Tarea 10 de Matemáticas Elementales 1.

Tarea 10 de Matemáticas Elementales
1.- Dados tres puntos distintos z1 , z2 y z3 ∈ C demuestra que existe una transformación de
Möbius τ tal que envia a los puntos 0, 1 e i en los anteriores, es decir τ (0) = z1 , τ (1) = z2
y τ (i) = z3 . Concluye explicando que dados dos tercias de puntos distintos por tercias,
z1 , z2 , z3 y w1 , 12 , w3 existe una transformación de Möbius τ tal que τ (z1 ) = w1 , τ (z2 ) =
w2 , τ (z3 ) = w3 .
2.- Una transformación de Möbius τ se llama involución si τ (τ )(z) = z. Da una condición
necesaria y suficiente sobre las constantes a, b, c y d para que la transformación τ (z) = az+b
cz+d
sea una involución.
Denotemos por M ob a todas las transformaciones de Möbius. Denota por M obI = {τ ∈
} translaciones por b ∈ C. Donde denotamos a la matriz asociada por
M ob | τ (z) = z+b
1
I b . Denota por M obII = {τ ∈ M ob | τ (z) = az
a ∈ R} dilataciones por a ∈ R. Donde
1
iθ
denotamos a la matriz asociada por Da . Denota por M obIII = {τ ∈ M ob | τ (z) = e 1 z }
rotaciones por θ ∈ R. Donde denotamos a la matriz asociada por Rθ . Denota por
M obIV = {τ ∈ M ob | τ (z) = z1 } inversión, denotamos a la matriz asociada por R.
3.- Utilizando las representaciones matriciales demuestra que las siguientes transformaciones de Möbius conmutan:
a) dos translaciones I a I b = I b I a ;
b) dos rotaciones, ie Rθ Rφ = Rφ Rθ ;
c) dos dilataciones, ie Da Db = Db Da ;
d) una rotación y una dilatación, ie Rθ Da = Da Rθ
4.- Demuestra que si b 6= 0 y θ no es múltiplo de 2π entonces una translación y una
rotación no conmutan, es decir, demuestra que I b Rθ 6= Rθ I b .
5.- Encuentra la matriz A que representa la transformación de Möbius dada por una
rotación con un ángulo α con centro en el punto γ.
6.- Demuestra que toda translación I b se puede escribir como una composición de dos
rotaciones definidas al rededor de dos puntos adecuados γ1 y γ2 .
7.- Encuentra la inversa de la matriz
A=
1 2
3 1
8.- Recuerda la definición del determinante de
determinante de la matriz

a b

d e
B=
h i
una matriz cuadrada n × n. Calcula el

c
g 
j
9.- Recuerda cómo calculamos la inversa de una matriz de 2 × 2. Imita esta construcción
para calcular una formula para obtener la inversa de una matriz de 3 × 3 . Esto es,
tomemos la matriz B del ejercicio anterior. A esta le concatenamos por la derecha la matriz identidad de 3 × 3 obteniendo ası́ una matriz de 3 × 6. Las operaciones permitidas son
producto de un renglón por escalares distintos de cero y suma de renglones. Suponiendo
que det(B) 6= 0 y por medio de las operaciones permitidas transforma la parte izquierda
de esta matriz en la identidad de 3 × 3. Del lado izquierdo de quedará una matriz de 3 × 3
que debe ser la inversa de la matriz B. Comprueba esto multiplicandola por B.
10.- Sea C ∈ M2×2 (R) dada como sigue:
17
5
6
5
−4
5
3
5
.
Calcula la matriz A−1 CA donde A es la matriz del ejercicio 7 y A−1 su inversa.