θ θ π ψ - Universidad de Extremadura

UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA
Dpto. de ING. ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA y AUTOMÁTICA
MÁQUINAS ELÉCTRICAS
ESTUDIO DE LA CURVA DE INDUCCIÓN TRAPEZOIDAL
La idealización del inductor de las máquinas de polos da la forma de onda de la curva
de la figura, que se ha supuesto de p ciclos y recubrimiento ψ.
LN
ψ (π/p)
Bmax
LN
1−ψ
(π/p)
2
(π/p)
(π/p)
Se pretende analizar la forma de onda en los términos que se usan en el análisis general
de estas máquinas. En muchos de los casos, los procedimientos y resultados aquí
descritos son de aplicación para otros parámetros de la máquina.
Calculemos:
a) Valor medio
b) Valor eficaz
c) Factor de forma
d) Onda fundamental en la posición de la figura
RESOLUCIÓN
Apdo. a)
El valor medio ⟨B⟩ es, como se sabe:
B =
1
π/ p
LN ↑+ π / p
∫LN ↑
B (θ ) dθ
En este caso se puede fácilmente calcular a partir del área del trapecio:
B =
1
1
⎡α p Bmax ⎦⎤ =
⎣
π/p
π/ p
⎡1 ⎛ π
⎤ 1 +ψ
π⎞
Bmax
⎢ ⎜ + ψ ⎟ Bmax ⎥ =
p⎠
2
⎣2 ⎝ p
⎦
Apdo. b)
El valor eficaz, B, es, para ondas periódicas con simetría de semionda:
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1
2
⎡ 1
⎤
B=⎢
B 2 (θ ) dθ ⎥
∫
LN
↑
⎣ π/ p
⎦
La integral es, en este caso, la suma de:
2
1. el área A1 de un cuadrado de base ψ (π /p) y altura Bmax
:
LN ↑+ π / p
A1 = ψ
π
[1]
2
Bmax
p
2. más 2 veces el área A2 de la recta de subida desde la línea neutra hasta el
máximo, al cuadrado. Esta recta, tomando como origen la línea neutra (ver Fig.
1), es:
Bmax
2B
θ = max θ
B (θ ) =
1 −ψ
⎛ 1 −ψ ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
y el área del cuadrado de la recta:
A2 =
∫
1−ψ π
2 p
0
2
4 Bmax
(1 −ψ )2
1−ψ π
2
1 4 Bmax
1
π 2
3 2 p
θ dθ =
θ
= (1 −ψ ) Bmax
2
0
p
3 (1 −ψ )
6
2
Si sustituimos estos resultados en [1], resulta:
1
1
⎡ 1
⎤2
1 −ψ 2 ⎤ 2
2ψ + 1
2
+
B=⎢
Bmax ⎥ =
Bmax
( A1 + 2 A2 )⎥ = ⎡⎢ψ Bmax
3
3
⎣
⎦
⎣ π/ p
⎦
cdtm, B
1−ψ π
2 p
1−ψ
2
π
π /p
1+ψ
2
π π
θ
γ
Fig. 1. Curva de inducción desplazada para facilitar la
integración en un semiciclo.
Apdo. c)
El factor de forma kf se define como el cociente entre el valor eficaz de una onda y su
valor medio. En este caso:
1 + 2ψ
B
3 = 2 1 + 2ψ
kf =
=
ψ
1
+
B
3 (1 +ψ )
2
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Apdo. d)
Para describir con comodidad la amplitud de la onda fundamental del desarrollo en
series de Fourier, supondremos, como antes, la línea neutra de subida en θ = 0. Así, el
desarrollo sólo tiene términos en seno (función impar) y la descripción para un ciclo
magnético (ángulo γ = pθ ) es:
∞
B ( γ ) = ∑ bn sen ( n γ )
1
(con simetría de semionda tampoco existe componente de valor medio).
Las amplitudes de los términos vienen dadas por:
2 2π
bn =
B ( γ ) sen ( n γ ) d γ
2π ∫0
En nuestro caso, y para n = 1, la integral es el doble de la de un semiciclo y, teniendo en
cuenta que el tramo de subida y el de bajada dan funciones subintegrales simétricas,
podemos escribir el término como:
1+ψ
⎤
⎞
2 ⎡ 1−2ψ π ⎛ 2 Bmax
2 π
b1 = ⎢ 2∫
sen
d
B
sen
d
γ
γ
γ
γ
γ
+
(
)
(
)
(
)
⎥=
⎜
⎟
∫1−2ψ π max
π ⎢⎣ 0 ⎜⎝ π (1 −ψ ) ⎟⎠
⎥⎦
1+ψ
1−ψ
⎤
2 Bmax ⎡
4
2 π
2 π
sen
d
sen
d
γ
γ
γ
γ
γ
=
+
(
)
(
)
⎢
⎥
∫1−2ψ π
π ⎣⎢ π (1 −ψ ) ∫0
⎦⎥
La primera integral se resuelve por partes (el estudiante debe resolverla) y la segunda es
inmediata:
1+ψ ⎫
1−ψ
π
2 Bmax ⎧⎪
4
2 π + ⎡ − cos γ ⎤ 2
⎡
−
+
⎤
γ
γ
γ
cos
sen
( )
( )⎦0
( )⎦ 1−ψ ⎪⎬ =
⎨
⎣
⎣
π ⎪⎩ π (1 −ψ )
2 π⎪
⎭
2 B ⎧⎪
⎡ 1 −ψ
4
⎛ 1 −ψ ⎞
⎛ 1 −ψ ⎞ ⎤
= max ⎨
−
π cos ⎜
π ⎟ + sen ⎜
π ⎟⎥ +
⎢
π ⎩⎪ π (1 −ψ ) ⎣ 2
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠⎦
b1 =
⎡
⎛ 1 +ψ ⎞ ⎤ ⎡
⎛ 1 −ψ ⎞ ⎤ ⎫
+ ⎢ − cos ⎜
π ⎟ ⎥ − ⎢ − cos ⎜
π ⎟⎥ ⎬ =
⎝ 2
⎠⎦ ⎣
⎝ 2
⎠⎦ ⎭
⎣
Simplificando resulta:
b1 =
4 Bmax ⎡
2
⎛ 1 −ψ ⎞ ⎤
sen ⎜
π ⎟⎥
⎢
π ⎣ π (1 −ψ )
⎝ 2
⎠⎦
Observe que cuando ψ = 1 se obtienen los parámetros de la onda cuadrada completa.