El concepto de medida tiene una larga historia de más de 5000 años, que surge del manejo de longitudes, áreas y volúmenes fundamentalmente y de la necesidad de su cálculo. Estos tres ejemplos particulares de medidas son los que han servido como gu´ıa para sacar a la luz el concepto que detrás de ellos se escondía. Las primeras demostraciones satisfactorias de teoremas relativos a áreas y volúmenes aparecen en el libro de Euclides (300 a.c.?) “Los Elementos”(ver Van Dalen {Monna, p. 78 y Boyer, p. 129). Sin embargo en este libro no hay definición de longitud, área o volumen; Euclides las considera características que puede medir respectivamente en las figuras que si define: Línea es una longitud sin anchura. (Libro I, Def.2). Superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura (Libro I, Def.5). Sólido es lo que tiene longitud, anchura y profundidad (Libro XI, Def.1). Tampoco define que es medir, es una palabra que utiliza no sólo en estas tres “magnitudes”, sino también en los números; por ejemplo en el libro VII, las definiciones 3 y 4 dicen: 3.- Un n´umero es parte de un n´umero, el menor del mayor, cuando mide al mayor. 4.- Pero partes cuando no lo mide. por ejemplo 3 es “parte”de 15 y 6 es “partes”de 15. Las longitudes las daba en comparación con un segmento unidad, las áreas con un cuadrado unidad y los volúmenes con un cubo unidad, de este modo dio los valores correspondientes a figuras simples como polígonos y poliedros y demostró teoremas como el de Pitágoras. Otros autores griegos más que dar la medida de una figura daban resultados del tipo: A y B tienen igual área o volumen. Por ejemplo Arquímedes (287–212 a.c.) atribuye a Eudoxo (408–355 a.c.) la demostración de que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro de la misma base y altura. Esto sin conocer este volumen, para el que hace falta conocer el área del círculo, que descubrió casi 100 años después el propio Arquímedes demostrando que es el de un triángulo rectángulo con un cateto el radio y el otro la longitud de la circunferencia; suyo también es que el volumen de la esfera es 2=3 el volumen del cilindro o que el área de la esfera es la del cilindro circunscrito (ver Boyer, p.177). Para esta última, que demuestra en Sobre la esfera y el cilindro utiliza los axiomas de Euclides junto con cinco principios de los que destacan: 4.- Dos superficies que tienen los mismos límites en un plano son desiguales cuando ambas son cóncavas en la misma dirección y una de ellas está completamente limitada por la otra y por el plano que tiene los mismos límites que esta otra, o cuando una de ellas sólo está parcialmente limitada por la otra y el resto es común. La superficie limitada es la menor. 5.- Dadas dos líneas, dos superficies o dos sólidos desiguales, si el exceso de una de estas figuras sobre la otra se añade a sí mismo un cierto número de veces, se puede superar una u otra de las figuras que se comparan entre sí. Así se mantuvieron mas o menos las cosas durante 2000 años, hasta que en 1883 G. Cantor (1845–1918) dio la primera definición de medida m(A) de un conjunto arbitrario (acotado) A R n . Otros autores como Stolz en 1884 y Harnack en 1885 dan definiciones equivalentes en R. Para ellas la propiedad aditiva de la medida m[A υ B] = m[A] + m[B], para conjuntos disjuntos A y B, se satisfacía si los conjuntos estaban “completamente separados”, pero no en general, pues con sus definiciones un conjunto y su adherencia median lo mismo y por tanto los racionales y los irracionales de [0, 1] median 1, lo mismo que todo [0, 1]. El primero en considerar qué conjuntos A son medibles y dar una definición de su medida fue en 1887 G. Peano (1858–1932), el cual consideró la medida m[A] de sus predecesores (que en el caso del plano definía mediante aproximaciones externas de A con polígonos) y a la que llamó medida exterior y consideró, para A R n ., con R un rectángulo, la medida interior de A como m[R] - m[R A]; definió conjunto medible como aquel cuya medida interna coincide con la externa y demostró que la medida era aditiva. Además explicó la relación existente entre medida e integración, demostrando (ver Pesin, p.38) que una función acotada f : [a; b] ! [0;1), era Riemann integrable si y sólo si el conjunto E de R2 limitado por la gráfica de f y las rectas x = a, x = b e y = 0 era medible, en cuyo caso En 1892 C. Jordan (1838–1922) di´o una definición más simple utilizando una malla de cuadrados de igual lado, en lugar de polígonos, para aproximar el conjunto. Sin embargo estas definiciones eran pobres, pues por ejemplo con ellas los racionales ya no eran medibles. E.Borel (1871–1956) dio, en su doctorado de 1894, el siguiente paso importante considerando la numerable aditividad para sus medidas. Además dio una definición razonable de conjuntos de medida nula, de hecho mientras que para sus antecesores los racionales de [0; 1] medían 1, Borel concluyó que medían menos que cada —y por tanto cero— considerando para un segmento de longitud con arbitrariamente pequeño. Se sabía desde Cantor que todo abierto A R era unión, , a lo sumo numerable de intervalos abiertos In disjuntos. Borel define su medida como la serie y describe la clase de los conjuntos (ahora llamados “borelianos”) que pueden obtenerse a partir de los abiertos, mediante iteraciones en las que se hacen uniones o diferencias numerables de conjuntos de la clase, e indica que para estos conjuntos puede definirse una medida que es “numerablemente aditiva”(i.e. la medida de una unión numerable y disjunta de conjuntos medibles es la suma de sus medidas). La numerable aditividad de Borel frente a la finita aditividad de Peano {Jordan fue una propiedad básica que permitió obtener los resultados fundamentales en la teoría de integración abstracta, teoría que desarrolló fundamentalmente H. Lebesgue (1875–1941) a partir de su tesis de 1902. La numerable aditividad y la integración están muy relacionadas, de hecho la originalidad de Lebesgue no reside tanto en haber extendido la integral de Riemann, como en su descubrimiento —obtenido independientemente por W.H.Young para funciones semicontinuas— del teorema fundamental sobre el paso al límite de la integral, que obtiene como consecuencia de ser la medida numerablemente aditiva. En su Tesis de 1902 Lebesgue observa que por esta razón, diferenciación e integración no podían considerarse operaciones inversas en el contexto, relativamente amplio, de las funciones Riemann integrables. Este fue el motivo fundamental que le llevó a tratar de encontrar una noción de integración nueva, bajo la que derivación e integración sí fuesen operaciones inversas para una clase de funciones más amplia que las Riemann integrables. La idea principal de la integral de Lebesgue consiste en que, a diferencia de lo que ocurre en la integral de Riemann, los puntos se agrupen de acuerdo a la proximidad de los valores de la función a integrar y no de acuerdo a su proximidad en el conjunto de definición de la función, como hacía Riemann. Esto permite la posibilidad de extender, de forma inmediata, el concepto de integral a una clase muy amplia de funciones.