Unidad No. III. TMAR, VPN, PRI y TIR.

Asignatura: Matemática Financiera.
Asignatura
Carrera
Año Académico
Unidad No. III
Profesor
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:
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Matemática Financiera.
Ingeniería en Sistemas.
II Año.
TMAR, VPN, PRI y TIR.
Mauricio Navarro Zeledón.
Unidad No. III. TMAR, VPN, PRI y TIR.
Hasta el momento, sólo se han presentado conceptos generales sobre cómo trasladar, a valores
equivalentes, el dinero a través del tiempo, aunque en la presente unidad se tratará el caso especial
de análisis donde sólo intervienen costos, expresando los resultados de flujos anualizados.
En la práctica empresarial y el ámbito de cualquier inversionista, el esquema que generalmente se
plantea para invertir es: dado que se invierte cierta cantidad y que las ganancias probables en los
años futuros ascienden a determinada cifra, ¿es conveniente hacer la inversión? Lo anterior se
puede plantear desde otro punto de vista: el inversionista siempre espera recibir o cobrar cierta tasa
de rendimiento en toda inversión, por tanto debe contar con técnicas de análisis que le permitan
cuantificar si, determinada inversión y ganancias probables, ganará realmente la tasa que él ha
fijado como mínima para aceptar la inversión.
1. Tasa mínima aceptable de rendimiento (TMAR)
Todo inversionista, ya sea persona física, empresa, gobierno, o cualquier otro tiene en mente, antes
de invertir, beneficiarse por el desembolso que va a hacer. Recuérdese la aclaración, en un principio,
que en esta unidad no se consideran las inversiones de carácter social y aunque el gobierno de un
país sea el que invierta, éste debe esperar, si no lucrar, al menos salir a mano en sus beneficios
respecto a las inversiones, para que no haya un subsidio en el consumo de bienes y servicios y no
aumente el déficit del propio gobierno.
Por tanto, se ha partido del hecho de que todo inversionista deberá tener una tasa de referencia
sobre la cual basarse para hacer sus inversiones. Tasa de referencia base es la comparación y de
cálculo en la evaluaciones económicas que haga. Si no obtiene cuando menos esa tasa de
rendimiento, se rechazará la inversión.
El problema es cómo determinar esa tasa. Todo inversionista espera que su dinero crezca en
términos reales. Como en todos los países hay inflación, aunque su valor sea pequeño, crecer en
términos reales significa ganar un rendimiento superior a la inflación, ya que si se gana a un
rendimiento igual a la inflación el dinero no crece sino que mantiene su poder adquisitivo. En ésta la
razón por la cual no debe tomarse como referencia la tasa de rendimiento que ofrecen los bancos,
pues es bien sabido que la tasa bancaria (tasa pasiva) es siempre menor a la inflación. Si los bancos
ofrecieran una tasa igual o mayor a la inflación implicaría que, o no ganan nada o que transfieren sus
ganancias al ahorrador, haciéndolo rico y descapitalizando al propio banco, lo cual nunca va a
suceder.
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Por tanto la TMAR se puede definir como:
TMAR = tasa de inflación + premio al riesgo.
El premio al riesgo significa el verdadero crecimiento al dinero y se le llama así porque el
inversionista siempre arriesga su dinero (siempre que no invierte en el banco) y por arriesgarlo
merece una ganancia adicional sobre la inflación. Como el premio por arriesgar, significa que a
mayor riesgo, se merece mayor ganancia.
La determinación de la inversión está fuera del alcance de cualquier analista o inversionista, y lo más
que se puede hacer es pronosticar un valor, que en el mejor de los casos se acercará un poco a lo
que sucederá en la realidad. Lo que sí puede establecer cuando haga la evaluación económica es el
premio al riesgo.
Para calcular el premio al riesgo se pueden tomar como referencia las dos situaciones siguientes:
a) Si se desea invertir en empresas productoras de bienes y servicios, deberá hacerse un estudio
del mercado de esos productos. Si la demanda es estable, es decir, si tiene pocas fluctuaciones
a lo largo del tiempo, y crecer con el paso de los años, aunque sea en pequeña proporción y no
hay una competencia fuerte de otros productores, se puede afirmar que el riesgo de la inversión
es relativamente bajo y el valor al premio puede fluctuar del 3 al 5%.
Cuando el riesgo es muy alto el valor al riesgo siempre está arriba de un 12% sin un límite
superior definido.
b) La segunda referencia es analizar las tasas de rendimiento por sectores de la economía (o
través de la bolsa de valores). Supóngase que se desea invertir en el área de productos
químicos. Por un lado, deberá observar cuál ha sido el rendimiento promedio de las empresas
del área de productos químicos y por otro lado, conocer el valor real de la inflación. Si se
observa, por ejemplo, que los rendimientos actuales de las industrias químicas sobrepasan
apenas un 3% al ritmo inflacionario, no sería acertado fijar un premio al riesgo muy superior al
promedio vigente para una nueva industria química, pues implicaría pedir altos rendimientos a
un sector productivo que en ese momento, por las razones que sean no está proporcionando
altos rendimientos. Ya será decisión de los inversionistas arriesgarse en esas condiciones.
Si en un determinado sector productivo los rendimientos promedio son bajos, pero una industria
en particular de ese mismo sector tiene altos rendimientos, no se debe confundir con esa
circunstancia y querer imitarla en ganancias fijando un alto premio al riesgo en la etapa de
evaluación económica, cuando apenas se va a decidir si se invierte. La fijación de un valor para
el premio al riesgo y, por tanto, para la TMAR es, como su nombre lo indica, el mínimo
aceptable. Si la inversión produce un rendimiento muy superior a la TMAR, tanto mejor.
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La TMAR o costo de capital simple.
La TMAR, como ya se ha comentado, es fundamental en la ingeniería económica. También se le
llama costo de capital, nombre derivado del hecho que la obtención de fondos necesarios para
constituir un proyecto, y que funcione, tiene un costo.
Cuando una sola entidad, llámese persona física o jurídica, es la única aportadora de capital para su
proyecto, el costo de capital equivale al rendimiento que pide esa entidad por invertir o arriesgar su
dinero. Cuando se presenta este caso, se le llama costo de capital simple.
Sin embargo, cuando esa entidad pide un préstamo a cualquier institución financiera para constituir o
completar el capital necesario para el proyecto, seguramente la institución financiera no pedirá el
mismo rendimiento al dinero aportado que el rendimiento pedido a la aportación de propietarios del
proyecto.
La situación es algo complicada, pero en términos generales se puede decir lo siguiente: los dueños,
socios o accionistas del proyecto aportan capital y arriesgan, puesto que el proyecto tiene altos
rendimientos monetarios, éstos se irán directamente a manos de los accionistas. Sin embargo, sí el
proyecto pierde, los accionistas también perderán. Una situación contraria presenta la institución
financiera que aporta capital, pues sólo lo hace como préstamo, a una tasa de interés definida y a un
plazo determinado; el término de éste y habiendo saldado la deuda, la institución financiera queda
eliminada como participante en el proyecto.
Los contratos financieros expresan claramente que en caso de incumplimiento de pago por parte del
proyecto, se puede proceder legalmente en su contra para exigir el pago. Por tanto, dado que las
fuentes de aportación de capital para la constitución del proyecto pueden tener situaciones de
actuación y participación totalmente distintas, es evidente que el rendimiento que exigen a su
aportación también debe ser distinto.
Cuando se da el caso de que la constitución del capital de un proyecto fue financiado en parte, se
habla de un costo de capital mixto. El cálculo de este costo se presenta en el siguiente ejemplo:
Ejemplo No. 1.
Para invertir en un proyecto que fabricará productos plásticos se necesitan $ 1,250 millones. Los
socios cuentan con $ 700 millones. El resto lo pedirán a dos instituciones financieras. La financiera A
aportará $ 300 millones por los que cobrará un interés del 25% anual. Por su parte, la financiera B
aportará $ 250 millones a un interés del 27.5% anual. Si la TMAR de los accionistas es del 30%.
¿Cuál es el costo del capital o TMAR mixta para este proyecto?
La TMAR mixta se calcula como un promedio ponderado de todos los aportadores del capital del
proyecto.
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Entidad
Accionistas
Financiera A
Financiera B
(% de aportación)
0.56
0.24
0.20
1.00
La TMAR mixta de este proyecto es de 28:3%
Rendimiento pedido
0.30
0.25
0.275
Promedio ponderado
0.168
0.060
0.055
0.283
2. Método del valor presente neto (VPN).
El valor presente simplemente significa traer del futuro al presente cantidades monetarias a su valor
equivalente. En términos formales de evaluación económica, cuando se trasladan cantidades del
presente al futuro, se dice que se utiliza una tasa de interés, pero cuando se trasladan cantidades
del futuro al presente, cómo el cálculo del VPN, se dice que se utiliza una tasa de descuento debido,
a lo cual a los flujos de efectivo ya trasladados al presente se les llama flujos descontados.
2.1. Análisis y evaluación de un proyecto individual.
El valor presente neto (VPN) es uno de los métodos básicos que toma en cuenta la importancia de
los flujos de efectivo en función del tiempo. Consiste en encontrar la diferencia entre el valor
actualizado de los flujos de beneficio y el valor, también actualizado de las inversiones y otros
egresos de efectivo.
No cabe duda de que si el valor presente neto de un proyecto es positivo la inversión deberá
realizarse y si es negativo deberá rechazarse. Las inversiones con VPN positivos incrementan el
valor de la empresa, puesto que tienen un rendimiento mayor al mínimo aceptable.
Ejemplo No. 2.
Supóngase que se ha hecho cierto estudio que tomó en cuenta la posibilidad de invertir en una
industria metalmecánica. Se calculó una inversión inicial de $ 1,000 con la posibilidad de obtener
ganancias como se observa en el cuadro de abajo.
Años
Flujos
0
(1,000)
1
260
2
310
3
330
4
400
5
505
La pregunta que hacen los inversionistas es, ¿conveniente invertir en este proyecto dado las
expectativas de ganancia e inversión?
Para responder a esta pregunta se puede utilizar el VPN como criterio de selección. Para calcularlo,
sólo traslade los flujos de los años futuros al tiempo presente y réstele la inversión inicial, que ya
está en tiempo presente. Los flujos se descuentan a una tasa de corresponder a la TMAR de
acuerdo con la siguiente fórmula:
VPN = - P + FNE1 + FNE2 + …… FNEn
(1+i)1 (1+i)2
(1+i)n
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Donde FNEn = Flujo neto de efectivo por año n, que corresponde a la ganancia neta
Después de impuestos en el año n.
P
= Inversión inicial en el año cero.
i
= tasa de referencia que corresponde a la TMAR.
Si la TMAR = 20%, el VPN = $ 18,77.
El valor presente neto (VPN) recibe este nombre y no simplemente valor presente porque a la suma
de los flujos descontados se le resta la inversión inicial, lo que es igual a restarle a todas las
ganancias futuras, la inversión que les dio origen, todo esto a su valor superior equivalente en un
solo instante en el tiempo que es el presente.
Los criterios para aceptar una inversión son los siguientes:
Si VPN ≥ 0 acéptese la inversión.
VPN ≤ 0 rechácese la inversión.
2.2. Selección de alternativas mutuamente excluyentes.
La comparación de proyectos mutuamente excluyentes con vidas económicas desiguales obliga a
efectuar ajustes con sus flujos, una vez que terminen las vidas de los proyectos de más corta
duración. En tanto que se dispone de varias técnicas para realizar dichas comparaciones, la más
eficiente es el método de Valor Presente Neto Anualizado (VPNA). El método VPNA, como las
demás técnicas, supone implícitamente que cada proyecto se puede reemplazar un número infinito
de veces por la misma inversión inicial que proporcionará las mismas entradas de efectivo
esperadas. Aun cuando este supuesto puede parecer poco razonable, no disminuye por ello la
utilidad de la técnica.
El método de VPNA convierte al valor presente de proyectos de vida desigual en una cantidad anual
que puede utilizarse para seleccionar el mejor proyecto. Este método basado en el VPN, puede
aplicarse a proyectos mutuamente excluyentes de vidas diferentes empleando los siguientes pasos:
Paso 1: Calcular el VPN de cada proyecto j, VPN1, respecto a su vida n, utilizando la TMAR, i.
Paso 2: Dividir el VPN de cada proyecto que tenga el VPN positivo entre el factor de interés del valor
presente para una anualidad al costo dado de capital y la vida del proyecto a fin de obtener el VPNA
de cada proyecto j.
VPNA1 =
VPNj .
FIVPAkn
Paso 3: El proyecto que resulte con el VPNA más alto sería el mejor, seguido por el proyecto con el
VPNA más alto siguiente, así sucesivamente. La aplicación de estos pasos se puede ilustrar
mediante un sencillo ejemplo.
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Ejemplo No. 3.
La Compañía WS está tratando de seleccionar el mejor de tres proyectos mutuamente excluyentes –
X, Y y Z. Los flujos de efectivo importantes para cada proyecto se dan a continuación. La TMAR para
el uso en la evaluación de estos proyectos igualmente riesgosos es del 15%.
Proyecto
X
Y
Z
$ 10,000
$ 12,000
$ 15,000
Año
Flujo de efectivo por período
1
$ 1,000
$ 5,000
$ 3,800
2
5,000
6,000
3,800
3
5,000
7,000
3,800
4
4,000
3,800
5
3,000
3,800
6
3,800
7
3,800
8
3,800
Mediante los tres pasos ilustrados se obtiene:
Paso 1: Los valores presentes netos de los proyectos X, Y y Z descontados al 15% son:
VPNX = 1,000 (0.870) + 5,000 (0.756) + 5,000 (0.658) + 4,000 (0.572) + 3,000 (0.497) – 10,000.
= (870+3,780+3,290+2288+1,491) – 10,000 = $ 11,719 - $ 10,000 = $ 1,719.
VPNY = $ 1,492.
VPNZ = $ 2,051.
Paso2: Al aplicar la ecuación del paso 2 a los VPN calculados antes, se puede calcular también el
VPNA para cada proyecto:
VPNAX =
1,719 .
FIVPA15%5años
=
VPNAY = 1,492 .
FIVPA15%3años
=
VPNZ =
2,051 .
FIVPA15%8años
=
1,719
3.353
= $ 513
1,492
= $ 654
2.283
2,051
= $ 457
4.487
Paso 3: Al repasar los VPNA calculados en el paso 2, se puede observar que se preferiría al
proyecto Y con respecto al X, que a su vez sería preferido sobre el proyecto Z. Al comparar estos
resultados con los VPN calculados en el paso 1, se concluye que los VPNA suelen proporcionar
jerarquías considerablemente diferentes de proyectos de vida distintas que los VPN. Dado que los
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proyectos X, Y y Z. son mutuamente excluyentes, el proyecto Y sería el proyecto más idóneo, puesto
que proporciona el VPNA más alto.
2.3. Período de recuperación de la inversión. (PRI).
Comúnmente los períodos de recuperación de la inversión se utilizan para evaluar las inversiones
proyectadas. El período de recuperación consiste en el número de años requeridos para recobrar la
inversión inicial. Se calcula señalando exactamente cuánto tiempo toma el recobrar la inversión
inicial.
Ejemplo 4.
La Compañía Bosco tiene planificado 2 proyectos. Calcule el PRI.
Años
1
2
3
4
5
Proyecto A
Inversión inicial = $ 42,000
$ 14,000
14,000
14,000
14,000
14,000
Proyecto B
Inversión inicial = $ 45,000
$ 28,000
12,000
10,000
10,000
10,000
Para determinar el PRI de la inversión se puede proceder de la siguiente manera:
En el caso del proyecto A, deben recuperarse $ 42,000. Después de un año, se recobrarán $ 14,000;
después de dos años, un total de $ 28,000 ($14,000 en el año 1 más $ 14,000 en el año 2). Al final
del tercer año, se habrán recobrado exactamente $ 42,000. El período de recuperación es
exactamente de tres años.
Como el proyecto B genera una serie mixta de flujos de capital, el cálculo del periodo de
recuperación de la inversión no es tan sencillo y se procede la siguiente forma:
1 año
=
$ 28,000
2 año
=
$ 12,000
3 año
=
$ 10,000
=
50,000 – 45,000
5,000/10,000 = 0.5*12 meses = 6 meses por lo tanto el PRI = 2.5 años.
El proyecto B sería preferible al proyecto A, puesto que el primero tiene un PRI más corto (2.50
versus 3.00 años). Con frecuencia las compañías establecen un PRI máximo de modo que
descartan los proyectos con recuperaciones que requieren más tiempo; otros proyectos serán
aceptados o evaluados aun empleando alguna de técnica de evaluación de proyectos más
elaborada. Obsérvese, pues, que el PRI se emplea comúnmente como un instrumento de selección
inicial de proyectos.
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3. Método de la Tasa Interna de Rendimiento (TIR).
3.1. Definición y significado de la TIR.
Desde la perspectiva de una persona que ha recibido un dinero diferente en préstamo, la tasa de
interés se aplica al saldo no pagado, de manera que la cantidad prestada y el interés total se pagan
en la totalidad con el último pago del préstamo. Desde la perspectiva de quien otorga el préstamo,
existe un saldo no recuperado en cada período de tiempo. La tasa de interés es el rendimiento sobre
este saldo no recuperado, de manera que la cantidad total prestada y el interés se recuperan en
forma exacta con el último pago. La tasa interna de rendimiento define ambas situaciones:
Tasa interna de rendimiento (TIR) es la tasa pagada sobre el saldo no pagado del dinero obtenido en
préstamo, o la tasa ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión, de forma que el pago o
entrada final iguala el saldo exactamente a cero con el interés considerado.
La tasa interna de rendimiento está expresada como un porcentaje por período, por ejemplo i = 10%
anual.
3.2. Evaluación de un proyecto individual.
Para obtener la TIR se puede utilizar un procesamiento iterativo. La “La prueba y error” consiste en
utilizar un valor de (i), emplear tablas de valor actual para obtener los valores de descuento, efectuar
las operaciones aritméticas y observar el error cometido. A continuación deberán repetirse las
operaciones anteriores con otros valores (i), hasta que se alcance el valor de (i), que haga que la
suma de los flujos positivos descontados sea igual a la suma de los flujos negativos descontados.
Para ilustrar el procedimiento señalado obsérvese en el cuadro siguiente.
Ejemplo No. 5.
El comportamiento de los flujos de beneficio del proyecto Beta al ser descontados a una tasa del
20% anual.
Años
Flujo de efectivo
1
2
3
4
$ 1,360
1,540
1,720
1.360
Factores de descuento al
20%
Inversión inicial =
0.833
0.694
0.579
0.482
Total
Valores actuales
de flujos
($ 4,000)
$ 1,133
1,069
996
656
$ 3,854
Los valores descontados de estos flujos suman en total $ 3,854 cantidad menor que la inversión
inicial de $ 4,000; por tanto, la TIR del proyecto es inferior al 20%. Cuando los flujos se descuentan a
la tasa del 18% se obtienen los resultados que se presentan en la tabla siguiente:
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Años
Flujo de efectivo
1
2
3
4
$ 1,360
1,540
1,720
1.360
Factores de descuento al
20%
Inversión inicial =
0.847
0.718
0.609
0.516
Total
Valores actuales
de flujos
($ 4,000)
$ 1,152
1,106
1,047
702
$ 4,007
Como se puede observar, el valor actualizado es de $ 4,007, lo que significa que la tasa interna del
proyecto es de prácticamente el 18%. Una vez que se ha calculado la tasa interna de rendimiento
del proyecto, se necesita conocer el punto de corte de rentabilidad mínima aceptable para los
inversionistas, para así poder decidir si conviene lleva a cabo la inversión.
La empresa deberá realizar aquellos proyectos de inversión, cuya TIR sea superior al punto de corte
establecido y deberá rechazar aquellos con TIR inferior. Cuando existan varios proyectos realizables
y limitaciones de recursos financieros y técnicos, se dará prioridad a las inversiones cuyas tasas
internas de rendimiento sean mayores y se irá descendiendo en el orden de rendimiento, hasta
agotar los recursos financieros y técnicos.
3.3. Desventajas en el uso de la TIR cómo método de análisis.
a) Por la forma en que se calculan, tanto la TIR como el VPN suponen implícitamente que todas las
ganancias anuales (los FNE) se reinvierten totalmente en la propia empresa, lo cual es falso.
Esta práctica podría darse en algunos años, pero no en todos. En un año cualquiera en que se
repartan los dividendos, práctica común en las empresas, ya no se puede alcanzar la TIR
predicha en el cálculo.
b) La fórmula para calcular la TIR es un polinomio de grado n. La obtención de las raíces de
cualquier polinomio está regido por la regla de los signos de Descartes que dice: “Un polinomio
puede tener tantas raíces como cambios de signo”. Como el cálculo de la TIR es, de hecho la
obtención de la raíz del polinomio planteado, significa que si éste tiene dos cambios de signo, se
puede obtener hasta dos raíces, lo que equivale a obtener dos TIR, los cuales no tienen
interpretación económica.
c) Al decidir la inversión en un solo proyecto, los métodos de VPN y TIR siempre arrojan el mismo
resultado. Pero cuando se comparan dos o más proyectos pueden resultar decisiones
contrarias. En estos casos es preferible utilizar el VPN para tomar la decisión, debido a las
desventajas que presenta la TIR, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Situaciones donde la TIR y el VPN conducen a situaciones contrarias.
Ejemplo No. 6.
Una persona tiene dos alternativas de inversión, ambas de $ 15,000. Sin embargo, la primera le
ofrece un pago de $ 5,500 al final de cada uno de los próximos 4 años; por otra parte, la segunda
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ofrece un pago único de $ 27,500 al final de los 4 años. Si la TMAR = 15% decida cual alternativa
debe seleccionarse.
Año
0
1
2
3
4
A
- $ 15,000
5,500
5,500
5,500
5,500
B
-
$15,000
0
0
0
27,500
Solución.
Cómo no se pide un método de análisis específico, se utilizan ambos métodos de análisis para las
dos alternativas.
VPNA = -15,000 + 5,500 (P/A, 15%, 4) = $ 702.5
VPNB = -15,000 + 27,500 (P/F, 15%, 4) = 724.5. Seleccione B.
TIRA = 15,000 + 5,500 (P/A, i, 4) = 17.29% Seleccione A.
TIRB = 15,000 + 27,500 (P/F, i, 4) = 16.36%
Los métodos VPN y TIR nos dan resultados ¡distintos! No se olvide que de dos alternativas, hay que
elegir aquella con mayor ganancia en cualquier sentido, es decir, se elige la de mayor VPN o la de
mayor TIR. La explicación para este resultado tan extraño es que se utilizan tres tasas distintas para
descontar los flujos: el 15%, 16.36% y 17.29%, por esta razón los resultados, de traerlos a valor
presente, son contrarios a lo esperado. Obsérvese que en la alternativa A hay una serie de flujos
que se reinvierten en su totalidad año con año. En cambio en la alternativa B no hay una situación
similar de reinversión debido a que la ganancia es una sola cantidad al final del horizonte de análisis.
La suposición implícita de la TIR es que todas las ganancias se pueden reinvertir al valor de la TIR,
ya que todos los flujos de efectivo del proyecto se descuentan a esa tasa. No existe una base real
para suponer que en el proyecto A, todas las ganancias de cada año, se reinviertan a una tasa de
17.29%. En el proyecto B ni siquiera existe una oportunidad de reinversión, dado que toda la
ganancia del proyecto se presenta hasta el período 4, que es el último año del proyecto. Por tanto, la
TIR no cumple con la característica deseable, de un método para tomar decisiones de inversión, de
poder seleccionar la mejor alternativa.
MSc. Mauricio Navarro Zeledón.
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