Tarea 4 de ´Algebra Lineal I 1. Encuentra las matrices de los

Tarea 4 de Álgebra Lineal I
1. Encuentra las matrices de los siguientes transformaciones lineales respecto a la bases canónicas
(a) R : R3 −→ R3 definida por R(x, y, z) = (2x + 2y + 7z, x − y − z, x + 6y + 10z).
(b) S : R3 −→ R3 definida por S(x, y, z) = (3y, 6x − 3y + z, x).
(c) T : R3 −→ R3 definida por T (x, y, z) = (−x − y − z, x + y, y + z).
2. (a) Sea Rθ : R2 −→ R2 una rotación de ángulo θ (en el sentido contrario a las manecillas
del reloj). Demuestra que Rθ es una transformación invertible y encontrar la matriz de
la transformación inversa.
(b) Sean Rθ y Rϕ rotaciones por un ángulo de θ y ϕ en el sentido contrario a las manecillas
del reloj, respectivamente. Demuestra que Rθ ◦ Rϕ = Rθ+ϕ .
(c) Sea θ > 0, decir cual es la matriz de rotación por un ángulo θ en el sentido de las
manecillas del reloj.
3. En los siguientes casos, V será el espacio de funciones con base el conjunto β dado y D =
V −→ V la derivada. Encontrar [D]ββ en cada caso:
d
dt
:
(a) β = {sen(t), cos(t)}
(b) β = {1, t, t2 }
(c) β = {1, t, et , e2t , te2t }.
4. Sea Pn (R) = {p ∈ R[x] | gr(p(x)) ≤ n}, D : Pn (R) −→ Pn (R) la derivada e I = Id :
Pn (R) −→ Pn (R). Probar que los siguientes operadores son invertibles
(a) I − D2 .
(b) Dm − I con m ∈ N.
(c) Dm − CI con m ∈ N y c ∈ R.
5. Para los siguientes incisos, α := {e11 , e12 , e21 , e22 } la base canónica de M2×2 (R), β = {1, x, x2 }
la base canónica de P2 (R) y γ = {1} la base canónica de R
0
p (0) 2p(1)
(a) T : P2 (R) −→ M2×2 (R) dada por T (p) =
. Calcular [T ]αβ .
0
p00 (3)
(b) T : M2×2 (R) −→ R dada por T (A) = tr(A). Calcular [T ]γα .
(c) T : P2 (R) −→ R dada por T (p) = p(2). Calcular [T ]γβ .
6. Para los operadores R, S, y T del ejercicio 1, calcule las matrices de R ◦ S, R ◦ T y T ◦ S y
verifique que son los productos correspondientes de las matrices.
7. Encuentre las matrices [T ]γβ de las transformaciones del ejercicio 1 (a), (b), (c), con respecto
a las bases β = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} y γ = {1, 1, 0), (−1, 1, 1), (0, 1, 2)}.
8. Sea V = P4 (R), a ∈ R y sea Ta : V −→ V tal que Ta (p(x)) = p(x + a)
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Prof: Valente Santiago Vargas.
Ayudante: Miguel Angel Guadarrama
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(a) Demuestra que Ta es lineal.
(b) Encuentra [Ta ]ββ donde β = {1, x, x2 , x3 , x4 }.
(c) Describa T−a : V −→ V y muestra que es la inversa de Ta .
(d) Calcula la matriz inversa de [Ta ]ββ .
9. Sea V = C el espacio R-vectorial de los números complejos. Sea T : V −→ V definida por
T (z) = z. Demostrar que T es R-lineal y calcula [T ]β donde β = {1, i}. Mostrar que T no es
C-lineal.
10. Sea V un K-espacio vectorial con base β = {v1 , v2 , . . . , vn }. Demuestra que existe una transformación lineal T : V −→ V tal que T (xi ) = xi + xi−1 con i = 1, 2, . . . , n donde x0 := 0 y
calcula la matriz [T ]ββ .
11. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T : V −→ V transformación lineal.
Supongamos que W ⊆ V es un subespacio T -invariante de V (es decir, T (W ) ⊆ W ) de
dimensión k. Demostrar que existe una base β = {v1 , v2 , . . . , vn } de V tal que [T ]β tiene la
forma
A B
0 C
donde A es una matriz de k × k, 0 es la matriz cero de (n − k) × k, B es de k × (n − k) y C
es de (n − k) × (n − k).
12. Sea V un K-e.v de dimensión finita y W1 un subespacio de V . Una función T : V −→ V se
dice que es una proyección sobre W1 si existe un subespacio W2 de V tal que V = W1 ⊕ W2
y T esta definida por T (x) = x1 si x = x1 + x2 ∈ V con x1 ∈ W1 y x2 ∈ W2 . Demostrar que
T es K-lineal y que siempre existe una base β de V tal que [T ]β es una matriz diagonal.
13. Sea V = Pn (R) = {p(x) ∈ R[x] | gr(p(x)) ≤ n}. Definamos Ti : V −→ V por Ti (p(x)) =
pi (x) donde pi (x) denota la i-ésima derivada. Demuestra que {T1 , T2 , . . . , Tn } son linealmente
independientes en el espacio vectorial L(V, V ).
14. Sea l : ax + by = 0 una recta que pasa por el origen en R2 y sea T : R2 −→ R2 una reflexión
a través de la recta l. Encuentra la matriz asociada de T , respecto a las bases canónicas de
R2 .
15. Consideremos la curva xy = 1 en el plano R2 . Encuentre una base de R2 de tal forma que en
la nueva base, la ecuación de la curva ya no tenga términos mixtos. Describe la ecuacı́on de
la curva en este nuevo sistema coordenado.
16. Sean β = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} y α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} bases de R3 . Encontrar
las matrices de cambio de base [IR3 ]αβ , [IR3 ]βα
17. Sean β = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}, γ = {1, 1, 0), (−1, 1, 1), (0, 1, 2)} bases de R3 . Encontrar
las matrices de cambio de base [IR3 ]γβ , [IR3 ]βγ
18. Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita y T : V −→ W . Demuestra que T
es un isomorfismo si y sólo si existen bases β y γ de V y W respectivamente tal que A = [T ]γβ
es una matriz invertible.
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19. Sean A, B ∈ Mm×m (K) tal que AB = I. Demuestra que A y B son invertibles. Sugerencia:
considera las transformaciones lineales LA y LB y el ejercicio anterior.
20. Sea T : R2 −→ R3 definida por T (x, y) = (3x−y, 2x+4y, −x+y). Sean β y γ las bases canónicas de R2 y R3 respectivamente y β 0 = {(2, 1), (−1, 1)} y γ 0 = {(1, −1, 0), (0, 2, 0), (0, 1, 1)}
otras bases de R2 y R3 respectivamente.
0
(a) Calcular A = [T ]γβ y B = [T ]γβ 0 .
(b) Calcular la matriz Q que transforma las coordenadas de β 0 en las coordenadas de β y la
matriz P que transforma las coordenadas de γ 0 en las coordenadas de γ.
(c) Verificar que B = P −1 AQ.
21. Sea T : P1 (R) −→ P1 (R) definida por T (p(x)) = p0 (x) y sean β = {1, x} y β 0 = {1 + x, 1 − x}
(a) Encontrar la matriz Q de coordenadas que cambia las coordenadas de β 0 en las coordenadas de β.
(b) Encontrar Q−1 .
(c) Calcular A = [T ]β y B = [T ]β 0 y verificar que B = Q−1 AQ.
22. Considera las siguientes transformaciones lineales T : R3 −→ R3 . Demuestra que son invertibles y encuentra una su inversa T −1 .
(a) T (x, y, z) = (3x, x − y, 2x + y + z)
(b) T (x, y, z) = (2x, 4x − y, 2x + 3y − z)
23. Sea T : R3 −→ R2 definida por T (x, y, z) = (3x + 2y − 4z, x − 5y + 3z) y sea α =
{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} y β = {(1, 3), (2, 5)} bases de R3 y R2 respectivamente.
(a) Encuentra la matriz [T ]γα .
(b) Verifica que [T ]γα [x]α = [T (x)]β .
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24. Sea A =
. Encuentra la única transformación lineal T : R3 −→ R2 tal que A
0 1 3
es la matriz de T respecto de las bases α = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} y β = {(1, 0), (1, 1)}.
Describe T (x, y, z) para cada (x, y, z) ∈ R3 .
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