1.5. Integral de línea de un campo Vectorial.

1.5. Integral de línea de un campo Vectorial.
Sea F ( x, y, z ) un campo vectorial continuo sobre ℜ3 donde F representa un campo de
fuerzas aplicado sobre una partícula cuya trayectoria puede ser descrita por el recorrido
de la curva C.
C
f(t)
Pi
ti −1 ti* ti
a
t
Pi *
b
Pi −1
Figura 34. Integral de línea de un campo vectorial.
Si se divide la curva C en n subarcos de longitudes ∆s1 , ∆s2 , ∆s3 ,..., ∆sn , con
∆si ≈ Pi −1 Pi , entonces el trabajo realizado por la fuerza para desplazar una partícula
desde el punto Pi −1
hasta el punto Pi se puede aproximar tomando en cuenta las
siguiente consideraciones, al tomar un punto Pi* ( xi* , yi* , zi* ) y sabiendo que ∆si es lo
suficientemente pequeño, entonces a medida que la partícula se mueve de Pi −1 hacia Pi
a lo largo de la curva C, este desplazamiento tiene aproximadamente la misma dirección
que T ( xi* , yi* , zi* ) , el cual representa el vector tangente unitario en el punto
Pi* ( xi* , yi* , zi* ) . De tal manera que el trabajo que ejerce este campo de fuerza sobre la
partícula para moverla de Pi −1 hacia Pi sería el producto del desplazamiento ∆si , por
la fuerza ejercida en el punto en la dirección del desplazamiento, que vendría dado por
el vector tangente unitario, esto es
F ( xi* , yi* , zi* ) ⋅ T ( xi* , yi* , zi* ) ∆si
por tanto el trabajo total que ejerce el campo de fuerza para desplazar la partícula desde
su punto inicial hasta el punto final vendría dado, en forma aproximada, por la
expresión
n
∑ F ( x , y , z ) ⋅ T ( x , y , z ) ∆s
i =1
*
i
*
i
*
i
*
i
*
i
*
i
i
Para tener una aproximación más cercana al valor verdadero del trabajo total realizado
se puede incrementar el número de subarcos n en el que se ha dividido la curva C. Al
estudiar el límite de estas aproximaciones se obtiene el valor exacto del trabajo total
realizado es:
n
W = Lim ∑ F ( xi* , yi* , zi* ) ⋅ T ( xi* , yi* , zi* ) ∆si = ∫ F ( x, y, z ) ⋅ T ( x, y, z ) ds
n →∞
i =1
C
Considerando que la curva C tiene como parametrización a la función vectorial
g : ℜ → ℜ3 / g ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) , el vector tangente unitario T ( t ) viene dado por
T (t ) =
g ' (t )
g ' (t )
, de manera que la ecuación anterior se podría reescribir como
b
b
g '(t ) 
W = ∫ F ( x (t ) , y (t ) , z (t )) ⋅
g ' ( t ) dt = ∫ F ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) g ' ( t ) dt

a
a
g ' ( t ) 

Ahora bien esta interpretación ha sido desarrollada para el caso en que el campo
vectorial es un campo de fuerza, sin embargo podemos basarnos en este desarrollo para
definir al integral de línea de un campo vectorial de la manera que se presenta a
continuación
Definición.
Sea
F
un
campo
vectorial
definido
por
F : D ⊆ ℜ3 → ℜ3 / F ( X ) = ( F1 ( X ) , F2 ( X ) , F3 ( X ) ) , y sea C una curva, definida en D,
dada paramétricamente por la función vectorial g : ℜ → ℜ3 / g ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) )
con t ∈ [ a, b ] , entonces la integral de línea del campo vectorial F sobre C es igual a
b
∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅ Tdl = ∫ F ( g ( t ) ) ⋅ g ' ( t ) dt
C
C
a
Una manera simplificada para indicar esta integral es denotarla por
∫ F ⋅ dr . El campo
C
gravitacional es el ejemplo más conocido como un campo de fuerza.
Sea el campo vectorial definido por F ( x, y, z ) = ( F1 ( x, y, z ) , F2 ( x, y, z ) , F3 ( x, y, z ) ) la
integral de línea de un campo vectorial escrita de manera simplificada como
∫ F ⋅ dr
C
también se puede representar en forma cartesiana de la siguiente manera:
 dx dy dz 
∫ F ⋅ dr = ∫ ( F , F , F ) ⋅  dt , dt , dt  dt
1
C
2
3
C
= ∫ F1dx + F2 dy + F3 dz
C
EJEMPLO 30. Evaluar
∫ F ⋅ dr , donde F ( x, y, z ) = ( y, 2 x, y ) , y la trayectoria C está
C
definida por h : [ 0,1] → ℜ3 / h ( t ) = ( t , t 2 , t 3 ) .
Solución. Al escribir la integral de línea en la forma cartesiana que definida como de la
siguiente manera
∫ F ⋅ dr = ∫ ydx + 2 xdy + ydz , como ya se conoce una parametrización
C
C
de la curva C, dada por la función vectorial h : [ 0,1] → ℜ3 / h ( t ) = ( t , t 2 , t 3 ) , que la
sustituirla en la integral de línea queda la integral definida en términos del parámetro t
como se muestra a continuación
I = ∫ F ( x, y, z ) ⋅ dr
C
= ∫ ydx + 2 xdy + ydz
C
= ∫ t 2 (1) + 2t ( 2t ) + t 2 ( 3t 2 )  dt
0
1
1
= ∫ t 2 + 4t 2 + 3t 4  dt
0
1
4
3 
1
=  t3 + t3 + t5 
3
5 0
3
34
=
15
Figura 35. Trayectoria descrita de la curva C del Ejemplo 30.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.5.
1) Evalúe la integral de línea donde F ( x, y, z ) = ( − y, x,5 ) y C es la hélice
h : [ 0, 4π ] → ℜ3 / h ( t ) = ( cos t , sent , t ) .
2) Evalúe la integral de línea donde F ( x, y ) = ( Ln ( y ) , Ln ( x ) ) , y C es la curva dada por
g : [ 2, 4] → ℜ2 / g ( t ) = ( 2t , t 2 ) .
3) Sea F ( x, y, z ) = ( x, y, z ) . Evaluar la integral de F a lo largo de las siguientes
trayectorias:
a) p : [ 0,1] → ℜ3 / p ( t ) = ( t , t , t )
b) g : [ 0, 2π ] → ℜ3 / g ( t ) = ( cos t , sent , 0 )
c) j : [ 0, 2π ] → ℜ3 / j ( t ) = ( s ent , 0, cos t )
d) h : [ −1, 2] → ℜ3 / h ( t ) = ( t 2 ,3t , 2t 3 )
4) Evaluar cada una de las siguientes integrales de línea
a) ∫ xdy − ydx ,
donde
C
está
dada
paramétricamente
por
dada
paramétricamente
por
C
f : ℜ → ℜ2 / f ( t ) = ( cos t , sent ) , 0 ≤ t ≤ 2π
b) ∫ xdx − ydy ,
donde
C
está
C
g : ℜ → ℜ3 / g ( t ) = ( cos π t , senπ t , 0 ) , 0 ≤ t ≤ 2
c)
∫ x dx − xydy + dz , donde C es la parábola z = y , y = 0 , de ( −1, 0,1) a (1, 0,1) .
2
C
2
5) Evaluar la integral de campo vectorial F ( x, y ) = ( x, y ) a lo largo de la curva
h : [ 0, 2π ] → ℜ2 / h ( t ) = ( cos3 t , sen3t )
6) Evalúe la integral de línea donde F ( x, y ) = ( 2 y, − s en ( y ) ) y C es un circulo unitario
recorrido en sentido horario desde el punto (1, 0 ) .
7) Evalúe la integral de línea donde F ( x, y ) = ( e x , e y ) y C es la parte de la elipse
x 2 + 4 y 2 = 4 recorrida en sentido horario desde el punto ( 0,1) hasta el punto ( 2, 0 ) .
1.5.1. Propiedades de la integral de línea de un campo vectorial.
a) Linealidad.
Sean las funciones vectoriales F y G definidas
por
F : ℜn → ℜn / F ( X ) = ( F1 ( x1 , x2 ,… , xn ) , F2 ( x1 , x2 ,… , xn ) ,
, Fn ( x1 , x2 ,… , xn ) )
y
G : ℜ n → ℜn / G ( X ) = ( G1 ( x1 , x2 ,… , xn ) , G2 ( x1 , x2 ,… , xn ) ,
, Gn ( x1 , x2 ,… , xn ) )
dos
campos vectoriales integrables sobre la curva C, definida paramétricamente por
h : ℜ → ℜn / h ( t ) = ( h1 ( t ) , h2 ( t ) ,
, hn ( t ) ) , y sean k1 y k2 dos números reales
cualesquiera, entonces se cumple que
∫ ( k F + k G ) ⋅ dr = k ∫
C
1
2
1 C
F ⋅ dr + k2 ∫ G ⋅ dr
C
b) Integral de línea sobre curvas parcialmente suaves. Sea C una curva parcialmente
suave, es decir, una curva definida como la unión de dos o más curvas suaves,
C = C1 ∪ C2 ∪ … ∪ Cn , entonces
∫
C
F ⋅ dr = ∫ F ⋅ dr + ∫ F ⋅ dr +
C1
C2
+ ∫ F ⋅ dr
Cn
Aunque no es una propiedad es importante señalar que pasa cuando se realiza un
cambio en el sentido del recorrido de la curva C. Sea la curva C definida
paramétricamente por h : ℜ → ℜn / h ( t ) = ( h1 ( t ) , h2 ( t ) ,
, hn ( t ) ) , se denota por C − a la
misma curva pero recorrida en sentido contrario al de C, entonces
∫
C−
F ⋅ dr = − ∫ F ⋅ dr
C
Cuando la curva C es una curva cerrada, y ésta se recorre de tal manera que si una
persona camina sobre la trayectoria definida por C, la región encerrada por ésta queda a
la izquierda de la persona, se dice que el sentido de recorrido es positivo, la integral de
línea del campo vectorial F sobre la curva C se denota por
∫ F ⋅ dr , donde aquí se
C
observa cual es el sentido de recorrido de la curva. También se puede utilizar la regla de
la mano derecha para identificar el sentido de recorrido positivo de la curva. Para ello,
con la mano derecha, colocamos los dedos en la dirección del recorrido de la curva, y si
el pulgar apunta hacia arriba, esa es la orientación positiva de la curva.
EJEMPLO 31. Sea F ( x, y, z ) = ( y 3 + 2 xy, x 2 ) , determine la integral de F a lo largo del
perímetro del cuadrado unidad con vértices en los puntos
( −1, −1) , (1, −1) (1,1)
y
( −1,1) , recorrida en sentido positivo.
Solución. En este caso se tiene una trayectoria cerrada, por lo que al aplicar las
propiedades de la integral de línea se obtiene la siguiente expresión
∫ F ⋅ dr = ∫
C
C1
F ⋅ dr + ∫ F ⋅ dr + ∫ F ⋅ dr + ∫ F ⋅ dr
C2
C3
C4
En donde las curvas C1 , C2 , C3 y C4 , son las rectas que se observan en la Figura 36,
C2
C1
C3
C4
Figura 36. Curva C del Ejemplo 31.
Una parametrización para cada una de las curvas, vendrían dadas para C1 por
g1 : [ −1,1] → ℜ2 / g ( t ) = (1, t ) , para C2 por g 2 : [1, −1] → ℜ2 / g ( t ) = ( t ,1) , para C3 por
g3 : [1, −1] → ℜ2 / g ( t ) = ( −1, t ) y para C4 por g 4 : [ −1,1] → ℜ2 / g ( t ) = ( t , −1) , de donde
la integral de línea de la curva C vendría dada por
∫ F ⋅ dr = ∫
C
C1
F ⋅ dr + ∫ F ⋅ dr + ∫ F ⋅ dr + ∫ F ⋅ dr
C2
C3
C4
= ∫ F1dx + F2 dy + ∫ F1dx + F2 dy + ∫ F1dx + F2 dy + ∫ F1dx + F2 dy
C1
= ∫ x 2 dy + ∫
C1
1
C2
(y
C2
3
+ 2 xy ) dx + ∫ x 2 dy + ∫
C3
= ∫ (1) (1) dt + ∫
2
−1
C3
−1
1
C4
((1) + 2t (1)) (1) dt + ∫
3
(y
−1
1
C4
3
+ 2 xy ) dx
( −1) (1) dt + ∫−1 ( (1)
1
2
3
)
+ 2t (1) (1) dt
=0
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.5.1.
1) Evalúe cada una de las siguientes integrales de línea
∫ yzdx + xzdy + xydz , donde C
C
está formada por los segmentos rectilíneos que unen al punto (1, 0, 0 ) con ( 0,1, 0 ) y a
éste con ( 0, 0,1) .
2) Sea F ( x, y, z ) = ( xe2 x ,3x 2 y ) . Determine la integral de F a lo largo del perímetro del
rectángulo con vértices en los puntos ( 0, 0 ) , ( 3, 0 ) ( 3, 2 ) y ( 0, 2 ) , recorrido en sentido
positivo.
1.5.2. Significado físico de la integral de línea de un campo vectorial F.
Otra interpretación física de la integral de línea es cuando la función vectorial V es
campo de velocidades de un fluido, el significado que tiene la integral de línea
∫ V ⋅ T dr
C
es la cantidad de fluido circula a lo largo de la curva C por unidad de tiempo,
en la dirección del vector tangente unitario T, si la curva C es una curva cerrada, la
integral de F sobre esta curva se escribe
∫ V ⋅ T dr
y se le denomina como la integral
C
de circulación de V alrededor d la curva C. Si la función V representa un campo de
velocidades de un fluido, la integral de línea
∫ V ⋅ N dr
se interpreta como el flujo que
C
atraviesa a la región acotada por la curva C por unidad de tiempo, en la dirección del
vector unitario N, y a se le denomina como integral de flujo de V a través de C.
En el caso que un campo vectorial continuo B represente un campo magnético, la
integral de línea
∫ B ⋅ N dr
representa la cantidad de corriente que atraviesa la región
C
R acotada por la curva C, mientras que si la función vectorial E es un campo eléctrico
continuo sobre alguna región R, entonces la integral de línea de
∫ B ⋅ N dr , se interpreta
C
como el flujo del campo eléctrico a través de la región R.
EJEMPLO 32. Sobre una partícula en el plano se aplica un campo de fuerza dado por
F ( x, y ) = ( y 2 + y, 2 xy − e y ) , la trayectoria de dicha partícula se describe por el arco en
el primer cuadrante de la circunferencia x 2 + y 2 = 1 , y luego por la recta x + y = 1 ,
siguiendo el sentido de las agujas del reloj. Determine el trabajo que ejerce el campo de
fuerzas sobre la partícula a través de la trayectoria descrita.
Figura 37. Trayectoria recorrida por la partícula del Ejemplo 32.
Solución. La parametrización de la curva que describe la trayectoria de la partícula
 π
viene dado por C = C1 ∪ C2 , donde C1 : 0,  → ℜ2 / g (θ ) = ( cos θ , senθ )
 2
y
C2 : [ 0,1] → ℜ2 / g ( t ) = ( t ,1 − t ) , la integral de línea para determinar el trabajo ejercido
sobre dicha partícula viene planteada por
W = ∫ F ( x, y ) ⋅ dr
C
= ∫ F ( x, y ) ⋅ dr +
C1
∫ F ( x, y ) ⋅ dr
C2
= ∫ F1 ( x, y ) dx + F2 ( x, y ) dy +
C1
∫ F ( x, y ) dx + F ( x, y ) dy
1
2
C2
π
d
d
x (θ ) ) d (θ ) + F2 ( x (θ ) , y (θ ) )
(
( y (θ ) ) d (θ )
dθ
dθ
0
d
d
+ ∫ F1 ( x ( t ) , y ( t ) ) ( x ( t ) ) d ( t ) + F2 ( x ( t ) , y ( t ) ) ( y ( t ) ) d ( t )
1
dt
dt
= ∫ 2 F1 ( x (θ ) , y (θ ) )
0
π
(
= ∫ 2 ( sen 2 (θ ) + sen (θ ) ) ( − sen (θ ) ) + 2 cos (θ ) sen (θ ) − e
0 
0
2
+ ∫  (1 − t ) + (1 − t ) (1) + ( 2t (1 − t ) ) ( −1)  d ( t )
1 

(
)
sen(θ )
) ( cos (θ )) d (θ )
π
= ∫ 2  − sen3 (θ ) − sen 2 (θ ) + 2 cos 2 (θ ) sen (θ ) − e sen(θ ) cos (θ )  d (θ )
0
0
2
+ ∫ (1 − t ) + (1 − t ) − 2t + 2t 2  d ( t )

1 
π
0
 (1 − t )3 (1 − t )2 2 2 3 
2
1
2

sen (θ ) 
3
3
= cos (θ ) − cos (θ ) − cos (θ ) − e
 +  − 3 − 2 − t + 3 t 
3
3


 1
0
2
 1 1
= [1 − e ] +  − − + 1 − 
3
 3 2
1
= −e
2
EJEMPLO 33. La fuerza en un punto
( x, y , z )
esta dada por F ( x, y, z ) = ( y, z , x ) .
Calcule el trabajo realizado por F ( x, y, z ) sobre una partícula que describe la
trayectoria dada por la curva C : [ 0, 2] → ℜ3 / f ( t ) = ( t , t 2 , t 3 )
Figura 38. Trayectoria recorrida por la partícula del Ejemplo 33.
Solución. El trabajo realizado por la fuerza F viene dado por la integral de línea
∫ F ⋅ dr , como ya se conoce la parametrización de la curva C, que describe la trayectoria
C
de la partícula, se obtiene
W = ∫ F ( x, y, z ) ⋅ dr
C
= ∫ F1 ( x, y, z ) dx + F2 ( x, y, z ) dy + F3 ( x, y, z ) dz
C
= ∫ ydx + zdy + xdz
C
= ∫ t 2 (1) + t 3 ( 2t ) + t ( 3t 2 )  dt
0
2
2
= ∫ t 2 + 2t 4 + 3t 3  dt
0
2
2
3 
1
=  t3 + t5 + t 4 
5
4 0
3
8 64
= + + 12
3 5
412
=
15
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.5.3.
1) La fuerza en un punto ( x, y ) esta dada por F ( x, y ) = ( x 2 + y 2 , xy ) . Determine el
trabajo realizado por F ( x, y, z ) sobre la curva y = x 3 desde el punto ( 0, 0 ) hasta el
punto ( 2,8 ) .
2) La fuerza en un punto
esta dada por F ( x, y, z ) = ( e x , e y , e z ) . Calcule el
( x, y , z )
trabajo realizado por F ( x, y, z ) sobre una partícula que describe la trayectoria dada por
la curva C : [ 0, 2] → ℜ3 / f ( t ) = ( t , t 2 , t 3 )
3) Si el trabajo realizado por el campo de fuerzas F ( x, y, z ) = ( 3 xy, −5 z 2 , x ) para mover
una
partícula
a
lo
largo
de
C : [ 0, t0 ] → ℜ3 / f ( t ) = ( t 2 + 1, t 2 , t ) es
la
curva
C,
dada
paramétricamente
por
154
unidades de trabajo, determine el valor de
3
t0 .
1.5.4. Velocidad tangencial promedio de un fluido.
Si una función V ( x, y, z ) representa un campo de velocidades de un fluido en ℜ3 la
integral de línea
∫ V ⋅ dr , donde C es una curva suave o parcialmente suave, cerrada y
C
recorrida en forma positiva, se puede interpretar como la cantidad neta de giro del
fluido en el sentido de recorrido de la curva C. Se puede aquí observar lo siguiente: si
∫ V ⋅ dr > 0
entonces las partículas del fluido se desplazan en el sentido de recorrido de
C
la curva; si por el contrario
∫ V ⋅ dr < 0 , entonces las partículas del fluido se desplazan
C
en el sentido contrario al del recorrido de la curva C y si el campo vectorial V es
perpendicular a la curva C, entonces
∫ V ⋅ dr = 0 , en este caso el fluido se dice que es
C
irrotacional.
Ahora bien, también es posible determinar la velocidad tangencial promedio de un
fluido sobre la curva cerrada C, o circulación promedio del campo V sobre la curva C
mediante la siguiente integral
V =
1
V ⋅ Tdr
S C∫
En donde S representa la superficie de la región que está acotada por la curva cerrada C.
EJEMPLO 34. Si la velocidad de un fluido está descrita por V ( x, y ) = ( yx, y ) .
Determine la circulación de F a lo largo de la curva C, sabiendo que la curva C es la
circunferencia con centro en el origen coordenadas y con radio 2.
Solución. La circulación de V a lo largo de la curva C, viene dado por la integral de
línea
∫ V ⋅ Tdr ,
la
curva
se
C
puede
parametrizar
como
C
g : ℜ → ℜ2 / g ( t ) = ( 2 cos t , 2 sent ) , t ∈ [ 0, 2π ] , como ya se conoce la parametrización de
la curva C, que describe la trayectoria de la partícula, se calcula la integral de línea de la
siguiente manera:
W=
∫ V ( x, y ) ⋅ dr
C
=
∫ V ( x, y ) dx + V ( x, y ) dy
1
2
C
=
∫
yxdx + ydy
C
2π
= ∫ ( 2 sent )( 2 cos t )( −2s ent ) + ( 2sent )( 2 cos t )  dt
0
2π
= ∫  −8sen 2t cos t + 4 sent cos t  dt
0
2π
 8

=  − sen3t + 2sen 2t 
 3
0
=0
El campo F no realiza trabajo sobre la partícula.
EJEMPLO
35.
Si
la
velocidad
de
un
fluido
está
descrita
por
V ( x, y, z ) = ( x 2 , 2 xy + x, z ) . Determine la circulación de V a lo largo de la curva C,
sabiendo que la curva C es la circunferencia unitaria con centro en el origen de
coordenadas, en el plano z = 0 .
Solución. La curva C puede ser parametrizada por la expresión vectorial
g : ℜ → ℜ3 / g ( t ) = ( cos t , sent , 0 ) , t ∈ [ 0, 2π ] , la integral de línea para calcular la
circulación del fluido se define de la siguiente manera:
W=
∫ V ( x, y, z ) ⋅ dr
C
=
∫ V ( x, y, z ) dx + V ( x, y, z ) dy + V ( x, y, z ) dz
1
2
3
C
=
∫ x dx + ( 2 xy + x ) dy + zdz
2
C
2π
2
= ∫ ( cos t ) ( − s ent ) + ( 2sent cos t + cos t )( cos t ) + ( 0 )( 0 )  dt

0 
2π
= ∫ cos 2 ( t ) sen ( t ) + cos 2 ( t )  dt
0
2π
1 1
 1

=  − cos3 t + t + sen ( 2t ) 
2 4
 3
0
=π
El fluido circula en el sentido contrario al de las agujas del reloj.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.5.4.
1) Si la velocidad de un fluido está descrita por F ( x, y, z ) = ( x 2 , 2 xy + x, z ) . Determine
la circulación de F a lo largo de la curva C, sabiendo que la curva C es la circunferencia
con centro en el origen de coordenadas y radio 1, en el plano z = 0 .
2) Si la velocidad de un fluido está descrita por F ( x, y, z ) = ( x 2 , 2 xy + x, z ) . Determine
la circulación de F a lo largo de la curva C, sabiendo que la curva C es la circunferencia
con centro en el origen de coordenadas y radio 1, en el plano z = 0 .