ver ejercicio

66. Una línea de carga positiva se forma dentro de un semicirculo de radio r=60cm como se
muestra en la figura. la carga por unidad de longitud a lo largo del semicirculo se define por medio
de la expresión λ=λo.cosθ. La carga total en el semicirculo es 12µC. Calcule la fuerza total en
una carga de 3µC situada en el centro de curvatura.
Inicialmente consideramos elementos infinitesimales de carga
dQ:
dQ=λ.dl=λo.cosθ.dl
puesto que el elemento diferencial dl es igual a Rdθ, al
integrar:
π
Q = ∫ λ0 . cos θdl =
0
π
∫
0
λ0 . cos θ.R.dθ = 2.R..λ0
El elemento diferencial de la fuerza dF ejercida por el elemento dQ se puede descomponer en
sus componentes, así
dFy=dF.cosθ
dFx=dF.senθ
donde el valor de dF está dado por:
q.dQ
dF = k 2
R
donde q es el valor de la carga localizada en el centro del semicirculo. Reemplazando para hallar
los valores de las componentes:
 q.(λ0 .cosθ .R.dθ ) 
 q.dQ
dFy = dF.cosθ =  k 2 .cosθ =  k
.cosθ
2
R
R




Integrando obtenemos:
k .q.λ0 π
k .q.λ0 θ sen 2θ 
 q.(λ0 . cos θ.R.dθ ) 
Fy = ∫  k
.
cos
θ
=
cos 2 θdθ =
+

2
∫
0
0
R
R
R  2
4  0


Reemplazando el valor de λo en la ecuación anterior:
π
π
π
k .q.Q θ sen 2θ 
Fy =
+
2.R 2  2
4  0
Dando valores numéricos q=3µC; Q=12µC; R=60cm=0.6m tenemos que:
Fy=1.53µN.
Evaluando la componente en x de la fuerza obtenemos que la resultante es igual a cero
Fx=0 ).
(