L1 de una medida vectorial definida sobre un δ–anillo Olvido Delgado Medidas vectoriales definidas sobre un δ–anillo • Definición. Sea R una colección de subconjuntos de un conjunto Ω. Se dice que R es un δ–anillo si cumple: X A ∪ B ∈ R para todo A, B ∈ R. X A\B ∈ R para todo A, B ∈ R. X ∩n≥1 An ∈ R para todo (An )n≥1 ⊂ R. • Definición. Sea R un δ–anillo de partes de Ω y X un espacio de Banach. Una función de conjuntos ν: R → X es una medida vectorial si para toda sucesión (An )n≥1 ⊂ R de conjuntos disjuntos tal que ∪n≥1 An ∈ R, se cumple que X ν(An ) = ν(∪n≥1 An ). n≥1 • Definición. Sea R un δ–anillo de partes de Ω. Se define Rloc := {A ⊂ Ω : A ∩ B ∈ R para todo B ∈ R}. Se cumple que: X Rloc es una σ–álgebra. X R ⊂ σ(R) ⊂ Rloc ⊂ P(Ω). X Si R es σ–álgebra, entonces R = σ(R) = Rloc . i Sea R un δ–anillo de partes de Ω, X un espacio de Banach y ν : R → X una medida vectorial. • Definición. La variación de ν es la medida |ν| : Rloc → [0, ∞] definida por n nX o n A |ν|(A) = sup kν(Ai )kX : (Ai )i=1 es sucesión disjunta en R ∩ 2 i=1 para todo A ∈ Rloc . • Definición. La semivariación de ν es la función kνk : Rloc → [0, ∞] dada por kνk(A) = sup |x∗ ν|(A) para todo A ∈ Rloc . x∗ ∈BX ∗ Se cumple que X A, B ∈ Rloc con A ⊂ B ⇒ kνk(A) ≤ kνk(B). P X kνk(∪n≥1 An ) ≤ n≥1 kνk(An ) para todo (An )n≥1 ⊂ Rloc . X 1 2 kνk(A) ≤ sup{kν(B)kX : B ∈ R∩2A } ≤ kνk(A) para todo A ∈ Rloc . X kν(A)kX ≤ kνk(A) para todo A ∈ R. X kνk(A) ≤ |ν|(A) para todo A ∈ Rloc . • Definición. La medida vectorial ν es acotada si {ν(A) : A ∈ R} es un conjunto acotado en X, o equivalentemente, si kνk(Ω) < ∞. La medida vectorial ν puede ser NO acotada. • Ejemplo. Consideremos el δ–anillo R = {A ∈ B([0, ∞)) : A es acotado}. La función de conjuntos ν : R → L∞ ([0, ∞)) definida por Z x ν(A)(x) = χA (y) dy para todo x ∈ [0, ∞), 0 es una medida vectorial NO acotada, pues Z x kν(A)k∞ = sup χA (y)dy = m(A). 0≤x 0 NOTA: ν es la función de conjuntos asociada al operador de Volterra. ii Si R es σ–álgebra entonces ν es acotada. La medida vectorial ν también puede ser acotada sin ser R una σ–álgebra. • Ejemplo. Consideremos el δ–anillo R = {A ∈ B([0, ∞)) : A es acotado y existe ε > 0 tal que A∩[0, ε) = ∅}. La función de conjuntos ν : R → L∞ ([0, ∞)) definida por Z 1 x ν(A)(x) = χA (y) dy para todo x ∈ (0, ∞), x 0 es una medida vectorial acotada, pues kν(A)k∞ 1 = sup 0<x x Z x χA (y)dy ≤ 1. 0 NOTA: ν es la función de conjuntos asociada al operador de Hardy. • Lema. Para todo A ∈ R se tiene que kνk(A) < ∞. • Observación. Sea λ : R → R una medida real (numerablemente aditiva). Se cumple que la variación y la semivariación de λ coinciden. En particular, |λ|(A) < ∞ para todo A ∈ R. • Definición. Se dice que un conjunto A ∈ Rloc es ν–nulo si ν(B) = 0 para todo B ∈ R ∩ 2A , o equivalentemente, si kνk(A) = 0. Una propiedad se cumple ν–e.c.t. si se cumple excepto en los puntos de un conjunto ν–nulo. iii Integración respecto de una medida real definida sobre un δ–anillo Sea R un δ–anillo de partes de Ω y λ : R → R una medida real. • Notación. M(Rloc ) = { f : Ω → R Rloc –medible}. P S(Rloc ) = espacio de funciones Rloc –simples ( n1 ai χAi , ai ∈ R, Ai ∈ Rloc ). P S(R) = espacio de funciones R–simples ( n1 ai χAi , ai ∈ R, Ai ∈ R). • Definición. Una función f ∈ M(Rloc ) es integrable respecto de λ si Z |f | d|λ| < ∞. Denotamos por L1 (λ) al espacio de funciones integrables respecto de λ (identificando funciones que son iguales λ–e.c.t.). Se cumple que X L1 (λ) = L1 (|λ|) es un espacio de Banach con la norma kf k1 = X S(R) ⊂ L1 (λ). P • Definición. Dada ϕ = ni=1 ai χAi ∈ S(R), se define Z n X ϕ dλ := ai λ(Ai ∩ A) para todo A ∈ Rloc . A i=1 • Proposición. S(R) es denso en L1 (λ). • Definición. Dada f ∈ L1 (λ), se define Z Z f dλ := lim ϕn dλ para todo A ∈ Rloc , A n A siendo (ϕn ) ⊂ S(R) tal que ϕn → f en L1 (λ). iv R |f | d|λ|. • Observación. El operador f ∈ L1 (λ) → con R f dλ ∈ R es lineal y continuo ¯Z ¯ Z ¯ ¯ ¯ f dλ¯ ≤ |f | d|λ| para todo f ∈ L1 (λ). • Lema. Sea f ∈ L1 (λ). La función de conjuntos λf : Rloc → R dada por Z λf (A) = f dλ para todo A ∈ Rloc , A es una medida real. Se prueba que R X |λf |(A) = A |f | d|λ| para todo A ∈ Rloc . R R X |g| d|λf | = |gf | d|λ| para todo g ∈ M(Rloc ). X g ∈ L1 (λf ) si y sólo si gf ∈ L1 (λ). En ese caso, R g dλf = R • Lema. Para todo f ∈ L1 (λ) se cumple que ½¯ Z ¾ Z Z ¯ 1 ¯ ¯ |f | d|λ| ≤ sup ¯ f dλ¯ : A ∈ R ≤ |f | d|λ|. 2 A v gf dλ. Integración respecto de una medida vectorial definida sobre un δ–anillo Sea R un δ–anillo de partes de Ω , X un espacio de Banach y ν : R → X una medida vectorial. • Definición. (Lewis; 1972). Una función f ∈ M(Rloc ) es integrable respecto de ν si cumple: (1) f ∈ L1 (|x∗ ν|) para todo x∗ ∈ X ∗ . (2) Para cada A ∈ Rloc , existe xA ∈ X tal que Z x∗ (xA ) = f dx∗ ν para todo x∗ ∈ X ∗ . En ese caso, R Af A dν := xA R R ( f dν := Ω f dν). • Notación. (Identificamos funciones que son iguales ν–e.c.t.) L1 (ν) = espacio de funciones integrables respecto de ν. L1w (ν) = espacio de funciones f ∈ M(Rloc ) tales que cumplen (1). • Observaciones. X La aplicación f ∈ L1 (ν) → R f dν ∈ X es un operador lineal. X Para todo f ∈ L1 (ν) y A ∈ Rloc se tiene que f χA ∈ L1 (ν) con Z Z f χA dν = f dν para todo B ∈ Rloc . B X Para todo ϕ = Z B∩A Pn i=1 ai χAi ∈ n X ai ν(Ai ∩ A) para todo A ∈ Rloc ϕ dν = A S(R) se tiene que ϕ ∈ L1 (ν) con i=1 Luego, S(R) ⊂ L1 (ν) ⊂ L1w (ν). • Definición. Para todo f ∈ M(Rloc ) se define Z |f | d|x∗ ν| ≤ ∞. kf kν := sup x∗ ∈BX ∗ vi • Propiedades de L1w (ν). X f ∈ L1w (ν) si y sólo si kf kν < ∞. X L1w (ν) es un espacio de Banach con la norma k · kν . X Se cumple: g ∈ M(Rloc ), f ∈ L1w (ν) ) |g| ≤ |f | ν–e.c.t. ⇒ g ∈ L1w (ν) y kgkν ≤ kf kν . En particular, L1w (ν) es retı́culo de Banach con el orden puntual ν–e.c.t. X fn → f en L1w (ν) ⇒ existe (fnk ) tal que fnk → f ν–e.c.t. X L1w (ν) tiene la propiedad de Fatou: f ∈ M(Rloc ), fn ∈ L1w (ν) ) 0 ≤ fn ↑ f ν–e.c.t. ⇒ f ∈ L1w (ν) y kfn kν ↑ kf kν . supn≥1 kfn kν < ∞ • Lema. Sea f ∈ L1 (ν). La función de conjuntos νf : Rloc → X dada por Z νf (A) = f dν para todo A ∈ Rloc , A es una medida vectorial. Se prueba que X kνf k(A) = kf χA kν para todo A ∈ Rloc . X kgkνf = kf gkν para todo g ∈ M(Rloc ). X g ∈ L1w (νf ) si y sólo si f g ∈ L1w (ν). X g ∈ L1 (νf ) si y sólo si f g ∈ L1 (ν). En ese caso, Z Z g dνf = f g dν para todo A ∈ Rloc . A A • Lema. Para todo f ∈ L1 (ν) se cumple que ½° Z ¾ ° 1 ° ° kf kν ≤ sup ° f dν ° : A ∈ R ≤ kf kν . X 2 A vii • Lema. Sea f ∈ L1 (ν). Para todo ε > 0 existe A ∈ R tal que kf χΩ\A kν < ε. • Propiedades de L1 (ν). X L1 (ν) coincide con la clausura de S(R) en L1w (ν). X L1 (ν) es un espacio de Banach con la norma k · kν . X f ∈ L1 (ν) → R R f dν ∈ X es continuo con k f dνkX ≤ kf kν . X Teorema de Convergencia Dominada: f ∈ M(Rloc ), fn , g ∈ L1 (ν) ) fn → f ν–e.c.t. ⇒ f ∈ L1 (ν) y fn → f en L1 (ν). |fn | ≤ |g| ν–e.c.t. para todo n X Se cumple: g ∈ M(Rloc ), f ∈ L1 (ν) |g| ≤ |f | ν–e.c.t. ) ⇒ g ∈ L1 (ν) y kgkν ≤ kf kν . En particular, L1 (ν) es retı́culo de Banach con el orden puntual ν–e.c.t. X L1 (ν) es orden continuo, i.e. toda sucesión creciente y acotada ν–e.c.t. es convergente en norma. • Proposición. f ∈ L1 (ν) si y sólo si existe (ϕn ) ⊂ S(R) tal que: (a) ϕn → f ν–e.c.t. R (b) A ϕn dν converge en X, para cada A ∈ Rloc . • Proposición. Si X no contiene ningún subespacio isomorfo a c0 entonces L1 (ν) = L1w (ν). viii Propiedades analı́ticas de una medida vectorial definida sobre un δ–anillo Sea R un δ–anillo de partes de Ω , X un espacio de Banach y ν : R → X una medida vectorial. • Observación. ν acotada ⇔ kνk(Ω) < ∞ ⇔ χΩ ∈ L1w (ν). • Definición. ν es fuertemente aditiva si para toda sucesión (An )n≥1 ⊂ R de conjuntos disjuntos se tiene que ν(An ) → 0 en X. • Definición. Una medida de control para ν es una medida λ : R → [0, ∞] que cumple: (i) lim kν(A)kX = 0, λ(A)→0 (ii) A ν–nulo ⇒ A λ–nulo. • Teorema. Las siguientes condiciones son equivalentes: (a) ν es fuertemente aditiva. (b) χΩ ∈ L1 (ν). (c) Existe λ medida de control acotada para ν. (d) Existe νe : Rloc → X medida vectorial que extiende a ν. ((a) ⇔ (c) resultado de Brooks, 1971) • Observaciones. X ν fuertemente aditiva ⇒ ν acotada. X Si R es una σ–álgebra entonces se cumplen (a)–(d). X Si se cumple (a)–(d) entonces podemos tomar νe : Rloc A - X - νe(A) = R A χΩ dν y λ = |x∗0 ν| para cierto x∗0 ∈ BX ∗ . Además L1w (ν) = L1w (e ν ) y L1 (ν) = L1 (e ν ). ix • Definición. ν es σ–finita si existe N ∈ Rloc ν–nulo y (An )n≥1 ⊂ R tales ¡ ¢ que Ω = ∪n≥1 An ∪ N . • Definición. Una medida λ : R → [0, ∞] es una medida de control local para ν si cumple: (i) lim kν(A)kX = 0, para todo B ∈ R. λ(A)→0 A⊂B (ii) A ν–nulo ⇒ A λ–nulo. • Observación. λ medida de control local para ν ⇔ λ y ν tienen los mismos conjuntos nulos. • Teorema. (Brooks y Dinculeanu, 1974). Existe λ medida de control local para ν. • Teorema. Las siguientes condiciones son equivalentes: (a) ν es σ–finita. (b) Existe g ∈ L1 (ν) tal que g > 0 ν–e.c.t. (g es unidad débil de L1 (ν)) (c) Existe λ medida de control local acotada para ν. (b) ⇒ (c): Tomamos λ = |x∗0 νg | con x∗0 ∈ BX ∗ , medida de control para νg : Rloc - X A - νg (A) = R A g dν • Observaciones. X Si se cumple (a)–(c) entonces L1w (ν) ∼ = L1w (νg ) y L1 (ν) ∼ = L1 (νg ). Además, |x∗0 ν| es medida de control local para ν. X ν fuertemente aditiva ⇒ ν σ–finita. x • Teorema. Sea R un δ–anillo, X un espacio de Banach y ν : R → X una medida vectorial no σ–finita. Entonces, L1 (ν) = ⊕α Eα donde Eα son ideales disjuntos tales que Eα ∼ = L1 (να ), siendo να = ν/Rα con Rα = {A ∈ R : A ⊂ Aα } (σ–álgebra) y Aα ∈ R. • Ejemplo. Sea Γ un conjunto abstracto, X un espacio de Banach y (xγ )γ∈Γ una familia de elementos no nulos de X. Tomamos el δ–anillo R = {A ⊂ Γ : A finito } y la medida vectorial ν: R - X A - ν(A) = X xγ γ∈A Se cumple: X L1w (ν) = {f : Γ → R / X L1 (ν) = {f : Γ → R / X ν es acotada ⇔ P P P f (γ)xγ débilmente incondicionalmente de Cauchy}. f (γ)xγ incondicionalmente convergente}. xγ es débilmente incondicionalmente de Cauchy. X ν es fuertemente aditiva ⇔ P xγ es incondicionalmente convergente. X ν es σ–finita ⇔ Γ es numerable. xi Referencias ∗ R. G. Bartle, N. Dunford and J. Schwartz, Weak compactness and vector measures, Canad. J. Math. 7 (1955), 289–305. ∗ J. K. Brooks, On the existence of a control measure for strongly bounded vector measures, Bull. Amer. Math. Soc. 77 (1971), 999–1001. ∗ J. K. Brooks and N. Dinculeanu, Strong additivity, absolute continuity and compactness in spaces of measures, J. Math. Anal. Appl. 45 (1974), 156– 175. ∗ G. P. Curbera, Operators into L1 of a vector measure and applications to Banach lattices, Math. Ann. 293 (1992), 317–330. ∗ O. Delgado, L1 –spaces of vector measures defined on δ–rings, Arch. Math. 84 (2005), 432–443. ∗ J. Diestel and J.J. Uhl, Jr., Vector Measures, Amer. Math. Soc. Surveys 15, Providence, R. I., 1977. ∗ D. R. Lewis, Integration with respect to vector measures, Pacific J. Math. 33 (1970), 157–165. ∗ D. R. Lewis, On integrability and summability in vector spaces, Illinois J. Math. 16 (1972), 294–307. ∗ P. R. Masani and H. Niemi, The integration theory of Banach space valued measures and the Tonelli–Fubini theorems. I. Scalar–valued measures on δ–rings, Adv. Math. 73 (1989), 204–241. ∗ P. R. Masani and H. Niemi, The integration theory of Banach space valued measures and the Tonelli–Fubini theorems. II. Pettis integration, Adv. Math. 75 (1989), 121–167. xii