Guía 4

Física Moderna 4
FIS433
Semestre de Otoño 2005
Prof: Joel Saavedra A.
Prof. Aux.: Iván González.
1. Calcular la longitud de onda de de Broglie para un neutrón de 0,05 eV.
2- Hallar la longitud de onda de De Broglie asociada a:
a) Una bolita de 0.01 Kg que viaja a una velocidad de 10 m/s
b) Un electrón (m=9.11 10-31 Kg) viajando a una velocidad de 7x106 m/s.
c) ¿Hay algún orificio cuyo tamaño sea el de a)? ¿Y el de b)?
2. a) Calcule la longitud de onda de de Broglie térmica para átomos de Rb (masa atómica
85) a temperatura ambiente (T=300K). Suponga que los átomos se mueven con la
3kT
velocidad cuadrática media v =
. b) En una trampa magnética se pueden capturar
m
103 átomos de Rb en un volumen de 10-3 mm3. Estime la distancia entre átomos y calcule a
que temperatura la longitud de onda de de Broglie es de magnitud semejante a la distancia
interatómica. Cuando las ondas asociadas a los diferentes átomos se superponen se produce
la condensación de Bose-Einstein observada por primera vez en átomos de Rb en 1996.
3- Determinar que potencial acelerador hay que aplicarle a un electrón para asociarle
una onda de De Broglie de 1Å de longitud de onda. Con qué potencial mínimo debe
trabajar un microscopio electrónico para poder resolver 10Å ?
4- Se quiere ver un objeto cuyo tamaño es 2.5 Å. ¿Cuál es la menor energía que debe
tener el fotón a usarse? ¿Cuál la menor energía cinética si se emplean electrones?
5- ¿Qué le pasaría a un hombre de 70 kg que entra por la puerta de su casa a una
velocidad de 5 m/s si vive en un mundo donde h vale 175 J.s.
6. Considere el paquete de ondas formado por la superposición de dos ondas planas
y1 ( x, t ) = A cos(k1 x − ω 1t ) e y 2 ( x, t ) = A cos(k 2 x − ω 2 t ) con:
∆k
∆k
∆ω
∆ω
, k2 = k +
, ω1 = ω −
,ω 2 = ω +
k1 = k −
. a) Halle la expresión de la onda
2
2
2
2
resultante y de su envolvente. b) M¡Error! Marcador no definido.uestre que la velocidad
de propagación de una cresta de la onda total corresponde a la velocidad de grupo
∆ω
. Observe que la velocidad de grupo puede ser positiva o negativa según que ω
∆k
sea una función creciente o decreciente de k a pesar de que las dos ondas que componen el
paquete y por lo tanto la energía se propagan siempre en el sentido de los x positivos.
vG =
7.- Supongamos que el valor de h sea de 6,626 x 10-3 Js en vez de 6,626 x 10-34 Js. Se
lanzan esferas de 66,26 gramos con velocidad de 5 m/s hacia el interior de una casa, a
través de dos ventanas paralelas, altas y angostas, separadas una distancia de 0,6 m, de tal
manera que en cada lanzamiento la elección de la ventana se hace al azar. Calcular la
separación entre las franjas que se formarían sobre una pared situada a 12 m por detrás de
las ventanas.
8- Empleando los postulados de De Broglie encontrar:
a) Los estados de energía permitidos para una partícula confinada en un segmento de
longitud a.
b) Los estados de energía de un electrón en un átomo de hidrógeno.
9- Si podemos medir la cantidad de movimiento de una partícula con una precisión de
uno en mil, cuál sería la indeterminación en la posición de la partícula si:
a) es una pelota de 5 g moviéndose a 2 m/s.
b) es un electrón viajando a 1.8 106 m/s.
10.- En una comunicación telefónica por fibra óptica se realiza a una tasa de transmisión
105 pulsos por segundo. ¿Cuál es la duración máxima de los pulsos para que estén
separados por un tiempo por lo menos igual a su duración? ¿Cuál debe ser el ancho de
banda mínimo del equipo de recepción?
11.- Si el tiempo de vida de un cierto estado excitado de un átomo es de 30 ns, con que
precisión puede medirse la energía de dicho estado.
12.- ¿Cuál es la energía cinética mínima de un electrón confinado a una región espacial de
ancho 5x10-15 m? (Si la energía es mayor que la de reposo utilice la teoría de la relatividad).
13.- Considere un paquete de ondas descripto por la función Φ ( k ) = Ae
a) Calcular A para que la función esté normalizada.
b) Calcular ψ (x,0)
2
−
α2
4
( k −k0 )2
c) Calcular el valor medio de la coordenada x, el de la coordendada p y el producto
∆x∆p .
∞
(Dato:
∫e
0
−u 2
du =
π
2
)
14- Considere el paquete de onda unidimensional ψ ( x, t ) cuya distribución espectral de
número de onda k está dada por:
A
si k ∈ ( k 0 − ∆K , k 0 + ∆K )
Φ (k ) =
0
en otro caso
con ∆K mucho menor que k0.
a) Calcular ψ ( x, t ) suponiendo al paquete no dispersivo. Graficar cualitativamente su
módulo al cuadrado. Hacer lo mismo en el caso de paquete dispersivo (en este caso,
realizar las aproximaciones que considere necesarias. Problema optativo).
b) Calcular la velocidad de propagación de ψ ( x, t ) .
c) Calcular el producto entre el ancho espectral y el ancho significativo de |ψ ( x,0) |2 .
Interpretar el resultado.
15.- Un haz homogéneo de partículas de longitud de onda asociada incide sobre una
pantalla en la cual se ha practicado una ranura de ancho a (ver figura).
a) Midiendo la cantidad de partículas que se observan inmediatamente detrás de la
pantalla proponer una forma para ψ ( x, y = 0, t ) .
b) A partir de esta expresión calcular Φ ( k x ) . A partir de esta mostrar cualitativamente
que la "intensidad" de partículas que se observa sobre la pantalla 2 corresponde al patrón
de difracción de la rendija.
b) Discutir las relaciones entre el ancho de la rendija y el ancho significativo de Φ ( k x ) .
¿Qué hipótesis sería incorrecta si se pudiera medir simultáneamente x y px con una
precisión mayor que la establecida por el principio de incerteza?
c) Hallar la distribución de intensidades sobre la pantalla 2 (este último punto se
resuelve numéricamente con computadora)
1
2
16.- Demuestre que la velocidad de grupo es igual a la velocidad clásica de la partícula.
17.- A partir de las relaciones de incerteza probar que la energía mínima de un oscilador
hω
. Encuentre la energía de punto cero de una partícula confinada
armónico es E min ≈
2
dentro de una caja unidimensional de longitud L.