PRÁCTICAS DE CÁLCULO NUMÉRICO II PRÁCTICA 5: Reglas de cuadratura compuestas El objetivo de esta práctica es la implementación las siguientes reglas de cuadratura compuestas: sumas de Riemann por la derecha y la izquierda, regla trapezoidal y regla de Simpson. 1 Primera parte: sumas de Riemann Z Dada la integral b f (x) dx, consideremos una partición del intervalo [a, b]: xk = x0 + kh, k = 0, ..., N a (x0 = a, xN = b). Las sumas de Riemann por la izquierda (SRI) y por la derecha (SRD) vienen dadas por b Z f (x) dx ≈ h a f (x0 + kh) (SRI) k=0 b Z N −1 X f (x) dx ≈ h a N X f (x0 + kh) (SRD) k=1 Se pide: 1. Escribir dos programas sumasRI y sumasRD que implementen las sumas de Riemann por la izquierda y por la derecha, respectivamente. La sintaxis de las rutinas será SRI=sumasRI(funci,a,b,N) SRD=sumasRD(funci,a,b,N) donde el significado de los inputs de las rutinas es evidente. 2. Comprobar el funcionamiento de las rutinas con las siguientes integrales: Z 1 (a) (x3 + x2 ) dx; (b) −1 Z 1 (x3 + 2x) dx; (c) 0 Z 3 (x2 + x3 ) dx; 0 tomando N = 2k , k = 5, 6, 7. 2 Segunda parte: reglas trapezoidal y de Simpson Regla trapezoidal compuesta: Z b Dada la integral f (x) dx, consideremos una partición del intervalo [a, b]: xk = x0 +kh, k = 0, ..., N a (x0 = a, xN = b). Sea fi ≡ f (xi ). Z a b N −1 X h fi . f (x) dx ≈ (f0 + fN ) + h 2 Regla de Simpson compuesta: i=1 Z b f (x) dx, consideremos una partición del intervalo [a, b] con 2m + 1 puntos: Dada la integral a a = x0 < x1 < ... < xN = x2m = b. Sea fi ≡ f (xi ). Z b f (x) dx ≈ a h 3 m X (f2i−2 + 4f2i−1 + f2i ) = i=1 4h =h 3 (f0 + f2m ) + 3 m X i=1 f2i−1 + m−1 2h X f2i 3 i=1 Se pide: 1. Escribir dos programas simpson y trapezoid que implementen la regla de Simpson y la regla trapezoidal, respectivamente. Las rutinas serán simpson(funci,a,b,N) trapezoid(funci,a,b,N) donde el significado de los inputs es evidente. 2. Comprobar el funcionamiento de las rutinas con las siguientes integrales: Z (a) 1 (x5 + 3x3 + 2x2 + 1) dx 0 Z π/2 (b) x sin x dx 0 Z 2π sin2 (x) dx (c) 0 Z 10 (d) 2 e−x dx ' √ π −10 Realizar las integraciones numéricas (utilizando ambos métodos) para N = 2k , k = 1, 2, ..., 10. Para cada valor de k calcular el error cometido (comparado con la solución exacta) con la regla trapezoidal y la regla de Simpson, respectivamente. Considerad también la suma de Riemann por la derecha y comparar los errores de cada uno de estos tres métodos. Para ello, se pide dibujar en una misma gráfica los errores absolutos de cada método como función de k; conviene utilizar logarı́tmica en el eje Y (utilizando la instrucción semilogy).