Movimiento de rodadura

Departamento de Física y Mecánica.
E.T.S.I. Agrónomos. U.P.M.
MOVIMIENTO DE RODADURA
Cuerpos rodantes. Consideramos el movimiento de cuerpos que, debido a su geometría,
tienen la capacidad de rodar: esfera, aro, disco, superficie esférica, cilindro apoyado sobre su
generatriz,.... Estos cuerpos pueden deslizar, rodar o ambas cosas simultáneamente.
ƒ
Consideremos una esfera de radio R que desliza sobre una superficie, por tanto se está
trasladando sin dar vueltas, y por tanto todos los puntos de la esfera tienen la misma velocidad
v de traslación.
v
v
v
ƒ
Ahora consideramos que la esfera no está apoyada sobre ninguna superficie, y que gira
con velocidad angular ω ; los puntos superior e inferior de la superficie se mueven con
velocidad v = Rω respecto al centro de la esfera (que se
encuentra en reposo). En la figura se muestra una esfera
que tiene un movimiento de rotación . El punto más alto de
la esfera se mueve hacia la derecha con velocidad v = Rω
respecto al centro (que está en reposo) y el punto más bajo
se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad
v = Rω respecto al centro, pero dirigida hacia la izquierda
ƒ
Consideremos que la esfera rueda sobre una superficie. Cuando la esfera ha girado un
ángulo ϕ , el punto de contacto (A) entre la bola y el plano se mueve una distancia s = Rϕ
ϕ
s
A
Como el centro de la esfera se encuentra sobre el punto de contacto, el centro de gravedad G
también se ha movido la misma distancia s.
s
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La velocidad del centro de gravedad es por tanto vG =
centro de gravedad es aG =
ds d ( Rϕ )
=
= Rω y la aceleración del
dt
dt
dvG d ( Rω )
=
= Rα .
dt
dt
Estas condiciones “no deslizantes” se denominan condiciones de rodadura. El cuerpo está
sobre el plano y rueda con velocidad v = Rω sin deslizamiento, se trata de un movimiento
de rotación en torno a un eje que pasa por el punto de contacto. Ese punto está
instantáneamente en reposo.
El punto superior se mueve con velocidad 2v, el centro de
gravedad se mueve con velocidad v y el punto en
contacto con el suelo está instantáneamente en reposo,
como se observa en la figura.
El movimiento es equivalente a que la esfera gire con
velocidad angular ω en torno a un eje que pase por el centro de gravedad y además se
traslade con una velocidad v = Rω . De esta forma, el punto superior se mueve con velocidad
de traslación v y velocidad debida a la rotación v = Rω (es decir v+ Rω) y el punto en
contacto con la superficie está en reposo porque se mueve con velocidad de traslación v y
velocidad de rotación − Rω porque va hacia la izquierda (es decir v − Rω = 0 ). Y el centro
de gravedad se mueve con velocidad de traslación v y sin velocidad debida a la rotación.
Dado que el movimiento puede considerarse como la combinación de un movimiento de
traslación y una rotación en torno a un eje que pasa por el centro de gravedad, podemos hacer
una reducción en el punto de contacto de forma que el movimiento de rodadura es equivalente
a una rotación pura aplicada en el punto de contacto I.
Si se considera como una rotación pura en torno al eje de contacto, se debe cumplir la
ecuación fundamental de la dinámica de rotación I IZ α = C AZ
Si se considera como una traslación y una rotación se debe cumplir la ecuación de la dinámica
de traslación − f = MaG y de la rotación I GZα = CGZ
Mientras existe rodadura (rueda sin deslizar) el suelo ejerce una fuerza de rozamiento sobre la
esfera, es una fuerza de rozamiento estática f ≤ μN , y no hay disipación de energía
mecánica; en este caso se tiene rodamiento con deslizamiento. En el movimiento de
rodadura la energía mecánica se conserva.
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Cuando un objeto se desliza mientras rueda, la condición
no deslizante deja de cumplirse. Es el caso de una bola que
se lanza en una bolera con velocidad inicial v pero sin
rotación inicial.
Cuando la bola desliza a lo largo de la pista, el rozamiento cinético
hace que se disminuya la velocidad lineal inicial, además da lugar a que
la bola comience a rodar. La velocidad lineal decrece y la velocidad
angular aumenta hasta que se alcanza la condición de rodadura.
Caída de cuerpos rodantes por un plano inclinado. Consideremos un conjunto de sólidos
que tienen capacidad de rodar, esto es un cilindro, una superficie esférica, esfera, aro y disco
Cuando un cuerpo rodante se encuentra sobre un plano inclinado, dependiendo del valor del
ángulo de inclinación el cuerpo rueda o desliza;
para calcular el valor del ángulo crítico a partir del
cual el cuerpo no rueda sino que desliza,
consideramos que el plano está inicialmente en
posición horizontal y vamos inclinado. Al ir
inclinando el plano el cuerpo comienza a rodar sin
Mgsenϕ
f
deslizar pero llegará un momento en el que el
cuerpo comienza a deslizar, dejándose de cumplir
la condición de rodadura ¿Cuándo se produce?
¿Para que valor del ángulo ocurre? .
Cilindro
Superficie esférica
Esfera
Disco
Aro
Mgcosϕ
Mg
ϕ
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A medida que vamos inclinando el plano aparece una fuerza de rozamiento estático (f) , de
forma que se conserva la energía mecánica. Se pretende determinar, la fuerza de rozamiento,
la aceleración lineal con que se mueve el centro de gravedad y la aceleración angular. Todos
ellos dependen del momento de inercia del cuerpo rodante.
El perfil de todos los cuerpos rodantes en un plano inclinado es el mismo; en la figura se
muestran las fuerzas que actúan durante el movimiento de rodadura del cuerpo.
f
Mgsenϕ
Mgcosϕ
Mg
ϕ
Durante el movimiento de rotación se verifica que CGZ = I GZϕ ' ' = Rf , además se cumple
a = Rϕ ' ' de donde I GZ
a
I a
= Rf (1) de donde la fuerza de rozamiento es f = GZ2
R
R
Por otra parte se verifica que
∑ F = Ma de donde Mg sen ϕ − f
Sustituyendo la fuerza de rozamiento en (2) se tiene Mgsenϕ −
= Ma (2).
I GZ a
= Ma de donde la
R2
aceleración del centro de gravedad, en función del momento de inercia correspondiente, es
a=
MgI GZ sen ϕ
MgR 2 sen ϕ
de donde la fuerza de rozamiento es f =
2
MR + I GZ
MR 2 + I GZ
Si en lugar de calcular el momento de las fuerzas respecto al eje que pasa por el centro de
gravedad, lo calculamos respecto al eje que pasa por el punto de contacto (eje IZ) se tiene
C Z = I IZ ϕ ' ' = RMg sen ϕ (3) y teniendo en cuenta que a = Rϕ ' ' se tiene I IZ
de donde la aceleración es a =
De la ecuación
a
= RMgsenϕ
R
MgR 2 sen ϕ
(4).
I IZ
∑ F = Ma se tiene Mg sen ϕ − f
= Ma (5), e introduciendo el valor de la
aceleración obtenido en la ecuación (4) se deduce que la fuerza de rozamiento es
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f =
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Mg sen ϕ ( I IZ − MR 2 )
I IZ
Por tanto, para las figuras seleccionadas, la aplicación de las expresiones a =
MgR 2 senϕ
y
MR 2 + I GZ
MgI GZ sen ϕ
proporciona los valores mostrados en la tabla.
MR 2 + I GZ
f =
Aro
GZ
IZ
Disco
GZ
IZ
L=2πR
Maro=2σπR
I GZ = M aro R 2
I IZ = 2 M aro R 2
Superficie
esférica
GZ
IZ
A=πR2
Mdisco=σπR2
1
I GZ = M disco R 2
2
I IZ =
3
M disco R 2
2
Esfera
GZ
IZ
GZ
IZ
A=4πR2
V=4/3πR3
2
Msup.esf=σ4πR
Mesfera=ρ4/3πR3
2
2
I GZ = M sup .esf . R 2 I GZ = M esfera R 2
5
3
I IZ =
5
M su .es. R 2
3
I IZ =
Cilindro
7
M esfera R 2
5
V=πR2H
Mcilindro=ρπR2H
I GZ =
1
M cilindro R 2
2
I IZ =
3
M cilindro R 2
2
Si el plano inicialmente está horizontal, y se va inclinando lentamente, aparece la fuerza de
rozamiento estática porque el punto de contacto está instantáneamente en reposo, y por tanto
no se disipa energía; el valor de la fuerza de rozamiento depende del ángulo de inclinación, y
a partir de un valor crítico del ángulo el cuerpo no rueda sino que desliza. Para calcular dicho
ángulo, tenemos en cuenta que el valor de la fuerza de rozamiento es f ≤ μ e N , por tanto con
el valor de la fuerza de rozamiento calculado anteriormente f =
MgI GZ sen ϕ
≤ μ e Mg cos ϕ
MR 2 + I GZ
se deduce el valor de la tangente del ángulo crítico
Aro
Disco
a=
1
g sen ϕ
2
a=
f =
1
mg sen ϕ
2
1
f = mg sen ϕ
3
tg ϕ ≤ 2 μ
2
g sen ϕ
3
tg ϕ ≤ 3μ
Superficie
esférica
Esfera
Cilindro
a=
3
g sen ϕ
5
a=
5
g sen ϕ
7
a=
f =
2
mg sen ϕ
5
f =
2
mg sen ϕ
7
1
f = mg sen ϕ
3
tg ϕ ≤
5
μ
2
tg ϕ ≤
7
μ
2
2
g sen ϕ
3
tg ϕ ≤ 3μ