Flujo Compresible en Conductos de Área Variable

Lección
Flujo Compresible
en Conductos
de Área Variable
Pedro Javier Gamez-Montero
Dpt. Mecánica de Fluidos
Universitat Politècnica de Catalunya
1
pjgm-abr’07
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Índice y Objetivos Específicos
‰
‰
‰
Índice
Objetivos
Específicos
2
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Introducción
Difusores e inyectores
Ondas de choque normales
‰ Aplicar la ecuación de continuidad y Euler para obtener la
expresión de la variación de la velocidad, presión y superficie en
función del número de Mach
‰ Interpretar esta expresión desarrollada para flujo subsónico y
supersónico para difusores e inyectores
‰ Describir la condición de bloqueo
‰ Explicar el concepto de onda de choque
‰ Reconocer las expresiones de la relación antes y después de la
onda de choque en función del número de Mach antes de la onda
de choque
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Perspectiva del Temario
PROPIEDADES
Tema I
ESTÁTICA
Tema II
CINEMÁTICA
Tema III
PRINCIPIOS BÁSICOS
Tema IV
ANALISIS DIMENSIONAL
Tema V
REYNOLDS ALTOS
Tema IX
TURBULENCIA
Tema VII
FLUJO EXTERNO
Tema X
CAPA LÍMITE
Tema VIII
COMPRESIBLE
Tema XI
3
REYNOLDS BAJOS
Tema VI
TUBERÍAS
Tema XII
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
pjgm-abr’07
Flujo Isentrópico con Cambios de Área
Combinando las relaciones de flujo isentrópico y/o adiabático con la ecuación de continuidad
se pueden estudiar problemas prácticos de flujos compresibles.
En un primer análisis, se hace la aproximación de flujo unidimensional.
Flujo Real
y
Flujo Unidimensional
v ( x, y )
x
h( x )
y
x
v( x )
Área A( x )
Radio de curvatura
de la pared R( x )
En un flujo real, se cumple la condición de no deslizamiento en la pared y su perfil de
velocidades v ( x , y ) varía a través de la sección del conducto. Sin embargo, si las variaciones
de área son pequeñas y el radio de curvatura de la pared es grande,
dh
<< 1
dx
h( x ) << R( x )
y el flujo es aproximadamente unidimensional y la única variable dimensional importante es el
eje x del conducto.
4
pjgm-abr’07
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Flujo Isentrópico con Cambios de Área
En cualquier punto x se cumple, para flujo estacionario unidimensional, la ecuación de
Continuidad:
ρ ( x )v ( x ) A( x ) = m& = Cte
Si derivamos esta ecuación:
vAdρ + ρvdA + ρAdv = 0
y dividiendo por el caudal másico: dρ
ρ
+
dA dv
+
=0
A v
Esto significa que la variación relativa de cualquiera de las tres cantidades implica una
variación en sentido contrario de, al menos, una de las otras dos.
Para ver como ocurre esto, consideremos la Ecuación de Euler (menospreciando la fricción)
para la dirección x, estacionaria y sin el término de la gravedad:
v
1 dp
dv
=−
dx
ρ dx
dividiendo por
v2
dv
1 dp
=−
v
ρ v2
Y, por otro lado, de la expresión de la velocidad del sonido:
c=
5
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dp
⇒ dp = c 2dρ
dρ s
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Flujo Isentrópico con Cambios de Área
Combinando las dos expresiones anteriores:
(1)
1 dp
dv
=−
v
ρ v2
dp = c 2dρ
dv
1 c 2dρ
1 c2
1
=−
=−
dρ = − Ma 2dρ
2
2
v
ρ v
ρ {
ρ
v
Ma 2
dρ
ρ
= − Ma 2
dv
v
Introduciendo esta última expresión en la ecuación de Continuidad, obtenemos:
dρ
ρ
dρ
ρ
+
dA dv
+
=0
A v
= − Ma 2
dv
v
− Ma 2
dv dA dv
+
+
=0
v
A v
dv
1
dA
=
(2)
2
v Ma − 1 A
Finalmente, igualando (1) y (2):
1
1 dp
dv
dA
=
=−
2
v Ma − 1 A
ρ v2
La inspección de esta ecuación, sin llegar a resolverla, nos revela un aspecto fascinante de
los flujos compresibles: las variaciones de las propiedades cambian de signo al pasar de flujo
subsónico a supersónico debido al término
2
Ma − 1
6
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Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Flujo Isentrópico con Cambios de Área
1
1 dp
dv
dA
=
=−
v Ma 2 − 1 A
ρ v2
Geometría del Conducto
dA > 0; A ↑
Subsónico Ma<1
1 dA
2
A
Ma
−31{
1
424
+
−
14243
−
Supersónico Ma>1
dv
<0
v
1 dp
>0
ρ v2
1 dA
2
A
Ma
−31{
1
424
+
+
14243
+
v ↓⇔ p ↑
v ↑⇔ p ↓
Difusor subsónico
1 dA
2
A
Ma
−31{
1
424
−
−
14243
+
dA < 0; A ↓
Difusor supersónico
dv
>0
v
1 dp
<0
ρ v2
−
v ↓⇔ p ↑
Inyector supersónico
Inyector subsónico
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dv
<0
v
1 dp
>0
ρ v2
1 dA
2
A
Ma
−31{
1
424
−
+
14243
v ↑⇔ p ↓
7
dv
>0
v
1 dp
<0
ρ v2
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Flujo Isentrópico con Cambios de Área
¿Qué ocurre con el punto sónico Ma = 1? Como una aceleración infinita es físicamente
imposible, dv
1
dA
1 dp la ecuación indica que dv sólo puede ser finito si
=
=−
dA = 0.
Esto es, en un mínimo de área (garganta) o en un
2
ρ v2
v Ma − 1 A
máximo.
Sección
Convergente-Divergente
Sección
Divergente-Convergente
Ma < 1
Ma = 1
Subsónico
Subsónico
Subsónico
Supersónico
Amin
Supersónico Ma > 1
Supersónico
garganta
Amax
La garganta o sección convergente-divergente puede acelerar
suavemente un flujo subsónico hasta hacerlo supersónico.
Ésta es la única forma de conseguir un flujo supersónico a
partir de la expansión de un gas contenido en un depósito.
La sección en vientre no puede; el
número de Mach se aleja de la
condición sónica en lugar de acercarse
a ella
Aunque un flujo supersónico aguas abajo de la tobera exige una garganta sónica, el recíproco
no es cierto: un gas compresible puede atravesar la garganta sin alcanzar condiciones sónicas
8
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Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Flujo Isentrópico con Cambios de Área
Usando las relaciones de gas perfecto y flujo isentrópico podemos convertir la ecuación de
Continuidad en una expresión algebraica que relacione el número de Mach con el área.
En condiciones críticas o sónicas, el flujo másico sigue siendo el mismo (aunque no tienen por
que darse en el conducto):
A ρ ∗ v∗
=
A∗ ρ v
ρvA = ρ ∗v ∗ A∗
y que puede ser expresada en función de
Compresible):
γ y Ma (ver lección Introducción al Flujo
1
1
ρ ∗ ρ ∗ ρ 0  2  (γ −1)  γ − 1 2  (γ −1)
Ma 
=
=
 1 +
2
ρ ρ0 ρ  γ + 1 

1
1
1 c ∗ c0
1 T ∗ T0
1  2 2  γ −1
v ∗ c∗ c c∗
2
= =
=
=
=
Ma 2 

 1 +
2
v
v v c Ma c0 c Ma T0 T Ma  γ + 1  

De su combinación se obtiene:
Para el caso del aire
1  2 + (γ − 1)Ma 2 
A
=


γ +1
A∗ Ma 

9
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1 ( γ +1 )
2 ( γ −1 )
γ = 1.4
(
A
1 2 + 0.4Ma 2
=
∗
1.728
A Ma
)
3
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Flujo Isentrópico con Cambios de Área
Representando la expresión:
(
A
1 2 + 0.4Ma 2
=
1.728
A∗ Ma
)3
El área mínima en un flujo isentrópico en un conducto se sitúa en la garganta o área crítcia (o
sónica)
En muchos flujos no llegan a darse las condiciones sónicas y por tanto el flujo es subsónico o,
más raramente, supersónico en todo el conducto.
10
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Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Flujo Isentrópico con Cambios de Área
Si se conoce la relación de
áreas, ¿cómo calcular Ma?:
Ma subsónico
11
(
(
)
)
(
A
1 2 + 0.4Ma 2
=
∗
1.728
A Ma
 1 + 0.27 A A∗ − 2
A

1.34 < ∗ < ∞
∗

A
≈  1.728 A A 0.45
A

 A
1.0 < ∗ < 1.34
1 − 0.88 ln A∗ 
A
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)3

A
 A
2
1.0 < ∗ < 2.9
 1 + 1.2 ∗ − 1
A
A


1
≈
2 5
A
216 A − 254 A  3 
2.9 < ∗ < ∞
 ∗ 
∗

A
A
A




1
Ma supersónico
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Flujo Isentrópico con Cambios de Área
Bloqueo
Veamos el cociente inverso de la ecuación de Continuidad:
A ρ ∗ v∗
=
A∗ ρ v
A∗ ρ v
=
A ρ ∗ v∗
Gasto másico por unidad de área
en cualquier sección comparado
con el de condiciones críticas
A*
A
1
0
Nº Mach
1
α
Vemos que este cociente inverso pasa de cero para Ma = 0 a uno para Ma = 1, y vuelve
luego a cero para grandes Ma. Así para condiciones de remanso dadas, el gasto másico
máximo que puede atravesar un conducto se da cuando en la garganta hay condiciones
críticas o sónicas.
Se dice entonces que el conducto está bloqueado y no puede haber un gasto másico
mayor a no ser que se agrande la garganta. Si la garganta se constriñe aún más, el gasto
másico a través del conducto debe disminuir.
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Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Flujo Isentrópico con Cambios de Área
De nuevo, tomando las ecuaciones ya derivadas en la lección Introducción al Flujo
Compresible, se determina el gasto másico máximo:
1
1
 2  (γ −1) ∗  2γ
2
m& max = ρ ∗ A∗v ∗ = ρ 0 
RT0 
 A
 γ + 1
 γ +1

Para el caso del aire
γ = 1.4
m& max = 0.6847 A∗ ρ 0 ( RT0 )2 =
1
13
0.6847 p0 A∗
( RT0 )
1
2
(Ec. A)
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La Onda de Choque Normal
En flujo supersónico pueden ocurrir variaciones irreversibles ( ∆s ≠ 0 ) de las propiedades del
flujo en un espacio muy pequeño, de forma que pueden ser consideradas discontinuidades.
Estas discontinuidades se conocen como ondas de choque.
Consideremos que los puntos 1 y 2 son, respectivamente, antes y después de la onda de
choque. Para simplificar, vamos a suponer que ésta es inmóvil. Así, el punto 1 está aguas
arriba (flujo antes de llegar a la onda de choque) y el punto 2 está aguas abajo (flujo después
de pasar a través de la onda de choque).
Procedemos a calcular de forma parecida al cálculo
de la velocidad del sonido.
ρ1v1 = ρ 2v2 = Cte con A1 ≈ A2
Continuidad:
Cantidad de Movimiento:
p1 − p2 = ρ 2v22 − ρ1v12 con A1 ≈ A2
Energía (sin fricción):
h1 + 12 v12 = h2 + 12 v22 = h0
Gas perfecto:
p1
p
= 2
ρ1T1 ρ 2T2
Calor específico: h = c pT
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γ = Cte
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
La Onda de Choque Normal
Los primeros análisis serios de estas relaciones se deben a W.J.M.
Rankine (1870) y A. Hugoniot (1887), de ahí su nombre de
relaciones de Rankine-Hugoniot.
Si suponemos conocidas las condiciones aguas arriba, en el punto
1, las 5 ecuaciones anteriores permiten calcular las 5 incógnitas:
p2 , v2 , ρ 2 , h2 , T2
Eliminando las velocidades de las ecuaciones anteriores, se obtiene
la relación de Rankine-Hugoniot:
h2 − h1 =


1
( p2 − p1 ) 1 + 1 
2
 ρ 2 ρ1 
William John Macquorn Rankine
(1820-1872)
Ingeniero y físico escocés
Si el gas es perfecto, la entalpía se relaciona con la temperatura, la presión y la densidad
mediante:
γp
h = c pT =
(γ
− 1)ρ
y tras unas cuantas operaciones, se llega a la relación:
p2
ρ 2 1 + β p1
γ +1
=
con β =
ρ1 β + pp2
γ −1
1
15
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Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
La Onda de Choque Normal
Este proceso no es isentrópico. Si hubiese sido isentrópico, la
relación entre variaciones de presión y de densidad habría sido:
1
ρ 2  p2  γ
= 
ρ1  p1 
De hecho, se puede calcular la variación de entropía que se produce en una onda de
choque, suponiendo, como siempre, que el gas ideal, mediante:
  β + p 2 γ 
 p  ρ γ 
s2 − s1
p
p1  
2
1
= ln     = ln  2 
 p1  1 + β p2  
cv
 p1  ρ 2  
p1  
 

16
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Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
La Onda de Choque Normal
De la gráfica anterior, se observa que la variación de la entropía es negativa cuando la
presión decrece al atravesar la onda. Esto viola la segunda ley de la termodinámica. Por
tanto, una onda de choque en la que p2 < p1 (rarefacción) es imposible en un gas perfecto,
ya que esto implicaría una disminución de la entropía.
En general, las ondas de choque son procesos, aunque adiabáticos, no isentrópicos.
Sólo para ondas muy débiles p2 ≈ p1 se pueden considerar isentrópicos.
En una onda de choque normal las propiedades a través de la onda son únicamente
funciones de γ y Ma aguas arriba, Ma1
ρ1v1 = ρ 2v2 = Cte
p1 − p2 = ρ 2v22 − ρ1v12
Eliminando
h1 + 12 v12 = h2 + 12 v22
ρ 2 y v2
y con h = c pT =
(γ
γp
se obtiene:
− 1)ρ

p2
1  2 ρ1v12
=
− (γ − 1)

p1 γ + 1  p1

Dado que para un gas perfecto, la relación entre presión dinámica y presión estática se
puede expresar de forma adimensional en función de γ y Ma :
ρ1v12
p1
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=
v12
γv 2 γv 2
= 1 = 21 = γMa12
RT γRT c
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
La Onda de Choque Normal
Así, es posible expresar la relación de presiones antes y después de la onda de choque en
función de γ y Ma en el punto 1:
p2 2γMa12 − (γ − 1)
(3)
=
p1
γ +1
p
2
Es importante observar que, para cualquier valor de γ , si se debe tener p1 > 1 de forma
que el proceso sea real, debe cumplir que Ma1 > 1 .
Por otro lado, es posible deducir una expresión que relacione el número de Mach antes y
después de la onda de choque.
ρv 2 = ρc 2 Ma 2 = ρpMa 2
Ma =
v
c
c= γ
p1 − p2 = ρ 2v22 − ρ1v12
p
ρ
Igualando (3) y (4):
Ma 22 =
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p2 1 + γMa12
=
(4)
p1 1 + γMa 22
(γ − 1)Ma12 + 2
2γMa12 − (γ − 1)
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
La Onda de Choque Normal
Se pueden obtener numerosas relaciones operando con estas ecuaciones para obtener las
relaciones para la variación de las propiedades de un gas perfecto a través de una onda de
choque normal:
(γ + 1)Ma12 = v1
ρ2
=
ρ1 (γ − 1)Ma12 + 2 v2
T2
2γMa12 − (γ − 1)
= 2 + (γ − 1)Ma12
T1
(γ + 1)2 Ma12
[
]
γ
1
(γ −1 )
(γ + 1)  (γ −1)
p02 ρ 02  (γ + 1)Ma12  
=
=

2
p01 ρ 01  2 + (γ − 1)Ma1   2γMa12 − (γ − 1)
A2∗ Ma 2  2 + (γ − 1)Ma12 
=


A1∗ Ma1  2 + (γ − 1)Ma 22 
(12 )(γ +1)(γ −1)
Todas estas relaciones también están tabuladas.
19
pjgm-abr’07
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Toberas Convergentes y Divergentes
Tobera Convergente
p0 :Presión de
remanso en el
depósito
aguas arriba
pa : Presión ambiente
aguas abajo
p0 < pa
ps : Presión
en el chorro
de salida
Combinando las relaciones de flujo isentrópico y ondas de choque
normales con el concepto de bloqueo sónico, se puede indicar las
características de las toberas convergentes y divergentes.
Si pa es moderadamente baja, la presión en la garganta
es mayor que el valor crítico p*, la cual haría la garganta
sónica. El flujo es subsónico en toda la tobera y la presión
ps en el chorro de salida es igual a la presión ambiente pa
m& isentropico < m& max
(puntos a y b)
La garganta es sónica, el chorro de salida es sónico.
pa = p∗ ⇒ ps = pa
y
m& max
(Ec. A)
(punto c)
Flujo aguas arriba de la garganta es subsónico y obedece
a las relaciones isentrópicas basada en la relación A(x)/A*
Cuando pa < p*, la tobera ya no responde porque el flujo
está bloqueado a su valor máximo. La garganta sigue
siendo sónica con:
p = p∗ m& max (puntos e y d)
s
La distribución de presiones es la misma que en el caso c.
A la salida el chorro se expande supersónicamente y la
presión baja de p* hasta pa .
Al ser supersónico, el chorro no puede enviar ninguna
señal aguas arriba para variar las condiciones de bloqueo
del flujo en la tobera.
20
Flujo casi estacionario: depósito grande o alimentado por
compresor y cámara de descarga grande o bomba de
vacío.
pjgm-abr’07
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Toberas Convergentes y Divergentes
Tobera Convergente-Divergente
pg :Presión en
la garganta
Si se reduce la presión pa , pueden suceder las situaciones:
Caso AB: La presión ambiente no es lo suficientemente
baja como para provocar flujo sónico en la garganta, y el
flujo es subsónico en todo la tobera. La distribución de
presiones se calcula a partir de las relaciones isentrópicas
subsónicas con cambios de área. La presión de salida es
ps = pa y el chorro es subsónico.
Caso C: La relación de áreas As/Ag es igual a la crítica
As/A*. La garganta se hace sónica y el gasto másico
alcanza su máximo. El resto de la tobera es subsónica,
incluyendo el chorro de salida, y ps = pa .
Caso H: La presión pa es tal que pa / p0 corresponde
exactamente con la relación de áreas críticas As/A* para
un Ma supersónico. El flujo es la sección divergente es
enteramente supersónico, incluyendo el chorro de salida,
y ps = pa . Esta situación se denomina tobera adaptada y
corresponde a la presión de diseño en un motor de un
cohete.
21
pjgm-abr’07
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Toberas Convergentes y Divergentes
Tobera Convergente-Divergente
pg :Presión en
la garganta
Si se reduce la presión pa , pueden suceder las situaciones:
Caso DEF: En los casos entre C y H supongamos que la
presión vale pa ; la teoría del flujo isentrópico indica que
no es posible sin producirse una singularidad, ya que la
garganta continua estando bloqueada. Sólo se puede
hacer ps = pa mediante una onda de choque normal en el
lugar adecuado de la sección divergente, dando lugar a
un difusor subsónico que lleve la presión al valor correcto.
El gasto másico sigue siendo máximo.
En el caso F la onda de choque normal se ha trasladado
exactamente a la sección de salida.
Caso G: Ninguna onda de choque normal es capaz de
producir la expansión necesaria, y por ello, el flujo se
comprime en el exterior mediante una serie compleja de
ondas de choque oblicuas hasta que se alcanzan pa .
Caso I: La presión pa es menor que la presión de diseño,
curva H, pero la tobera está bloqueada y no responde. El
chorro de salida se expande en una serie compleja de
ondas supersónicas hasta que se alcanza la baja presión
ambiente.
Nótese que para pa menor que la del caso C, el flujo en la
tobera es supersónico y por tanto la garganta no puede
recibir ninguna señal del exterior. El flujo permanece
bloqueado y la garganta no tiene información de las
condiciones exteriores.
También conviene advertir que en este ana´sisi no se
tiene en cuenta el gradiente adverso de presión que
puede producir separación de la capa límite en la pared.
22
pjgm-abr’07
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Conclusiones
Conclusiones
23
pjgm-abr’07
‰ Se ha aplicado la ecuación de continuidad y Euler para obtener
la expresión de la variación de la velocidad, presión y superficie
en función del número de Mach
‰ Se ha interpretado esta expresión desarrollada para flujo
subsónico y supersónico para difusores e inyectores
‰ Se ha descrito la condición de bloqueo
‰ Se ha explicado el concepto de onda de choque
‰ Se han expuesto las expresiones de la relación antes y
después de la onda de choque en función del número de Mach
antes de la onda de choque
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable
Próxima Lección
En la próxima lección, Flujo Viscoso Incompresible en Tuberías, veremos:
Índice
‰
24
pjgm-abr’07
‰
La ecuación de Darcy-Weisbach
‰
Flujo laminar
‰
Flujo turbulento en tubería lisa
Flujo turbulento en tubería rugosa
Mecánica de Fluidos – Flujo Compresible en Conductos de Área Variable