Tema 4: ECUACIONES POLINÓMICAS DE 1º Y 2º GRADO. ( )

I.E.S. “Salvador Serrano” - Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO - 2015 / 16
Tema 4: ECUACIONES POLINÓMICAS DE 1º Y 2º GRADO.
Actividades para preparar el examen:
1.- Cuestiones teóricas:
1)
Las ecuaciones polinómicas siempre tienen una única solución.
2)
Resolver una ecuación consiste en buscar y encontrar sus soluciones.
3)
Una ecuación es una expresión algebraica.
4)
Hay ecuaciones que no tienen soluciones.
5)
Hay ecuaciones que tienen infinitas soluciones.
6)
Si una ecuación no tiene solución se llama identidad.
7)
Las ecuaciones que tienen las mismas soluciones son equivalentes.
8)
Para resolver ecuaciones de primer grado transformamos la ecuación de partida en otra equivalentes.
9)
Si sumamos un mismo número en los dos miembros de la ecuación obtenemos otra equivalente.
10) Si multiplicamos los dos miembros de una ecuación por un mismo número obtenemos otra equivalente.
11) Las identidades son ecuaciones que se cumplen siempre.
12) Las ecuaciones son condiciones expresadas con una igualdad de dos expresiones algebraicas.
13) Hay ecuaciones de 2º grado que tienen exactamente 3 soluciones.
14) Todas las ecuaciones de 2º grado tienen 2 soluciones.
15) El discriminante es un número que nos permite clasificar las ecuaciones de 2º grado, según el nº de soluciones.
16) ∆ = b 2 - 4ac
17) Si ∆ > 0, entonces la ecuación tiene una única solución.
18) Si ∆ > 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones.
19) Las ecuaciones de 2º grado incompletas sin término independiente (c = 0), siempre tienen entre soluciones a x =
0.
20) Las ecuaciones de 2º grado incompletas sin término en x (b = 0), se pueden resolver sacando factor común a x.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5)
3
 
2
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
8)
3
1 1 3 2
2−  + +
22 4 5
10
V/F
2.- Opera y simplifica:
1)
1 
1  1 1

1 +  − 1 −  ·  − 
3
3

 
 3 4
5 2 15
+ ·
6 3 6
1 3
4
− 1 + 
2 2  3
2−
2)
3)
1−
5
15
+ (− 3 ) ·
6
6
2  4
2 − 1 − 
3  3
4)
−
2
3
1
0
7 +
2
3 -1 −
−2
6)
1 
1 
1
· 1 −  ·  2 + 
5  5 
5
2−
−2
2
3
  −
2
3
2 −  0
2 + 2 −1
−
64
27
9)
3
1
−
+
1
3
5
+
2 4
-1
3
5
3-
−2
7)
2
3
  −
2
3
3 −  0
−1
7 +3
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3.- Reduce y simplifica las expresiones:
1)
(− 2)4 · 3 -2 · 15 -2
4 3 · 10 -1
−2
2)
3)
(
 a 2b 

 · c 3a2
 c 


7 −1· 5 −4 · 2 -2 · 21-2
49 −3 · 10 -1
−2
)
2
4)
5)
 a 2b   c 3 a 2

 ·
 c   ab −1

 




3 3 · 5 −4 · 2 -2 · 6 -2
36 −3 · 2 -1
−2
2
6)
 a 2 b  c −3 a 2

 ·
 c  a · b −1


4.- Desarrolla las identidades notables que siguen:
1)
3(x + 1) − (x + 2)(x − 2)
3)
(2x + 3)(− 1 − x 2 ) + 5(1 − x )2
2)
4(x − 7 ) − (2x + 3 )
4)
(x
2
2
2
2
+x
)
2
(
− 2 x3 − x2
)
2
5.- Factoriza los polinomios:
1)
4 x 2 − 12 x + 9
3)
25 x 2 + 20 x + 4
5)
4 x 2 − 36
2)
3x 5 − 6x 4 + 9 x 3
4)
12 x 3 − 6 x 2 + 18 x
6)
x 3 + 2x 2 + x
3)
x + 1 x2
·
2x x + 1
5)
x 2 + 2x + 1 2x + 1
:
x +1
x
4)
1 − x 2x + 2
+
3x
x
6)
3x
x x +1
+ −
x +1 2 x −1
6.- Opera y simplifica:
1)
2)
x 2 + 2x
x 2 + 4x + 4
−
1
x
2
+
5 2
−
x 3x
7.- Resuelve las ecuaciones:
1)
2 ( x - 1) = 4 - x
5)
4 ( x - 3 ) ( x + 3 ) - ( 2 x + 1 )2 = 3
2)
4 x + 3 ( 7 - 2 x ) = 19
6)
3(x − 2) + 7 = x − 3(x + 1)
3)
6 x -( 4 - 2 x )=7
7)
4(3 − 2x ) + 6 = 1 − 5(1 + 3 x ) − 4 x
4)
7 + 3 ( x - 4 ) = 11 x - 6 ( x - 2 )
8)
3(8 − 2 x ) + 5 = 17 − 2(1 − x )
x +1
3
5)
1+
1- x 2 ( 5 - x )
=
8
6
6)
x − 9 3 x − 4 2x + 3
+
=
3
4
3
8.- Resuelve las ecuaciones:
1 − x 2(5 − x )
=
8
6
1)
3-x=
2)
1+
3)
x x
− =2
3 5
7)
x − 3 x − 5 x −1
=
+
4
6
9
4)
2x 2
2
− = x−4+
3 3
3
8)
2x − 1 −
3x − 1 5 x + 2
− =
+ x−3
3
3
6
9.- Resuelve las ecuaciones:
1)
x  x

2  - 1 - 3  + 2  = 2 x - 1
2  4

2)
1-
2 de 4
x -1
 x + 1
=2 
 +1
3
 9 
3)
4)
2
x
x −1
· (x - 3 ) + = 2 −
3
6
2
3  x −1 
3
2
+ 1 + x =  x − 

5 3
4
3

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10.- Resuelve las ecuaciones:
1)
25 x 2 − 30 x + 9 = 0
5)
x 2 + 7 x − 12 = 0
2)
3x 2 − 5 x − 2 = 0
6)
x 2 − 10 x − 4 = 0
3)
x 2 − 4 x + 13 = 0
7)
4x 2 + 7x − 2 = 0
4)
x 2 − 7 x + 12 = 0
8)
x 2 + 2x + 3 = 0
9)
− x 2 + 3x − 1 = 0
10) 4 x 2 + 8 x − 16 = 0
11) 2x 2 − 18 x + 36 = 0
11.- Resuelve las ecuaciones:
1)
x2 − 9 = 0
5)
(x − 3)2 + 6 x = 0
9)
(x + 3 )(x − 3 ) + 9 = 0
2)
x 2 + 16 = 0
6)
3 x 2 − 2x = 0
10)
(x − 1)2 − 1 = x
3)
4 x 2 − 25 = 0
7)
x2 + x = 0
4)
x2 −1
=7
5
8)
x 2 + 3x
+1= x
3
12.- Resuelve las ecuaciones:
1)
(2x − 1) + 5 = 0
x 2 (3 x + 1)
+
−
6
9
4
36
2)
(x − 1)(2x + 3 ) −  x + 1
2
2
2

2
=−
9
4
3)
1 1
1
2
2
x x +  − x + (x + 2 ) = (x − 2 ) + 8 x
3
2
2


4)
x(2x + 1) (x + 2)
11
−
+ 3 x = 5x −
3
2
2
2
13.- Contesta a las siguientes cuestiones teóricas:
1)
Si el discriminante de una ecuación de segundo grado es ∆ = 5, ¿qué podemos decir del número de soluciones de la
ecuación?
2)
¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de segundo grado en la que el discriminante es ∆ = 0?
3)
Di cuál es el discriminante de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 .
4)
Si el discriminante de una ecuación de segundo grado es ∆ = -4, ¿qué podemos decir del número de soluciones de la
ecuación?
5)
Halla el valor de “a” para que la ecuación x 2 − 4 x + a = 0 tenga dos soluciones. ¿Qué valor le damos a “a” para que la
ecuación anterior tenga una única solución?
6)
Halla los valores de “a” y “b” para que la ecuación (x − a )(x + b ) = 0 tenga como soluciones 2 y -3.
7)
¿Cuáles son las soluciones de la ecuación x(x − 1)(x − 7 )(x + 8 ) = 0 ?
8)
Halla el valor de “b” para que x = 5 sea solución de la ecuación x 2 + bx + 4 = 0 .
14.- Problemas para plantear y resolver con ecuaciones:
1)
Si a la mitad de un número le restas su tercera parte, y, a este resultado, le sumas 85/2, obtienes el triple del número
inicial. ¿De qué número se trata?
2)
Al multiplicar un número entero por el resultado de aumentar su doble en 3 unidades, obtenemos 35. ¿De qué
número se trata?
3)
Halla dos números sabiendo que el primero es 12 unidades mayor que el segundo; pero que, si restáramos 3
unidades a cada uno de ellos, el primero sería el doble del segundo.
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4)
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Halla tres números pares consecutivos, sabiendo que el tercero más el triple del primero excede en 20 unidades al
segundo.
5)
Halla un número entero sabiendo que si multiplicamos su anterior por su siguiente, obtenemos 360.
6)
Halla los lados de un rectángulo, sabiendo que la base es 5 unidades mayor que el doble de la altura, y que su área
2
es de 33 cm .
7)
Halla las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que la base mide 3 cm más que la altura y que la diagonal mide 15
cm.
8)
El lado de un rombo mide 10 cm y una diagonal mide 4 cm más que la otra. Halla el área del rombo.
9)
Halla el lado de un cuadrado sabiendo que, si éste aumentara en 3 cm, la superficie del cuadrado resultante
2
aumentaría en 75 cm .
10) Los lados de un triángulo miden 11 cm, 14 cm y 17 cm. Si restamos una misma cantidad a cada uno de los tres lados,
obtenemos un triángulo rectángulo. ¿Qué cantidad es esa?
11) Dos ciudades, A y B, distan 120 km. De la ciudad A sale un autobús hacia B a una velocidad de 70 km/h. Al mismo
tiempo, sale un coche de B hacia A a una velocidad de 90 km/h. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse y a qué
distancia de A se produce el encuentro.
12) Se mezclan 30 kg de café de 2 €/kg con 50 kg de café de otra clase, obteniendo una mezcla que sale a 2,6 €/kg.
¿Cuál es el precio de la segunda clase de café?
13) Hemos recibido un premio de 12 000 € y vamos a colocarlo en un plan de ahorro combinado que nos ofrece un 5% de
interés anual por una parte del dinero y un 3% por el resto. Sabiendo que la primera parte produce anualmente 40 €
más que la segunda, ¿a cuánto asciende cada una de las dos partes?
14) Un depósito dispone de dos grifos. Si abrimos solamente el primero, el depósito se llena en 8 horas; y si abrimos los
dos grifos, se llena en 3 horas. ¿Cuánto tardaría en llenarse si abriéramos solo el segundo grifo?
15) Disponemos de dos tipos de líquido de 0,8 €/litro y de 1,2 €/litro, respectivamente. Mezclamos 13 litros del primer tipo
con cierta cantidad del segundo tipo, resultando el precio de la mezcla a 1,1 €/litro. ¿Cuántos litros de líquido del
segundo tipo hemos utilizado?
Alcaudete, 31 de enero de 2016
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