de la conjugada de la Transformada de Fourier de la primera función y la Transformada de Fourier de la segunda función. Z ∞ TF y (t) = x(τ )h(t + τ )dτ ⇐⇒ Y (f ) = H(f )X ∗ (f ) −∞ Cuando h(t) = x(t), la correlación se conoce como autocorrelación de x(t). Entonces se tiene Z ∞ TF y (t) = x(τ )x(t + τ )dτ ⇐⇒ Y (f ) = X (f )X ∗ (f ) = |X (f )|2 −∞ La correlación anterior es entre dos funciones deterministas. En el caso de funciones aleatorias, tenemos que tomar esperanzas y dividir por T lim T →∞ 1 1 E (Y (f )) = lim E (|X (f )|2 ) = Sx (f ) T →∞ T T 12 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Propiedades Propiedades ◮ ◮ ◮ ◮ La función de densidad espectral refleja el contenido en frecuencias del proceso estocástico, como se desprende de la relación entre la función de densidad espectral y la transformada de Fourier. Por tanto, dibujando la función de densidad espectral podemos observar qué frecuencias son las más importantes. Simetría SX (−ω) = SX (ω) Se basa en el hecho de que |X (ω, T )| es simetrico. La función de densidad espectral es positiva para todo ω. El área definida por la función de densidad espectral es igual al valor cuadrático medio del proceso estocástico (que es constante por definición de estacionaridad): Z ∞ Z ∞ RX (0) = E (X 2 (t)) = SX (ω)e 0 dω = SX (ω)dω −∞ −∞ 13 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Propiedades ◮ Luego el valor cuadrático medio Z ∞ ψX2 = SX (ω)dω −∞ ◮ Como la media del proceso estocástico es cero: Z ∞ Z σX2 = SX (ω)dω y de igual manera σX2 = −∞ ◮ ◮ ∞ SX (f )df −∞ es decir, el área bajo la función de densidad espectral (ya sea en rad/s o Hz) es igual a la varianza del proceso. Estas relaciones son importantísimas. Por ejemplo, permiten comprobar si está bien calculada la función de densidad espectral. Tambien se utilizan para conocer las unidades de SX (ω). * Si U son las unidades de X (t) * las unidades de SX (ω) son U 2 /(rad /s); * las unidades de SX (f ) son U 2 /(Hz). Por ejemplo, si estamos trabajando con aceleraciones, la funcion de densidad espectral se mide en (m/s 2 )2 /(rad/s) o en (m/s 2 )2 /Hz. 14 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Propiedades ◮ Para cambiar de unidades de radianes por segundo a hertzios: SX (f ) = 2πSX (ω) En efecto, ω = 2πf ⇒ dω = 2πdf Z ∞ SX (f )df σX2 = −∞ Z Z ∞ SX (ω)dω ⇒ σX2 = σX2 = −∞ ◮ ∞ SX (ω)2πdf −∞ Si las frecuencias negativas son suprimidas, la función de densidad espectral tiene que multiplicarse por dos para que se siga conservando el área. 2SX (ω) ω≥0 GX (ω) = 0 ω<0 15 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Propiedades Se definen por tanto 4 posibles representaciones de la densidad espectral (a) es conocido como densidad espectral biliteral (two-sided). (b) es conocido como densidad espectral uniliteral (one-sided). 16 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Propiedades Función de densidad espectral de potencia (PSD) ◮ ◮ Antes de la llegada de los ordenadores, los espectros se calculaban simulando las funciones mediante señales eléctricas. La energía de una señal x(t) se define como: Z ∞ E= |x(t)|2 dt −∞ ◮ ◮ La potencia media de una señal x(t) entre 0 y T se define como: Z 1 T |x(t)|2 dt P = lim T →∞ T 0 Las definiciones anteriores provienen de las señales eléctricas: si v (t), i(t) y R son potencial, intensidad y resistencia respectivamente: v (t)i(t) = i 2 (t) ⇒ potencia instantánea por ohmio R La energía total y la potencia media disipadas en la resistencia son: Z ∞ Z 1 T 2 E = |i 2 (t)|dt (Julios), P = lim |i (t)|dt (Watios) T →∞ T 0 −∞ p(t) = 17 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Función de densidad espectral Propiedades ◮ Se definen los siguientes espectros: 1. Espectro de energía. Sea una señal x(t) con energia finita, esto es, Z ∞ E = |x(t)|2 dt < ∞ −∞ Por tanto, se cumple la condición fundamental para que exista la transformada de Fourier. El espectro se calcula como: ΘX (ω) = 1 |X (ω)|2 2π Se conoce también como densidad espectral de energía. 2. Espectro de potencia. Si la señal x(t) no tiene energía finita no se puede calcular su transformada de Fourier. Para calcular el espectro cogemos la señal entre 0 y T y: ΦX (ω) = lim T →∞ 1 |X (ω, T )|2 2πT Debido a la semejanza de esta fórmula con la densidad espectral, a SX (ω) también se conoce como densidad espectral de potencia. 18 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales En en dominio del tiempo hemos estudiado los siguientes modelos estocásticos lineales: ◮ Proceso de Ruido blanco. ◮ Proceso MA(q). ◮ Proceso AR(p). Para estos procesos, las ecuaciones de Wiener-Kinchin se suelen escribir como N/2 X S(f ) = γ(h)e −i2πfh , −1/2 ≤ f ≤ 1/2 h=−N/2+1 γ(h) = Z 1/2 S(f )e i2πfh df , h = 0, ±1, ±2, . . . −1/2 Es decir, transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT): los datos son discretos, γ(h) = {γ(− N2 + 1), · · · , γ(−1), γ(0), γ(1), γ( N2 )}, pero la funcion de densidad espectral se define continua. 19 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Ya vimos que la DTFT se definía (para datos con tiempo normalizado, es decir, ∆t = 1) X (ω) = N−1 X xk e −iωk k=0 xk = 1 2π Z X (ω)e iωk dω 2π En estas fórmulas, k = 0, 1, . . . , N − 1, y ω está definida en cualquier intervalo de longitud 2π ⇒ [0, 2π], [− π2 , π2 ]. Si utilizamos frecuencias lineales, ω = 2πf , ⇒ dω = 2πdf , [− π2 , π2 ] −→ [− 21 , 21 ] (el intervalo de integración es cualquier intervalo de longitud uno), luego X (f ) = N−1 X xk e −i2πfk k=0 xk = Z 1 2 − 21 X (f )e i2πfk df 20 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Densidad espectral del ruido blanco El ruido blanco se define como wt ∼ N(0, σw2 ) Su función de autocovarianza es γw (h) = Luego Sw (f ) = N/2 X σw2 si h = 0 0 si h 6= 0 γw (h)e −i2πfh = σw2 , −1/2 ≤ f ≤ 1/2 h=−N/2+1 Si trabajamos sólo con frecuencias positivas Gw (f ) = 2σw2 , 0 ≤ f ≤ 1/2 Luego todas las frecuencias tienen la misma potencia o son igualmente importantes (igual que la luz blanca). El ruido blanco excita todas las frecuencias por igual. 21 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Pero hemos visto que la densidad espectral también se escribe como SW (f ) = lim T →∞ 1 1 E (|W (f , T )|2 ) = lim E (W (f , T )W (f , T )∗ ) T →∞ T T dónde W (f , T ) quiere decir la transformada de Fourier de una señal de ruido blanco wk de longitud T (si la señal se extiende de −∞ hasta +∞ no tiene transformada de Fourier!). Pero hemos visto que Sw (f ) = σw2 1 E (W (f , T )W (f , T )∗ ) = σw2 T →∞ T Esta propiedad la vamos a utilizar en los apartados siguientes. ⇒ lim 22 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Densidad espectral de un proceso MA(q) La ecuación de un proceso estocástico MA(q) es: xt = wt + θ1 wt−1 + θ2 wt−2 + · · · + θq wt−q , wt ∼ N(0, σw2 ) La función de densidad espectral de un proceso MA(q) es Sx (f ) = σw2 |1+θ1 e −i2πf +θ2 e −i4πf +· · ·+θq e −i2πqf |2 , −1/2 ≤ f ≤ 1/2 Gx (f ) = 2σw2 |1 + θ1 e −i2πf + θ2 e −i4πf + · · · + θq e −i2πqf |2 , 0 ≤ f ≤ 1/2 23 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Para poder probar la fórmula anterior, hay que utilizar las siguientes propiedades de la transformada de Fourier: ◮ Linealidad T .F . zk = axk + byk ⇐⇒ Z (f ) = aX (f ) + bY (f ) ◮ Despalzamiento en el tiempo (time shifting) T .F . xk ⇐⇒ X (f ) T .F . xk−m ⇐⇒ e −i2πfm X (f ) es decir, si la T.F. de xk es X (f ), entonces la transformada de Fourier de xk−m es e −i2πfm X (f ). 24 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales MA(q) ⇒ xk = wk + θ1 wk−1 + θ2 wk−2 + · · · + θq wk−q La transformada de Fourier de xk es X (f , T ) = W (f , T ) + θ1 e −i2πf W (f , T ) + · · · + θq e −i2πqf W (f , T ) X (f , T ) = 1 + θ1 e −i2πf + θ2 e −i4πf + · · · + θq e −i2πqf W (f , T ) y el complejo conjugado X ∗ (f , T ) = 1 + θ1 e −i2πf + θ2 e −i4πf + · · · + θq e −i2πqf Por tanto ∗ W ∗ (f , T ) 2 X (f , T )X ∗ (f , T ) = 1 + θ1 e −i2πf + · · · + θq e −i2πqf W (f , T )W ∗ (f , T ) Tomando esperanzas y el limite 1 Sx (f ) = lim E [X (f , T )X ∗ (f , T )] = T →∞ T 2 1 E [W (f , T )W ∗ (f , T )] = 1 + θ1 e −i2πf + θ2 e −i4πf + · · · + θq e −i2πqf lim T →∞ T 2 2 = 1 + θ1 e −i2πf + θ2 e −i4πf + · · · + θq e −i2πqf σW 25 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Densidad espectral de un proceso AR(p) La ecuación de un proceso estocástico AR(p) es: xt = φ1 xt−1 + φ2 xt−2 + · · · + φp xt−p + wt , wt ∼ N(0, σw2 ) La función de densidad espectral de un proceso AR(p) es Sx (f ) = σw2 |1 − φ1 e −i2πf − φ2 e −i4πf − · · · − φq e −i2πpf |2 Gx (f ) = −1/2 ≤ f ≤ 1/2 , 2σw2 |1 − φ1 e −i2πf − φ2 e −i4πf − · · · − φq e −i2πpf |2 , 0 ≤ f ≤ 1/2 26 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales AR(p) ⇒ xk = φ1 xk−1 + φ2 xk−2 + · · · + φp xk−p + wk La tranformada de Fourier de xk es X (f , T ) = φ1 e −i2πf X (f , T ) + · · · + φp e −i2πpf X (f , T ) + W (f , T ) W (f , T ) (1 − φ1 e −i2πf − φ2 e −i4πf − · · · − φq e −i2πqf ) y el complejo conjugado X (f , T ) = X ∗ (f , T ) = (1 − φ1 e −i2πf W ∗ (f , T ) ∗ − φ2 e −i4πf − · · · − φq e −i2πqf ) W (f , T )W ∗ (f , T ) X (f , T )X ∗ (f , T ) = |1 − φ1 e −i2πf − φ2 e −i4πf − · · · − φq e −i2πqf | Tomando esperanzas y el limite 2 limT →∞ T1 E [W (f , T )W ∗ (f , T )] 1 E [X (f , T )X ∗ (f , T )] = 2 T →∞ T |1 − φ1 e −i2πf − · · · − φq e −i2πqf | Sx (f ) = lim = 2 σW |1 − φ1 e −i2πf − φ2 e −i4πf − · · · − φq e −i2πqf | 2 27 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Ejemplo Dibujar la función de densidad espectral del proceso MA(1) definido por xt = wt + wt−1 , wt ∼ N(0, σw2 = 1) Para un proceso MA(1) xt = wt + θ1 wt−1 = (1 + θ1 B)wt = θ(B)wt con función de densidad espectral Gx (f ) = 2σw2 |1 + θ1 e −i2πf |2 = 2σw2 (1 + θ1 e −i2πf )(1 + θ1 e i2πf ) = 2σw2 (1 + θ12 + θ1 (e i2πf + e −i2πf )) = 2σw2 (1 + θ12 + 2θ1 cos(2πf )), 0 ≤ f ≤ 1/2 28 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Aplicacion. Funcion de densidad espectral de modelos estocásticos lineales Funcion de densidad espectral de xt = wt + wt−1 10 Sx(f) [U2x /Hz] 8 6 4 2 0 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 f (Hz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 Funcion de densidad espectral unilateral 10 Gx(f) [U2x /Hz] 8 6 4 2 0 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 f (Hz) 0.1 0.2 29 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Funcion de densidad espectral cruzada Funcion de densidad espectral cruzada Sea X (t) un proceso estocastico estacionario. La función de autocorrelación se definió como RXX (τ ) = E [X (t)X (t + τ )] Sean X (t), Y (t) dos procesos estocasticos estacionarios. Se define la función de correlación cruzada como RXY (τ ) = E [X (t)Y (t + τ )] RYX (τ ) = E [X (t + τ )Y (t)] La función de densidad espectral cruzada se define como la transformada de Fourier de la función de correlación cruzada. Por tanto hay dos de densidad espectral cruzada Z ∞ 1 SXY (ω) = RXY (τ )e −iωτ dτ 2π −∞ Z ∞ 1 RYX (τ )e −iωτ dτ SYX (ω) = 2π −∞ 30 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Funcion de densidad espectral cruzada Propiedades ◮ Las funciones de correlación se obtienen haciendo la transformada de Fourier inversa Z ∞ RXY (τ ) = SXY (ω)e iωτ dω −∞ Z ∞ SYX (ω)e iωτ dω RYX (τ ) = −∞ ◮ ◮ Las funciones de densidad espectral cruzada toman valores complejos. Si X (t) e Y (t) son procesos estasticos con valores reales ∗ SXY (ω) = SYX (ω) ◮ Sea Z (T ) suma de dos procesos estocasticos Z (t) = aX (t) + bY (t) Entonces se cumple SZZ (ω) = a2 SXX (ω) + abSXY (ω) + abSYX (ω) + b 2 SYY (ω) 31 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral Estimación no paramétrica. Método general. La estimacion puede ser: ◮ No paramétrica. ◮ Paramétrica. Se ajusta un modelo matemático a los datos. Para definir la estimación no paramétrica, vamos a utilizar la definición de la función de densidad espectral a partir de la T.F.: 1 E (|X (ω, T )|2 ) T →∞ 2πT SX (ω) = lim Si se tienen M realizaciones del proceso estocástico. ŜX (ω, T , M) = M 1 1 X |Xm (ω, T )|2 2πT M m=1 Evidentemente, esta estimación será mejor si disponemos de muchas realizaciones (M >>). En general, la longitud de las realizaciones T debe ser suficiente para que la función de autocorrelación converga a cero. 32 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral Pero tenemos que adaptar las fórmulas anteriores a señales discretas. Sean N valores discretos de X(t), ⇒ xk = x(k∆t), k = 0, 1, . . . , N − 1 La T.F. de xk ⇒ Xn = N−1 X xk e −i2πnk/N , n = 0, 1, . . . , N − 1 n=0 El cuadrado del módulo de Xn es N−1 X |Xn |2 = Xn Xn∗ = xj e −i2πjn/N j=0 = N−1 X N−1 X N−1 X xm e i2πmn/N m=0 xj xm e −i2π(j−m)n/N , ! n = 0, 1, . . . , N − 1 j=0 m=0 El valor esperado de esta cantidad es: X N−1 X N−1 RX ((j − m)∆t)e −i2π(j−m)n/N , E |Xn |2 = n = 0, 1, . . . , N − 1 j=0 m=0 La doble suma se simplifica considerando el cambio de variables r = j − m, j =s 33 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral E |Xn | 2 = 0 X (N−1)+r r =−(N−1) X s=0 + N−1 X N−1 X r =1 s=r n = 0, 1, . . . , N − 1 RX (r ∆t)e −i2πrn/N , La suma correspondiente a s tiene que realizarse primero porque está expresada en términos de r . La suma es N−1 X |r | RX (r ∆t)e −i2πrn/N 1− E |Xn |2 = N N r =−(N−1) Para N suficientemente grandes E |Xn |2 = N N = ∆t N−1 X RX (r ∆t)e −i2πrn/N r =−(N−1) N−1 X r =−(N−1) RX (r ∆t)e −i2πrn/N ∆t , n = 0, 1, . . . , N − 1 34 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral La suma en la segunda expresión es una aproximación a la función de densidad espectral: Z ∞ SX (f ) = RX (τ )e −i2πf τ dτ −∞ luego Despejando N SX (fn ), E |Xn |2 = ∆t SX (fn ) = y en rad/s SX (ωn ) = ∆t E |Xn |2 , N ∆t E |Xn |2 , 2πN n = 0, 1, . . . , N − 1 n = 0, 1, . . . , N − 1 n = 0, 1, . . . , N − 1 35 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral Basándonos en estas fórmulas, la función de densidad espectral discreta se puede estimar como ∆t Ê |Xn |2 , n = 0, 1, . . . , N − 1 ŜX (fn ) = N Si tenemos M realizaciones del proceso estocástico, la estimación de la esperanza es M 1 X Ê |Xn |2 = |Xmn |2 , M m=1 n = 0, 1, . . . , N − 1 por lo que finalmente ŜX (fn ) = M ∆t X |Xmn |2 , MN m=1 n = 0, 1, . . . , N − 1 y la función de densidad espectral unilateral ĜX (fn ) = M 2∆t X |Xmn |2 , MN m=1 n = 0, 1, . . . , N 2 36 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral Estimación por máxima verosimilitud ◮ Si estimamos por máxima verosimilitud, el estimador obtenido es: ŜX (fn ) = ◮ M ∆t X |Xmn |2 , NM m=1 n = 0, 1, . . . , N − 1 es decir, se obtiene el mismo resultado. Pero lo importante de este método es que podemos calcular la media y la varianza del estimador La media del estimador de la función de densidad espectral es: 2k ∞ X ∆f 1 (2k) SX (fn ) E ŜX (fn ) = SX (fn ) + (2k + 1)(2k)! 2 k=1 (∆f )2 ′′ S (fn ), n = 0, 1, . . . , N − 1 24 X La varianza del estimador de la función de densidad espectral es: (S (f ))2 X n Var ŜX (fn ) = , n = 0, 1, . . . , N − 1 M es decir, cuanto mayor es SX (fn ), mayor es la varianza del estimador. ≈ SX (fn ) + ◮ 37 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral Aspectos prácticos de la estimación de la densidad espect. ◮ ◮ Las fórmulas descritas en los apartados anteriores se utilizan para estimar la función de densidad espectral de un proceso estocástico estacionario. Sin embargo, a menudo sólo disponemos de una realización y tenemos que considerar el proceso estocástico como ergódico. La estimación en este caso sería: ŜX (fn ) = ∆t |Xn |2 , N n = 0, 1, . . . , N − 1 Esta estimación es muy mala. Por ejemplo, su varianza es el cuadrado de la función estimada: 2 Var ŜX (fn ) = (SX (fn )) ◮ Para mejorar la estimación considerando sólo una realización aplicamos windowing. 38 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral ◮ ◮ Windowing consiste en tomar segmentos de la señal, calcular el espectro de cada segmento y luego hacer la media. Al dividir la señal en segmentos, disminuye la resolución en frecuencias del espectro, es decir, la separación entre las frecuencias aumenta. Si la señal original está muestreada con ∆t y tiene N0 puntos, y cada segmento tiene N1 puntos: * Señal original: Frecuencia de Nyquist: fnq0 = 1/(2∆t); frecuencias: fn0 = n/(N0 ∆t) ⇒ ∆fn0 = 1/(N0 ∆t). * Segmentos: Frecuencia de Nyquist: fnq1 = 1/(2∆t); frecuencias: fn1 = n/(N1 ∆t) ⇒ ∆fn1 = 1/(N1 ∆t). * Por tanto, fnq0 = fnq1 , ∆fn0 < ∆fn1 . ◮ ◮ ◮ ◮ Los segmentos se obtienen multiplicando la señal original por una función de peso o ventana. Cada ventana introduce un error en la DFT denominado leakage. Ventanas habituales: rectangular, Hamming, Hanning, Barlett, Chebyshev,... Para aumentar el número de medias a la hora de estimar E |Xn |2 se utiliza el solapado de las ventanas ⇒ Método de Welch. 39 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral Estimación paramétrica ◮ ◮ Los métodos no paramétricos no imponen ninguna condición a las señales, salvo que sean estacionarias. Si asumimos que el proceso estocástico se ajusta a un modelo matemático entonces tenemos estimación paramétrica. Nosotros sólo vamos a estudiar el modelo AR(p). Si los datos se ajustan a un modelo AR(p) xt = φ1 xt−1 + φ2 xt−2 + · · · + φp xt−p + wt , wt ∼ N(0, σw2 ) entonces el espectro será Gx (f ) = ◮ |1 − φ1 e −i 2πf − φ2 2σw2 −i e 4πf − · · · − φq e −i 2πpf |2 , 0 ≤ f ≤ 1/2 Por lo tanto, si estimamos el modelo AR(p) a partir de los datos xt = φ̂1 xt−1 + φ̂2 xt−2 + · · · + φ̂p xt−p + ŵt , ŵt ∼ N(0, σ̂w2 ) la estimación de la función de densidad espectral será Ĝx (f ) = 2σ̂w2 |1 − φ̂1 e −i2πf − φ̂2 e −i4πf − · · · − φ̂q e −i2πpf |2 , 0 ≤ f ≤ 1/2 40 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral Ejemplo Sea el proceso MA(1) definido por xt = wt + wt−1 , wt ∼ N(0, σw2 = 1) t = 1, 2, 3, . . . , N, N = 10000, ∆t = 0,1 s Estimar su función de densidad espectral. Ya conocíamos su función de densidad espectral teórica Gx (f ) = 2σw2 (1 + θ12 + 2θ1 cos(2πf )), 0 ≤ f ≤ 1/2 Como conocemos ∆t, lo ideal es que la funcion de densidad espectral esté definida en 0 ≤ f ≤ fnq = 1/(2∆t) 0 ≤ f ≤ 1/2 ⇒ 0 ≤ f ≤ fnq = 1/(2∆t) Luego hemos dividido las frecuencias por ∆t. Como el área bajo la función de densidad espectral se tiene que conservar, multiplicamos Gx por ∆t. La estimación se lleva a cabo con la fórmula 2∆t Ê (|Xn |2 ), n = 0, 1, . . . , N/2 ĜX (fn ) = N 41 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Estimacion de la funcion de densidad espectral Funcion de densidad espectral teorica Estimacion con una realizacion 2 G1(f) [U2x /Hz] Gx(f) [U2x /Hz] 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 f (Hz) Estimacion con 100 realizaciones 5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 f (Hz) Estimacion con Welch de matlab 0 1 2 3 4 5 f (Hz) Estimacion con una realizacion dividida en 10 segmentos 2 1 0.5 0 1 2 3 4 5 f (Hz) Estimacion parametrica con un AR(20) 2 GAR(f) [U2x /Hz] 2 GWelch(f) [U2x /Hz] 1.5 0 5 1.5 1 0.5 0 1 0.5 0 G1s(f) [U2x /Hz] G100(f) [U2x /Hz] 2 1.5 1.5 0 1 2 3 f (Hz) 4 5 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 f (Hz) 42 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Densidad espectral de algunos procesos estocásticos Densidad espectral de algunos procesos estocásticos 43 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Generación de realizaciones artificiales Generación de realizaciones artificiales Si se conoce la función de densidad espectral de un proceso estacionario, se pueden calcular realizaciones del proceso estocástico que verifiquen dicha función de densidad espectral. Estas realizaciones artificiales se pueden utilizar para carcular la respuesta del sistema en el tiempo. Sea un proceso estocástico {X (t)} del que conocemos su función de densidad espectral unilateral discreta, GX (ωn ). Sabemos que ∆t E (|Xn |2 ) Nπ N−1 1 X xk e −i2πnk/N Xn = N Gx (ωn ) = k=0 xk = N−1 X Xn e i2πnk/N n=0 por tanto, si generamos los Xn de manera que verifiquen la primera ecuación, podemos calcular una realización xk (utilizando la última ecuación) con la función de densidad espectral buscada. 44 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Generación de realizaciones artificiales En general, de la teoría de la transformada de Fourier discreta sabemos que los Xn son complejos Xn = An + iBn ⇒ |Xn |2 = A2n + Bn2 E (|Xn |2 ) = E (A2n ) + E (Bn2 ) Como estamos trabajando con procesos estocásticos de media cero, se cumple que E (An ) = 0, E (Bn ) = 0 En efecto N−1 N−1 N−1 X 1 X 1 1 X xk sin(2πnk/N) xk e −i2πnk/N = xk cos(2πnk/N)−i Xn = N N N k=0 k=0 k=0 Tomando esperanzas E (Xn ) = N−1 X k=0 E (xk ) N−1 X 1 1 cos(2πnk/N) − i E (xk ) sin(2πnk/N) N N k=0 Como el proceso tiene media cero E (xk ) = 0 ⇒ E (An ) = 0, E (Bn ) = 0. 45 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Generación de realizaciones artificiales Por tanto se cumple que E (A2n ) = Var (An ), E (Bn2 ) = Var (Bn ) ⇒ E (|Xn |2 ) = Var (An ) + Var (Bn ) Si tomamos Nπ GX (ωn ) An ❀ N 0, σ 2 = 2∆t Nπ 2 Bn ❀ N 0, σ = GX (ωn ) 2∆t entonces se cumple ∆t ∆t E (|Xn |2 ) = Nπ Nπ Nπ Nπ GX (ωn ) + GX (ωn ) = Gx (ωn ) 2∆t 2∆t Y obtenemos la función de densidad espectral buscada. 46 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Generación de realizaciones artificiales Hay que tener en cuenta las propiedades de la transf. de Fourier discreta: ◮ Si N es par: P N−1 * X0 es real, en concreto es la media X0 = N1 k=0 xk . Como trabajamos con procesos estocásticos de mecia cero, X0 = 0. * XN/2 también es real XN = 2 N−1 N−1 1 X 1 X xk e −i πk = xk cos(πk) N N k=0 k=0 Por tanto tomamos 2 Nπ 2 GX (ω N ) X N ❀ N 0, σ = 2 2 ∆t * Los términos entre n = 1 y n = N2 − 1 se calculan generando An y Bn como se ha indicado. Los términos entre n = N2 + 1 y n = N − 1 son complejos conjugados de éstos. ◮ Si N es impar: * X0 sigue siendo la media ⇒ X0 = 0. * Los términos entre n = 1 y n = N−1 se calculan generando An y Bn 2 y n = N − 1 son como se ha indicado. Los términos entre n = N+1 2 complejos conjugados de éstos. Una vez que tengamos calculados los Xn ⇒ xk = ifft(Xn ). 47 Análisis de procesos estocásticos en el dominio de la frecuencia Generación de realizaciones artificiales Funcion de densidad espectral dada G 20 10 0 0 10 20 30 w (rad/s) Realizacion generada 40 50 60 100 xt 0 −100 0 100 200 300 400 500 t (s) Metodo Welch por defecto de matlab 600 700 Gx 20 10 0 0 10 20 30 40 50 w (rad/s) Metodo Welch con ventanas Hamming de 500 datos, solapadas el 75% 10 20 60 Gx 20 10 0 0 30 w (rad/s) 40 50 60 48