Ejemplos de curvas intersección de superficies Representar mediante una función vectorial la curva intersección de las superficies usando el parametro dado. x2 + y 2 = 4, 1. − z = x2 parametro x = 2 sen(t) Se tiene que x = 2 sen(t) ⇒ z = (2 sen(t))2 mientras que x2 + y 2 = 4 ⇒ y = p 4 − 4 sen(t) = 2 cos(t) Por lo tanto la función vectorial que representa la curva intersección es: f (t) = (2 sen(t), 2 cos(t), 2 sen(t))2 ) 2. − 4x2 + y 2 + 4z 2 = 16, x = y2 parametro y=t Se tiene que x = y 2 ⇒ x2 = y 4 = t 4 mientras que 4x2 + y 2 + 4z 2 = 16 ⇒ z = Por lo tanto la función vectorial que representa la curva intersección es: p f (t) = (t2 , t, 14 16 − 4t4 − t2 ) 1 1p 16 − 4t4 − t2 4 Funciones Acotadas.- Se dice que una función f (t) es acotada en un intervalo I si existe un escalar M > 0 tal que kf (t)k < M ∀ t ∈ I Ejercicio.- Demostrar que si lı́m f (t) = L entonces f es acotada en 0 < |t − t0 | < δ t→t0 Demostración: Supongamos que f (t) → L cuando t → t0 . Entonces para un > 0 arbitrario, ∃ δ > 0 tal que |f (t) − L| < siempre que 0 < |t − t0 | < δ. Entonces kf (t)k = kf (t) − L + Lk ≤ kf (t) − Lk + kLk < + kLk por lo tanto basta tomar M = + kLk Ejercicio.- Si f (t) es acotada en t0 y g(t) → 0 cuando t = t0 , demostrar que f (t)xg(t) → 0 cuando t → t0 . Demostración: Sea > 0 arbitrario como f (t) es acotada en t0 ∃ M > 0 y un δ1 > 0 tal que kf (t)k < M ∀ δ ∈ (t0 − δ, t0 + δ). Por otro lado si g(t) → 0 cuando 0 < |t − t0 | < δ2 , entonces kg(t)k < M. Por lo que al tomar δ =min{δ1 , δ2 } se tiene que si 0 < |t − t0 | < δ entonces 0 < |t − t0 | < δ1 y 0 < |t − t0 | < δ2 . Por lo tanto |f (t)xg(t) − 0| = |f (t)xg(t)| = |f (t)| |g(t)| | sin(f, g)| 2 ≤ |f (t)| |g(t)| ≤ M = M Por lo tanto f (t)xg(t) → 0 cuando t → t0 Continuidad Definición.- Sea f R → Rn una función vectorial. Se dice que f es continua en t0 si y solo si se cumple que lı́m f (t) = f (t0 ) t→t0 Ejercicio: Determinar el intervalo en el que la función vectorial es continua. √ t f (t) = ti + Ln(t) t2 −1 j + t2 +1 . f3 (t) = t t2 +1 √ t es continua en t > 0, f2 (t) = Ln(t) en R − {−1, 1} t2 −1 es continua S es continua en R tenemos que f (t) es continua en (0, 1) (1, ∞) Solución: Como f1 (t) = Ejercicio: Demostrar que si f (t), g(t) y h(t) son continuas en t0 entonces [f gh] es continua en t0 . Derivadas de Funciones Vectoriales Sea f : R → R una función vectorial. Entonces se define la derivada de f en t df (t) f (t + ∆t) − f (t) = lı́m ∆t→0 dt ∆t cuando este lı̀mite existe. Teorema.- Sea f : R → Rn definida asi: f (t) = (f1 (t), . . . , fn (t)) entonces 3 df (t) = (f10 (t), . . . , fn0 (t)) dt Demostración: Para f (t) = (f1 (t), . . . , fn (t)) se tiene que: f 0 (t) f (t + ∆t) − f (t) ∆t→0 ∆t f1 (t + ∆t), . . . , fn (t + ∆t) − f1 (t), . . . , fn (t) = lı́m ∆t→0 ∆t f1 (t + ∆t) − f1 (t), . . . , fn (t + ∆t) − fn (t) = lı́m ∆t→0 ∆t fn (t + ∆t) − fn (t) f1 (t + ∆t) − f1 (t) = lı́m ,..., ∆t→0 ∆t ∆t f1 (t + ∆t) − f1 (t) fn (t + ∆t) − fn (t) = lı́m , . . . , lı́m ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t 0 0 = [f1 (t), . . . , fn (t)] = f 0 (t) = lı́m por lo tanto para derivar una función vectorial f basta derivar cada componente de f en la forma usual. Ejemplo: Si f (t) = (3t2 , sin t, e2t ) entonces f 0 (t) = (6t, cos t, 2e2t ) Definición: Si r(t) es un vector de posición de una particula que se mueve a lo largo de una curva suave en el espacio, entonces: a) la velocidad es la derivada de la posición v(t) = dr(t) dt b) la rapidez es la magnitud de la velocidad kv(t)k c) la aceleración es la derivada de la velocidad a = d) el vector dv(t) dt = d2 r(t) dt v(t) es una dirección de movimiento en el tiempo t. kv(t)k 4