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(TALF-­‐ITIS-­‐C) – Clase 3 – 5 de Octubre de 2010 Ac=vidades de par=cipación de alumnos • 2 Alumnos : Blog de la Asignatura: hIp://talf.blogspot.es/ • 1 Alumno: BiograMa relacionada con la asignatura ACTIVIDADES POR ASIGNAR • Explicar un ejercicio interesante (ver listado CV). Tiene que ser presentado a =empo con el tema. • Explicar como funciona el demostrador de código, explicaciones + ejemplo. • Mostrar un video en inglés e ir traduciendo y explicando (relacionado con la asignatura ! ). Temas de la clase de hoy -­‐ Dudas sobre temas anteriores -­‐ Conjuntos Finitos e Infinitos -­‐ Conjuntos numerables -­‐ Teorema de Cantor, cardinalidad de los números reales Ej. 33 . Sea el monoide (N, +) y sea P={n ∈ N| n=2k con k ∈ N} ¿Es P cerrado para la operación + ? Definición 1.28: Conjuntos equipotenciales (equipotentes) Sean A y B dos conjuntos, decimos que son equipotenciales si ∃ f: A → B | f es biyec=va. Definición 1.29: Conjunto finito Un conjunto A es finito si es vacío o ∃ n ∈ N | { 1, 2,..., n } y A son equipotenciales. Definición 1.30: Cardinal de un conjunto finito no vacío El cardinal de un conjunto finito no vacío A es n , y lo notaremos || A || = n , sii A y { 1, 2, ..., n } son equipotenciales. Definición 1.31: Cardinal del conjunto vacío || ∅ || = 0 . Definición 1.32: Conjunto infinito Un conjunto A se dice infinito sii no es finito. Definición 1.33: Conjunto infinito numerable Un conjunto A es infinito numerable sii A y N son equipotenciales. Definición 1.34: Conjunto numerable, Conjunto no numerable Sea A un conjunto, decimos que es numerable si es finito o infinito numerable. En caso contrario diremos que es no numerable. Proposición 1.35: Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable. Demostración: Un conjunto numerable puede ser finito o infinito numerable. Es trivial que cualquier subconjunto de un conjunto finito es también finito y por tanto numerable. Por otro lado, un subconjunto de un conjunto infinito numerable puede ser finito o infinito. Si el subconjunto es finito entonces es numerable. Nos queda por analizar el úncio caso interesante en que el conjunto y el subconjunto sean infinitos. Entonces: Sea A un conjunto infinito numerable (por medio de la biyección g: N → A ), y sea B un conjunto infinito tal que B ⊆ A (es decir un subconjunto de A). 1) Vamos a definir el mínimo de un conjunto Dado D ⊆ A definimos el mínimo del conjunto D , notado mínimo( D ) , como: mínimo( D ) = g( min{ i ∈N | g(i) ∈D } ) 2) Ahora definimos la función f: N → B como: f(n) = mínimo( B – { f(m) | m < n } ) Es decir, ordenamos de acuerdo a n, agregando ordenadamente el elemento mínimo (usando g) no enumerado hasta el momento. f por construcción es biyec=va, y por tanto B es numerable. Para que quede claro: A es numerable (biyección con N). (A={A1,A2,A3,….}) Para probar que B ⊆ A es también numerable, vamos a definir una sub-­‐secuencia tal que B1= mínimo{ n |n ∈ N, y An ∈ B} B2= mínimo{ n |n ∈ N, n > B1 y An ∈ B} B3= mínimo{ n |n ∈ N, n> B2 y An ∈ B} ….. Entonces tenemos una biyección entre B y N por lo que B es numerable Proposición 1.36: La unión finita de conjuntos numerables es numerable. Demostración: Supondremos que los conjuntos numerables son infinitos y disjuntos, ya que en otro caso la demostración es trivial (finitos) o reducible (no disjuntos). En la demostración usaremos una técnica conocida como machihembrado, que consiste en encontrar una función biyec=va entre el conjunto unión y los naturales ( f: A0 ∪ A1 ∪ ... ∪ Ak → N ) según muestra la figura. La expresión de esta función, para n conjuntos, es: fn(aij ) = nj+i Ejercicio 55: Usando la técnica de machihembrado usada para demostrar que la unión finita de conjuntos numerables es numerable,y suponiendo que tenemos 5 conjuntos infinitos numerables ¿Qué número asignaría la biyección vista en clase al quinto elemento del cuarto conjunto conjunto (a34)? La expresión de esta función, para n conjuntos, es: fn(aij ) = nj+i Proposición 1.37 La unión infinita numerable de conjuntos numerables es numerable Demostración: Para su demostración emplearemos una variante de la técnica de machihembrado. Realizamos la unión infinita numerable de conjuntos numerables y obtenemos una biyección con los naturales según la figura. La expresión de esta función es: f (aij ) =
(i + j) (i + j + 1)
+ j
2
Ejercicio 57: Usando la técnica de machihembrado usada para demostrar que la unión infinita de conjuntos numerables es numerable. ¿Qué número asignaría la biyección vista en clase al tercer elemento del primer conjunto (a02)? (i + j) (i + j + 1)
f (aij ) =
+ j
2
€
Definición 1.41: Cardinal del conjunto de los naturales || N || = ℵ0 ( alef cero ). Teorema de Cantor:
|| N || ≠ || R ||
La cardinalidad del conjunto de los naturales es diferente de la cardinalidad del conjunto de los reales. ⎡⎛ 1 ⎞
⎤
tg ⎢⎜ x - ⎟ ⋅ π ⎥
⎣⎝ 2 ⎠
⎦
En vez de trabajar con todos los reales trabajaremos sólo con el intervalo ( 0, 1 ) , que es equipotencial con R . Esto lo podemos comprobar viendo que la función: €
⎡⎛ 1 ⎞
⎤
tg ⎢⎜ x - ⎟ ⋅ π ⎥
⎣⎝ 2 ⎠
⎦
Que establece una biyección entre ( 0, 1 ) y R . €
x La demostración de que ( 0, 1 ) no es numerable la realizaremos por reducción al absurdo. Así, supongamos que el intervalo ( 0, 1 ) es equipotencial con N . En ese caso habrá una función f: N → ( 0, 1 ) que es biyec=va. Si denominamos ri a f(i) tenemos: 0 → f (0)=r0 1 → f (1)=r1 2 → f (2)=r2 . . Si esto es así, podemos afirmar que todos los reales del intervalo estarán en la siguiente lista: r0 = 0’ d00 d01 d02 d03 ... r1 = 0’d10 d11 d12 d13 ... r2 = 0’d20 d21 d22 d23 ... r3 = 0’d30 d31 d32 d33 … . . r0 = 0’ d00 d01 d02 d03 ... r1 = 0’d10 d11 d12 d13 ... r2 = 0’d20 d21 d22 d23 ... r3 = 0’d30 d31 d32 d33 … . . donde cada dij (con i, j ∈ N ) es el j-­‐ésimo dígito de la expresión decimal completa del real ri (el i-­‐ésimo real de la lista). Para los reales con dos posibles expresiones decimales (infinitos ceros o nueves hacia la derecha) se escogerá la de infinitos nueves hacia la derecha. (Es decir para 0.5 usaremos 0.4999999999….) (Probar que 0.999999… = 1) Sea r = 0’d0 d1 d2 d3 ... ∈ ( 0, 1 ) donde ∀i ≥ 0 di = 4 si dii ≠ 4 di = 5 si dii = 4 (dii es el i-­‐ésimo dígito de la diagonal de la lista anterior). Por lo tanto: di ≠ dii ∀i ≥ 0 ⇒ r ≠ ri ∀i ≥ 0 ⇒ r no está en la anterior lista. Pero esto contradice la suposición inicial, ya que en esta lista estaban todos los elementos del intervalo ( 0, 1 ) , de donde concluimos que f no es biyec=va y por tanto R no es equipotencial con N . Definición 1.42: Cardinal del conjunto de los reales || R || = ℵ1 ( alef uno ). Definición 1.43: Transfinitos Diremos que ℵi ( alef i ) es el i-­‐ésimo transfinito. El conjunto { ℵi | i ∈ N } es el conjunto de todos los transfinitos. Definición 1.44: Cardinal de un conjunto infinito El cardinal de un conjunto infinito A es ℵi sii es equipotencial con un conjunto de cardinal conocido ℵi , y lo notaremos || A || = ℵi , con i ∈ N . Ejemplo 1.45: Los tres conjuntos del ejemplo 1.40 =enen cardinal ℵ0 , ya que existe una biyección entre cada uno de ellos y los naturales. El intervalo ( 0, 1 ) =ene cardinal ℵ1 , ya que existe una biyección entre este conjunto y el de los reales. Una función para establecer esa biyección es f(x) = tg
[ (x-­‐0’5)·∙π ] . El intervalo ( 0, 2 ) =ene cardinal ℵ1 , ya que existe una biyección entre este conjunto y el intervalo ( 0, 1 ) , del cual sabemos que su cardinal es ℵ1 . Una función para establecer esa biyección es f(x) = 2x . Trabajar con conjuntos infinitos es algo bastante contraintui=vo. Quizás lo mejor es imaginarse el cardinal de un conjunto infinito como una medida de su “densidad”. Ya hemos visto que al cardinal de N se le denomina Alef Cero (ℵ0), que es el primer infinito (el infinito “menos denso”). También || Q || = ℵ0 ya que a/b se puede considerar como otra notación para ( a, b ) ∈ N × N . Al cardinal de R se le denomina también potencia del conYnuum ( c ), pero denominarlo así nos llevaría a la hipótesis del conYnuum, la cual queda fuera de los obje=vos docentes de este libro. Señalar por úl=mo dos resultados que necesitaremos, ℵ1 -­‐ ℵ0 = ℵ1 y 2ℵ0 = ℵ1 . 1.3 Técnicas Fundamentales de Demostración Vamos a estudiar tres técnicas fundamentales de demostración: a) el principio de inducción, b) el de los casilleros, y c) el de diagonalización. Para demostrar su validez u=lizaremos la técnica de reducción al absurdo. a) Principio de inducción Si A es un conjunto de números naturales que cumple: a) 0 ∈ A; b) { 0, 1, ..., n } ⊆ A ⇒ n + 1 ∈ A ∀n∈N . entonces A = N. Demostración : Sea A ⊆ N que cumple a) y b). Supongamos que A ≠ N. A ≠ N ⇒ N -­‐ A ≠ ∅ ⇒ ∃m ∉ A | m = min ( N – A ) ⇒ m ≠ 0 ⇒ {0, 1, ..., m-­‐1} ⊆ A ↑ por a) ⇒ m ∈ A ⇒ A = N ↑ ↑ por b)  La inducción se u=liza para probar afirmaciones de la forma: “Para todos los números naturales, la propiedad P es verdadera”. El principio se aplica al conjunto A = { n | P es verdadera para n } = { n | P(n) } de la siguiente forma: 1º ) Caso Base (C.B.): Demostramos P(0) ( a veces el C.B. es P(n) con n>0 ) 2º ) Hipótesis de Inducción (H.I.): Suponemos que ∃n ≥ 0 | P(i) ∀i = 0, 1, ... , n 3º ) Paso de Inducción (P.I.): Demostramos, usando la H.I., P(n+1) por el principio de inducción A = N , es decir, ∀n P(n) . Ejemplo 1.46: Demostrar u=lizando la técnica de inducción que (n 2 + n)
1+ 2 + ... + n =
2
∀n ≥ 0: C.B.: Es trivial para n = 0 H.I.: Suponemos que ∃n ≥ 0 tal que con m ≤ n €
P.I.: Demostramos para n+1 1+ 2+ ... + n+ ( n+ 1)= (1+ 2+ ...+ n )+( n+ 1) ⇒ ↑ por H.I. n 2 + n + 2n + 2 n 2 + 2n +1+ n +1 (n +1) 2 + (n +1)
=
=
2
2
2
€