Hoja 4 PROBLEMA 7 : Las ecuaciones de Lotka-Volterra: dx = ax - axy dt dy = -cy + b xy dt Con a > 0 , c > 0 , a > 0 y b > 0 Pretenden describir la evolución de la población x de una especie (presas) que es cazada por otra especie (predadores) cuya población es y. a) Discute la adecuación del sistema anterior a la descripción del sistema predadorpresa e interpreta el significado de los coeficientes a, c, a , b . - La constante -a- nos indica el crecimiento natural de la población de presas. La constante -c- nos indica el crecimiento natural de la población de depredadores. La cosatante a nos indica la variación de la población de presas debida a la interacción de ambas especies. La constante b nos indica la variación de la población de depredadores debido a la interacción entre las dos especies. Atendiendo al sistema podemos apreciar que sin la interacción entre las dos especies la población de presas aumenta con el tiempo y la población de depredadores disminuye. La interacción hace disminuir la población de presas y aumentar la de depredadores. b) Halla los puntos críticos del sistema y, mediante el análisis del sistema linealizado, discute su tipo y estabilidad. Haz un esquema de las trayectorias del sistema linealizado en las vecindades de los puntos críticos. x=0 ì ax - axy = 0 ü í ý è y=0 î- cy + b xy = 0þ ì x ( a - a y ) = 0ü í ýè î y ( b x - c ) = 0þ c b a y= a x= P(0,0) æc aö P çç , ÷÷ èb a ø Analizamos los puntos: Sistema linealizado: ì x& = ax ü í ý î y& = -cy þ Siendo f(x,y) = - axy ; g(x,y)= b xy P(0,0) Vemos si cumple las condiciones. i) a 0 = - ac ¹ 0 0 -c Por tanto cumple la condición. ii) Las primeras derivadas parciales de f(x,y) y g(x,y) son continuas para todo (x,y). Por tanto cumple la segunda condición. lim lim f (r , s ) lim - a .r. cos s .r .sens f ( x, y ) = = =0 è 2 2 ( x, y ) ® (0,0) x + y r®0 r r®0 r lo cumple iii) lim lim g (r , s ) lim - b .r. cos s .r.sens g ( x, y ) = = = 0 è lo cumple ( x, y ) ® (0,0) x 2 + y 2 r ® 0 r r®0 r Cumple las tres condiciones, por tanto es un punto crítico simple. Aplicamos el método de Euller æ xö æ Aö çç ÷÷ = e mt çç ÷÷ è è yø è Bø mAe mt = ae mt A mBe mt = -ce mt B è a-m 0 = (a - m)(-c - m) = -ac - am + mc + m 2 = m 2 + (c - a)m - ac = 0 0 -c-m (a - c ) ± (c - a ) 2 + 4ac ì m1 = a ü m= =í ýè 2 îm2 = - c þ Punto de silla A continuación se muestra la representación. Se les ha dado un valor a los coeficientes, a=1 ; c=1 Ahora realicemos el mismo proceso para el otro punto crítico. æc aö P çç , ÷÷ èb a ø Antes de analizar si es un punto simple tenemos que cnsiderar el desplazamiento respecto al punto critico anterior. c b a y = v + yo = v + a x = u + xo = u + è ac c a - a (u + )(v + ) b b a ca c a v& = -cv + b (u + )(v + ) a b a u& = au + Operamos: ac aua acv a ca acv - auv =- auv b a b ab b u& = au + v& = - cv - ca b ua b cv b ca b a + b uv + + + = u + b uv a a b ba a El sistema linealizado quedará: ac v b ba v& = u a u& = - siendo : f (u , v) = -auv g (u , v) = b uv Analizamos si es un punto crítico simple: 0 i) - ba a ac b = ac ¹ 0 Lo cumple ii) Las primeras derivadas parciales de f(u,v) y g(u,v) son continuas. Por lo tanto cumple esta condición iii) lim f (u , v) (u , v) ® (0,0) u 2 + v 2 lim g (u , v) (u , v) ® (0,0) u 2 + v 2 = = lim - a .r 2 sens cos s f (r ,s ) = =0 r ®s r r®0 r lim lim g (r , s ) lim b .r 2 sens cos s = =0 r ®s r r ®0 r Lo cumple. Por tanto podemos asegurar que se trata de un punto crítico simple. Aplicamos el método de Euller æuö æ Aö çç ÷÷ = e mt çç ÷÷ èvø è Bø ac mt e B b b a mt = e A a mAe mt = - è mBe mt ac B b è ba mB = A a mA = - è m ba a ac b = - m 2 - ac = 0 -m è m = ±i ac è CENTRO Al analizarlo para el sistema lineal y ver que es un centro nos cabe la duda de si es un centro o un punto de espiral, para ello vamos a visualizar la representación del sistema. Representamos el punto, para ello tomaremos los mismos valores de a y c que para el otro punto crítico ( a=1 y c=1) y los valores de b = 2; a = 2 c) Demuestra que la ecuación general de las trayectorias del sistema no lineal es c ln x - b x + a ln y - ay = const . Dibuja estas trayectorias en el espacio de fases para las distintas condiciones iniciales. Para ello no tenemos mas que calcular la variación población de y respecto a la de x ( dy/dx): dy - cy + b xy = dx ax - axy dy (ax - axy) = dx (-cy + b xy ) Hacemos separación de variables e integramos: dy a - ay - c + bx = dx y x ò dy a - ay - c + bx = ò dx y x a ln y - ay = b y - c ln c + cte à aò è dy dx - a ò dy = b ò dx - c ò y x a ln y - a y - b y + c ln x = cte Pasamos a la representación de las trayectorias, para ello debemos calcular los valores de las variables x, y de forma numérica.