Soluciones a la Autoevaluación

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Soluciones a la Autoevaluación
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¿Identificas distintos tipos de ecuaciones y las resuelves con soltura?
1 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) √x + 1 – x = x – 7
b) 1 – x + 1 + 5 = 0
4
x x–1 2
a) √x + 1 = x – 7 + x 8 4√x + 1 = 5x – 7
4
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
16(x + 1) = 25x 2 – 70x + 49 8 25x 2 – 86x + 33 = 0
x = 86 ± √7 396 – 3 300 = 86 ± 64 =
50
50
3
11/25
Comprobación:
x = 3 8 2 = –1 + 3 8 válida
x = 11 8 √36/25 ? –164 + 11 = – 120 8 no válida
25
100 25
100
Solución: x = 3
b) 2(x – 1) – 2x(x + 1) + 5x(x – 1) = 0 8
8 2x – 2 – 2x 2 – 2x + 5x 2 – 5x = 0 8 3x 2 – 5x – 2 = 0
x = 5 ± √25 + 24 = 5 ± 7 =
6
6
2
–1/3
Las dos soluciones son válidas.
Soluciones: x1 = 2, x2 = – 1
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¿Resuelves sistemas lineales y no lineales con eficacia?
2 Resuelve:
° x =4–y
a) ¢√
£y 2 = 4 + x
°xy = 15
b) ¢ 2 2
£4x – y = 11
a) √x = 4 – y ° x = 16 + y 2 – 8y
¢
y 2 = 4 + x £ y 2 = 4 + 16 + y 2 – 8y 8 8y = 20 8 y = 5/2
x = 16 + 25 – 20 = 9
4
4
Comprobación:
√ 94 = 4 – 52 8 32 = 32
52 = 4 + 9 8 25 = 25
4
4
4
22
y = 15
b) xy = 15
°
x
¢
4x 2 – y 2 = 11 £
= 11 8 4x 4 – 225 – 11x 2 = 0
4x 2 – 225
2
x
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
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Cambio: x 2 = z
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–25/4 No vale.
4z 2 – 11z – 225 = 0 8 z = 11 ± √121 + 3 600 = 11 ± 61 =
8
8
z = 9 8 x = ±3 8 y = ±5
Soluciones: x1 = 3, y1 = 5; x2 = –3, y2 = –5
¿Sabes resolver inecuaciones de primer y segundo grado?
3 Resuelve:
°2x – 3 < 4
b) ¢
£4 – x Ó –1
a) 3x 2 – 5x – 2 Ì 0
a) 3x 2 – 5x – 2 Ì 0
2
–1/3
3x 2 – 5x – 2 = 0 8 x = 5 ± √25 + 24 = 5 ± 7 =
6
6
No
Sí
–1/3
No
2
[
]
Soluciones: – 1 , 2 ; – 1 Ì x Ì 2
3
3
°2x – 3 < 4 8 2x < 7 8 x < 7/2
b) ¢
£4 – x Ó –1 8 –x Ó –5 8 x Ì 5
7/2
5
(
Soluciones: –@, 7
2
)
¿Ha aumentado tu capacidad de plantear y resolver problemas de enunciado?
4 Un inversor compra dos cuadros por 2 650 €. Al cabo de dos años, los vende por
3 124 € ganando en uno de ellos un 20% y en el otro un 15%. ¿Cuánto le costó cada
cuadro?
x+
y = 2 650° x = 2 650 – y
¢
1,2x + 1,15y = 3 124£
1,2(2 650 – y) + 1,15y = 3 124 8 3 180 – 0,05y = 3 124 8 y = 1 120
x = 2 650 – 1 120 = 1 530
El valor de los cuadros es de 1 530 € y de 1 120 €.
5 Halla las dimensiones de un jardín rectangular cuyo perímetro es de 60 m, y su área,
de 221 m2.
y
x
2x + 2y = 60° x + y = 30 8 x = 30 – y
¢
2
xy = 221
£ (30 – y)y = 221 8 30y – y – 221 = 0
y 2 – 30y + 221 = 0 8 y = 30 ± √900 – 884 = 30 ± 4 =
2
2
Si y = 17 8 x = 13
Si y = 13 8 x = 17
Las dimensiones del jardín son 13 m y 17 m.
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
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13
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¿Has aprendido a plantear y resolver problemas con inecuaciones?
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6 En una clase hay 5 chicos más que chicas. Sabemos que en total son algo más de 20
alumnos, pero no llegan a 25. ¿Cuál puede ser la composición de la clase?
Chicas 8 x
Chicos 8 y
y=x+5
°
¢
20 < x + y < 25 £ 20 < x + x + 5 < 25 8 20 < 2x + 5 < 25 8
8 15 < 2x < 20 8 15 < x < 10
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Es decir, las chicas pueden ser 8 o 9.
Hay dos soluciones: 8 chicas y 13 chicos o 9 chicas y 14 chicos.
7 ¿Cuántos litros de vino de 5 €/l se deben mezclar con 20 l de otro de 3,5 €/l para que
el precio de la mezcla sea inferior a 4 €/l?
CANTIDAD
(l)
PRECIO
(€/l)
COSTE
(€)
I
x
5
5x
II
20
3,5
70
MEZCLA
20 + x
<4
< (20 + x) · 4
5x + 70 < (20 + x) · 4 8 5x – 4x < 80 – 70 8 x < 10
Se deben mezclar menos de 10 l del vino caro.
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas