Carrera: Profesorado en Física. Materia: MATEMÁTICA Titular: Dra. Godoy, Antonia E. Adscripto: Prof. Skrypczuk, René Composición de Funciones. Existe otra forma de formar nuevas funciones a partir de las que ya se tienen, a esto se le da el nombre de composición de funciones. f: R R / f (x) = 2 x + 1 g: R R / g(x) = - 2 x + 3 y Tenemos un valor específico en el dominio de f, x = 1. Entonces f (3) = -3. Ahora tomamos este valor de imagen y la utilizamos como valor de dominio para g, con lo cual se produce: g (3) = -3. Esto se puede condensar de la manera siguiente: R R g (f (1))= g (3) = - 3 g f 1 R 2 3 Fig 10 Si tomamos otro valor de x = - 1/2 tenemos: g (f (- 1/2))= g (0) = 3 Esto se lee: “g de f de (-1/ 2 )” Si se intercambian los papeles de las funciones f y g, tomando los mismos valores de x: Aquí observamos que para x = 1 f (g (1))= f (1) = 3 para x = - 1/2 f (g (- 1/2))= f (4) = 9 g (f (x)) f (g (x)) y f (g (x)) g (f (x)) En general g (f (x)) f (g (x)) Los conceptos anteriores para unos valores específicos de x se pueden expresar en función de cualquier x aceptable. Así, al usar f (x) = 2 x + 1 y g(x) = - 2 x + 3 obtenemos: g (f (x)) = g (2 x + 1) = -2 (2 x + 1) + 3 = - 4 x + 1 1 Nos referimos a esta nueva correspondencia entre el valor de x del dominio y el valor (- 4 x + 1) de la imagen como la función compuesta de g por f ( o la composición de g por f). Esta función compuesta se denota por: gof Es decir: Para las funciones dadas, f y g, formamos la función compuesta de g por f, cuyos valores de imagen (g o f) (x) quedan definidas por: (g o f) (x) = g (f (x)) = - 4 x + 1 Puede ser útil para recordar la construcción de las funciones compuestas observar el siguiente esquema: f g x f(x) g (f (x)) = (g o f) (x) El dominio de g o f consistirá en todos los valores x del dominio de f que cumplan con la condición de que f(x) esté en el dominio de g. Así, por ejemplo, si f (x) = f (x) = 1 x2 g (x) = x 1 x2 tiene como dominio cada x 2, en tanto que el dominio de consta de cada x 0, el dominio de (g o f) (x) = fracción y (g o f) (x) = g (f (x)) = tenemos que Como 1 x2 g (x) = x 1 contendrá a cada x 2 con la cual resulte positivo la x2 1 ; es decir todo x 2. x2 En general podemos decir que: Dadas las funciones f: A B y g: B C, la función compuesta de g por f, denotada mediante g o f , es la función g o f: A C definida por (g o f) (x) = g (f (x)) xA 2 Para recordarlo, graficamos: B A C g f Fig.11 gof Ejemplo 16: Formar las funciones compuestas f o g y g o f y señale sus dominios, siendo f (x) = Solución: 1 x 1 y g (x) = 2 (f o g) (x) = f (g (x)) = f ( x ) = 1 x 2 1 = x 1 x 1 El dominio de f o g excluye a x 0, ya que cualquier x de esta clase no está en el dominio de g. Además, excluye a x = 1, porque g (1) = 1, que no está en el dominio de f. Por lo tanto, el dominio de f o g es x 0 y x 1. Por otra parte, g o f está dada por 1 1 (g o f) (x) = g (f (x)) = g 2 = 2 x 1 x 1 1 x2 1 El dominio de g o f excluye a x = 1, porque estos valores no se hallan en el dominio de f. Además, excluye al intervalo -1 x 1, pues los valores negativos de f (x) no están en el dominio de g. En consecuencia, se observa que el dominio de g o f es x -1, o bien: x 1. Función inversa Toda función f: A B es una relación. Ahora, cabe preguntarse si la relación inversa es una función. En general, la respuesta es negativa por ejemplo f: R R 0 / f (x) = x 2 Si se intercambian las variables de la ecuación para y, tenemos y = x . y=x 2 obtenemos x=y2 donde resolviendo Así g: R 0 R / g (x) = x es la relación inversa, que no es función, porque para cada valor de x obtenemos dos imágenes. Sea ahora, el siguiente caso: f: R R / de y = x 3 haremos: x=y3 y= 3 x f (x) = x 3 entonces: 3 g: R R / g (x) = 3 x Hemos comenzado por la función biyectiva f (x) = y = x 3 , al intercambiar las variables llegamos a g (x) = y = 3 x que también es biyectiva.. Ahora, si formamos las compuestas: gof y fog observamos que: (f o g) (x) = f (g (x)) = f ( 3 x ) = x = iR (g o f) (x) = g (f (x)) = g (x 3) = x = iR en cada caso, hemos obtenido el mismo valor x con el que empezamos; sea cual sea el efecto de una de las funciones sobre el valor x, la otra lo anula. Siempre que dos funciones actúan mutuamente de esta manera decimos que son funciones inversas o que cualquier función es inversa de la otra. Definimos: La función f: A B admite inversa si existe g: B A tal que f o g = iB y g o f = iA Denotamos: g (x) = f -1 (x) Nota: La expresión f -1 (x) no representa una potencia negativa, sino que esa función, con su regla de definición, es inversa de la función f (x). Retomando la función f (x) = x 2 vemos que, en el caso de hacer una restricción del dominio de f a R 0 , es decir, si consideramos f: R 0 R 0 / f (x) = x 2 tenemos g: R 0 R 0 / g (x) = x que si es una función. Si graficamos las dos funciones en un mismo sistema de ejes coordenados obtenemos curvas simétricas con respecto a un eje de simetría, dado por y = x. 4