Propiedades Ondulatorias de la Materia

Propiedades Ondulatorias de la Materia
2008
Louis Victor Pierre Raymond duc de Broglie
Científico
Lugar y fecha
de su
nacimiento
Lugar y fecha
de su muerte
Nacido el 15 de agosto de 1892, en Dieppe, Francia
Fallecido el 19 de marzo de 1987 , en Paris, Francia.
Desarrollo
científico
relacionado con
el bloque
temático
En 1.924 Louis De Broglie extendió el carácter dual de la luz a
los electrones, protones, neutrones, átomos y moléculas, y en
general a todas las partículas materiales. Basándose en
consideraciones relativistas y en la teoría cuántica pensó que si
la luz se comportaba como onda y como partícula la materia
debería poseer este carácter dual.
El movimiento de una partícula puede considerarse como el
movimiento de un paquete de ondas, algo así como la
superposición de varias ondas de longitudes de onda poco
diferentes, cuyas oscilaciones se intensifican al máximo en el
punto del espacio ocupado por la partícula. No hay nada de
imaginario en estas ondas de materia, son tan reales como las
ondas luminosas y las del sonido, aunque no sean observables
en todos los casos, como ocurre con las ondas
electromagnéticas, los aspectos ondulatorios y de partículas de
los cuerpos en movimiento nunca se pueden observar al mismo
tiempo.
En ciertas situaciones una partícula en movimiento presenta
propiedades ondulatorias y en otras situaciones presenta
propiedades de partícula
Otros
desarrollos
científicos
Por otra parte, logra calcular la longitud de onda de objetos
sólidos de diferentes tamaños. Las implicaciones del
descubrimiento de De Broglie cubren un amplio espectro desde
aplicaciones prácticas en el microscopio electrónico hasta
cuestionamientos de tipo filosófico sobre la relación sujeto objeto. En el microscopio electrónico se aprovecha que la
longitud de onda de los electrones es mucho más corta que la
de la luz, lo que hace que defina mejor las características.
Tipo de
estudios
Estudió historia en la Sorbonne en París, pensando en una
carrera en el servicio diplomático. Pero a los 18 años, y después
de finalizar un trabajo de investigación que se le había
asignado, tomó la decisión de estudiar física.
De Broglie alcanzó su reconocimiento en el mundo de los físicos
por la propugnación que describe en su teoría sobre la dualidad
partícula–onda de la materia. En su tesis doctoral de 1924,
propone esta teoría sosteniendo la naturaleza de onda del
electrón, basándose en el trabajo de Einstein y de Planck
Circunstancias Su familia vive en medio de comodidades y hábitos
familiares,
aristocráticos, dedicados, por tradición, a la diplomacia y la vida
sociales y
militar. Louis de Broglie perteneció a la aristocracia Francesa,
económicas
de allí el titulo de "príncipe"
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De Broglie alcanzó su reconocimiento en el mundo de los físicos por la
propugnación que describe en su teoría sobre la dualidad partícula–onda de la
materia. En su tesis doctoral de 1924, propone esta teoría sosteniendo la
naturaleza de onda del electrón, basándose en el trabajo de Einstein y de Planck.
Esta afirmación, fue confirmada experimentalmente en 1927 por C J Davisson, C H
Kunsman y L H Germer en los EE.UU. y por G P Thomson en Escocia. De Broglie,
durante una entrevista en 1963, describió cómo había llegado a ese importante
descubrimiento:
En conversaciones que frecuentemente
sostenía con mi hermano siempre
llegábamos a la conclusión que los rayos
X se caracterizaban por ser corpúsculos
y también ondas. Por ello, en el curso de
verano de 1923, repentinamente concebí
la idea de ampliar esta dualidad a las
partículas materiales, especialmente a
los electrones. Recordé que la teoría de
Hamilton-Jacobi señalaba algo en esa
dirección, ya que ella es aplicable a las
partículas y, además, representa una
óptica geométrica; por otra parte, en
cuántica uno obtienen los números
quantum de los fenómenos, que
raramente se encuentran en mecánica
pero
ocurren
frecuentemente
en
manifestaciones ondulatorias y en todos
los problemas que se ocupan del
movimiento de las ondas.
Después de doctorase, de
Broglie
permaneció en la Sorbonne, llegando a ser,
en el año 1928, profesor de física teórica en
el instituto Henri Poincaré. De Broglie enseñó allí hasta que se retiró en 1962. En
1945, fue nombrado consejero de la comisión de energía atómica francesa.
La teoría ondulatoria de De Broglie de la materia del electrón fue utilizada más
adelante por Schrödinger para desarrollar la mecánica de la onda. De Broglie
recibió el premio Nobel en 1929.
De Broglie se autodescribió como:
…una persona de mente más proclive a la teoría pura que a la
experimentación o a la ingeniería, con una mayor tendencia a asumir visiones
especialmente generales y filosóficas...
Él escribió muchos trabajos ampliamente reconocidos incluyendo a aquellos que
demuestran su interés en las implicaciones filosóficas de la física moderna, materia
y luz: La Nueva Physics (1939); La revolución en Physics (1953); Physics y la
Microphysics (1960); y nuevas perspectivas en Physics (1962).
La pregunta central en la vida de de Broglie era si la naturaleza estadística de la
física atómica refleja una ignorancia de la teoría subyacente o si la estadística es
todo lo que puede ser conocido. Durante la mayor parte de su vida él creyó lo
primero, pero como un investigador joven consideró que la estadística ocultaba
nuestra ignorancia. Sin embargo, en su madurez como científico, asombrosamente
volvió a su visión juvenil, señalando que:
…las teorías estadísticas ocultan una realidad totalmente resuelta y
averiguable detrás de las variables que eluden nuestras técnicas
experimentales.
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La vida de Louis de Broglie ha sido intensa. Una de las características saltantes de
su existencia es su conversión de historiador en físico. Nada brillante en
matemáticas durantes sus estudios, se inclinó por la historia de las ciencias. En
esa actividad descubrió la parte apasionante de la física teórica “Mi espíritu fue
deslumbrando por la cabeza de la ciencia, de la ciencia pura, de aquella que
busca la verdad sin preocuparse particularmente pos sus aplicaciones”.
Louis de Broglie, pensaba continuamente sobre este problema... “Mis
investigaciones sobre la física de rayos X me había convencido de la
necesidad de una teoría sintética de radiación, combinando los aspectos de
onda y del fotón, y había reflexionado sobre los trabajos ya antiguos de
Einstein sobre los cuantos de luz... Bruscamente, al final del verano de 1923,
todas las ideas empiezan a cristalizarse en mi espíritu”.
Escribió en una versión neerlandesa de 1946 de la Editorial Panteón de Amberes,
titulado “Materia y Luz” (“Matière et Lumiere”), que escribió por insistencia de un
amigo suyo, en el que ha reunido unos estudios sobre la física “contemporánea” y
sobre los aspectos generales y filosóficos de la misma. Me parecía de interés
reproducir algunos extractos:
“Algunas palabras sobre una cuestión que siempre ha ocupado a los
pensadores científicos: ¿Cuál es el valor de la ciencia?, es decir, ¿Cuál es el
fundamento para nuestro amor y admiración por la ciencia? Mucha gente
acepta la ciencia por sus aplicaciones; citan multitud de mejoras materiales
que han producido en la vida cotidiana, los medios poderosos que nos ha
procurado para la conservación y la prolongación de la vida; piensan que
esto continuará de manera ilimitada en el futuro. Este pensamiento solo se
puede admitir con reservas: no todas las aplicaciones de la ciencia son
beneficiosas y tampoco es seguro que su futuro desarrollo constituirá un
avance para la humanidad, porque este depende más de la elevación
espiritual y moral del ser humano que de las circunstancias materiales de su
vida. Sin embargo las aplicaciones de la ciencia han suavizado y embellecido
en ciertos aspectos nuestra existencia y pueden continuar este trabajo, si
sabemos merecerlo. Así pues, podemos amar a la ciencia por sus
aplicaciones, por los alivios y comodidades que aporta a la vida humana.
Podemos sin embargo dar otra razón por la que podemos apreciar la ciencia.
Solo en el plano espiritual adquiere su valor máximo: hay que amar a la
ciencia porque es una gran obra del espíritu.”
“Cuanto más nos adentramos en el interior de la materia, más nos damos
cuenta que nuestros conceptos diarios, especialmente los de la materia y el
tiempo, ya no son suficientes para describir el nuevo mundo en que bajamos.
Podríamos decir que los límites de nuestros conceptos deben esfumarse
para poder aplicarlos de alguna forma a la realidad de la escala subatómica.”
“La finura de espíritu es necesaria: ella siempre nos debe recordar que la
realidad es demasiado fluida y rica para poder comprimirla en el corsé de
nuestros conceptos. Son ideas con las que todos los que han reflexionado
sobre el progreso del saber humano están familiarizados.”
En 1929 recibe el premio Nóbel por esta teoría. En el discurso de recepción señala
que, 30 años antes, la física estaba dividida en la física de la materia, basada en
las partículas y los átomos, y la física de la radiación, basada en la idea de la
propagación de ondas en un medio continuo (éter). Su teoría vino a poner fin a esta
dicotomía.
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En 1923 , Louis De Broglie postulo que :
“dado que los fotones tienen a la vez características ondulatorias y de
partículas, es posible que todas las formas de la materia tengan ambas
propiedades”.
Esta era una idea en extremo revolucionaria que en esas fechas no tenia
confirmación experimental. Según De Broglie, los electrones, justo igual que la luz,
tienen una naturaleza dual partícula-onda
En efecto, sabemos :
E 2  p 2 c 2  (mc 2 ) 2
Donde la masa de un foton m=0
E  pc
Entonces:
hc
hc
h
, reemplazando :
 pc , cancelando c¸ obtenemos : p 
λ
λ
λ
Dado que : p = mv
Pero : E 
La longitud de onda de De Broglie, de una partícula es :
λ
h
mv
PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo 1: Longitud de onda de un electrón:
Calcule la longitud de onda De Broglie para un electrón ( me = 9,11 10-31
Kg) que se mueve a 1,00 107 m/s
Solucion
De la ecuación: λ 
6,626  10 34 J.s
h
, reemplazamos : λ 
mv
(9,11  10 31kg)(1,00  10 7 m / s)
 = 7,28 10-11m
Ejemplo 2: Longitud de onda de una roca:
Una roca con una masa de 50g es lanzada a una rapidez de 40 m/s. ¿Cuál es su
longitud de onda De Broglie?
Solución:
De la ecuación : λ 
6,626  10 34 J.s
h
, reemplazamos ; λ 
mv
(50  10 3 kg)(40m / s)
 = 3,32 10-34m
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Esta longitud de onda es mucho menor que cualquier posible apertura por la
cual podría pasar la roca. Esto significa que no es factible observar efectos
de difracción y, por lo tanto, tampoco se pueden observar las propiedades
ondulatorias de objetos a gran escala.
Ejemplo 3 : Una partícula cargada y acelerada
Una partícula con una carga q y masa m ha sido acelerada desde el reposo hasta
una rapidez no relativista a través de una diferencia de potencial V .Encuentre
una expresión para su longitud de onda de De Broglie
Solucion
Cuando a una partícula se le acelera desde el reposo a través de una diferencia de
1
potencial V , su ganancia en energía cinética mv 2 deberá ser igual a la perdida
2
en energía potencial q V del sistema carga – campo:
Ei = Ef
Ki + Ui = Kf + Uf
1
0 + U = mv 2 + 0
2
Donde : q V =
Como : λ 
1
mv 2
2
h
, reemplazamos la velocidad: : λ 
mv
0 Tambien : K =
1
mv 2 , luego : λ 
2
h
m
2qV
m
=
h
2qmV
h
2mK
PROBLEMAS RESUELTOS
Serway-Jewett.
FISICA.
Volumen II. Sexta Edicion. Thomson. 2005.
Sección 18,5 : Propiedades ondulatorias de las partículas Pag. 612. Cap 18.
33. Calcule la longitud de onda de de Broglie para un protón que se mueve con una
rapidez de 1,00 106 m/s
Solución:
Datos :

mprotón= 1,67 10-27 kg
v = 1 106 m/s
Formula
λ
h
mv
reemplazo  = 397 fm
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34. Calcule la longitud de onda de De Broglie para un electrón que tiene una
energía cinética (a) de 50,0 eV y (b) de 50,0 keV
Solución:
Parte (a) 50 eV
Datos :

Melectrón= 9,11 10-31 kg
1,6  10 19 J
K = 50 eVx
1eV
h
Formula λ 
2mK
reemplazo :  = 0,17
10-9m
Parte (a) 50 keV
 = 54,9
10-12m
35. (a) Un electrón tiene una energía cinética de 3,00 eV. Determine su longitud de
onda . (b) ¿Qué pasaría si? Un foton tiene una energía de 3,00 eV. Determine
su longitud de onda
Solución:
Parte (a)
Datos :
K = 3 eV x

Formula
1,6  10 19 J
1eV
h
λ
2mK
reemplazo :  = 0,709
10-9m
Parte (b)
Datos :
K= E = 3 eV x

Formula
1,6  10 19 J
1eV
E
hc
λ
, reemplazo  = 414
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10-9m
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36. (a) Demuestre que la longitud de onda de un neutron no relativistico es igual a :
λ
2,86  10 11
m
Kn
Siendo kn la energía cinética del neutron medida en eV. (b) ¿Cuál es la longitud de
onda de un neutron de 1,00 keV?
Solución:
Parte (a)
Sabemos: λ 
h
2mK
reemplazo: λ 
6,626  10 34
2(1,67  10 27 )(K  1,6  10 19 )
=
2,86  10 11
K
m
Parte (b) reemplazo en la formula K = 1 103 eV
λ
2,86  10 11
m
1  10 3
Obtenemos :  10-13 m
37. El núcleo de un átomo tiene un diámetro del orden de 10-14 m. Para que un
electrón se quede confinado en un núcleo, su longitud de onda de De Broglie
tiene que estar en ese orden de magnitud o menor. (a) ¿Cuál seria la energía
cinética de un electrón confinado en esa región? (b) En vista de que las
energías de enlace típicas de los electrones en los átomos se han medido en la
región de unos cuantos eV, ¿ esperaría encontrar un electrón en el interior de
un núcleo?. Explique
Solución:
Parte (a)
Datos :
K=?
h2
h
Formula De la formula : λ 
, despejamos K : K 
2mλ2
2mK
Reemplazo:
K = 150 108 eV
(es aproximadamente más de 100 MeV)
Parte (b)
No. Porque electrón K = 150
108 eV mas rápido
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38. En el experimento de Davisson Germer, se difractaron electrones de 54,0 eV
sobre una red de níquel. Si el primer máximo en el patrón de dispersión fue
observado en 500 (ver figura)
Cual fue el desplazamiento a de la red entre las hileras verticales de átomos de la
figura ¿ (No es el mismo espaciamiento que el que se encuentra entre las hileras
horizontales de átomos)
Solución:
Aplicando la formula de interferencia de Young de la doble rendija:
Donde m = 1 (maximo)
Pero sabemos : λ 
Simplificando :
h
2mK
m = Dsen
a Sen500
= a Sen500
a = 218 pm
39. (a) Demuestre que la frecuencia f y la longitud de onda  de una partícula con
un movimiento libre estan relacionadas mediante la expresión:
2
1
1
f
   2  2
λ
λC
c
Donde : C= h/mc , es la longitud de onda Compton de la partícula (b) ¿Será
posible alguna vez para una partícula de masa diferente a cero tener la misma
longitud de onda y la misma frecuencia que un foton?.Explique su respuesta.
Solución:
Parte (a)
2
1
1
f
Sea la ecuación a demostrar :    2  2 , donde C= h/mc
λ
λC
c
Simplificaremos el lado derecho:
 p 2 m 2 c 2  c 2  p 2 c 2 (mc 2 ) 2  1
1
1
2 2
2 2


 2 = p c  (mc )
 2  2  2 = 2 
2
2
2
h
h
h
h  c
 h
 c
h
2
2 2
p
mc

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
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1
h c2
2
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E2
h2 f 2

h2c 2 h2c 2
2
f
=  
l.q2.d
c
=
Parte (b)
2
2
1
1
c
f
En    2  2 , reemplazo : f 

λ
λC
c
c
 
  1  1
c
2 2C
 
 
Simplificando :
2
1
1
1
   2  2

C
 
Se muestra una contradicción.
No será posible.
40. Un fotón tiene una energía igual a la energía cinética de una partícula que se
esta moviendo a una velocidad de 0,900c.(a)Calcule la relación de la longitud
de onda del fotón a la longitud de onda de la partícula.(b)¿Cuál seria esta
relación si la partícula tuviera una rapidez de 0,001 00c? (c) ¿Que pasaría si?
¿A que valor se acerca la relación de las dos longitudes de onda a altas
velocidades de la partícula? (d) ¿A bajas velocidades de la partícula?
Solución
Parte (a)
E=K
hc
h
 mv , pero λ 

mv
Luego :
hc
h
 
 foton
 particula
Buscando la relacion :
 foton
c

 particula 
, donde sabemos que :  
1
1
v2
c2
Remplazando para v = 0,9c
 foton
= 0,436c
 particula
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41. El poder de resolución de un microscopia depende de la longitud de onda
utilizada. Si se quisiera “ver” un átomo, seria necesario tener una resolución de
aproximadamente 1,00 10-11 m (a)Si se utilizan electrones (en un microscopio
electrónico), ¿Cuál es la energía cinética mínima necesaria para los electrones?
(b) ¿Qué pasaría si? Si se utilizan fotones ¿Cuál es la energía mínima
necesaria para obtener la resolución requerida?
Solución
Parte (a)
Datos :
 = 1 10-11m
h
λ
Formula
2mK
2
1
h
de donde : k    
   2m
Reemplazamos:
K = 15,1 keV
Parte (b)
hc
, reemplazamos : E = 124,237 keV
λ
42. Después de aprender de la hipótesis de De Broglie en cuanto a que las
partículas de cantidad de movimiento p tienen características ondulatorias con
una longitud de onda  = h/p , un estudiante de 80 kg de peso esta preocupado
por el temor a ser difractado al pasar a través de una puerta de 75 cm de
ancho. Suponga que se presenta una difracción significativa cuando el ancho
de la apertura de difracción es inferior a 10 veces la longitud de onda de la onda
que se esta difractando. (a) Determine la rapidez máxima a la cual el estudiante
debe pasar a traves de esa puerta para ser difractado significativamente . (b)
¿A esa rapidez, cuanto tarda el estudiante en pasar a través de la puerta, si
esta instalada en un muero de 15 cm de espeso? Compare su resultado con la
edad actualmente aceptada del Universo, que es de 4 1017s . (c)¿Deberá este
estudiante preocuparse con respecto al riesgo de ser difractado?
E
Solución
Parte (a)
Datos :
m = 80 kg
d = 75 cm = 75 10-2m
d = 10
1
h
Formula λ 
despejamos la velocidad , sabiendo que : K = mv2
2
2mK
2
1
h
Luego : v     2 .
 m
2
Reemplazamos datos : v = 1,1
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10-34 m/s
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Parte (b)
Datos :
v = 1,1 10-34 m/s
t=?
d = 15 cm = 15 10-2m
Formula
d
v
Reemplazamos datos : t = 1,36
d = vt , despejamos el tiempo : t 
1033 s
Parte (c )
No, el tiempo es mayor que la edad del universo.
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