1 Diagramas de esfuerzos - U

1 Diagramas de esfuerzos
1 Diagramas de esfuerzos
11
12
Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.1
Determinar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura.
600 2 N
45o
E
C
A
800 Nm
D
2m
B
3m
2m
3m
FH
FV
2
2
2
600 2 ˜
2
600 2 ˜
600 N
600 N
Resolución:
a) Descomposición de la fuerza exterior aplicada en el extremo de la barra BE.
b) Cálculo de las reacciones.
600 N
600 N
Ejes globales
E
D
C
A
800 Nm
B
RAH
RCV
RAV
Tomamos momentos respecto al punto C:
¦M
c
0 Ÿ
R AV ˜ 6 600 ˜ 3 600 ˜ 2 800
0
Ÿ
R AV
100
N = -33,3 N
3
Suma de fuerzas verticales y horizontales:
¦F
¦F
V
0
Ÿ R AV 600 RCV
H
0
Ÿ
RAH
600 N
0
Ÿ
100
600
3
RCV
1900
N
3
13
1 Diagramas de esfuerzos
c) Cálculo de momentos en los tramos AB y BC.
TramoAB:
100
˜x
3
M ( x)
R AV ˜ x
M ( x)
R AV ˜ x 600( x 3) 600 ˜ 2
MA
0
MB
100 Nm
Tramo BC:
MB
MC
100
˜ 3 0 1200 1100 Nm
3
100
˜ 6 600 ˜ 3 600 ˜ 2 800 Nm
3
Diagramas.
600 N
E
-
600 N
N
+
A
B
C
D
B
600 N
A
C
B
T
D
+
1900
N
3
100
N
3
E
B
-800 N·m
E
-100 N·m
M
A
-
B
C
D
1200 N·m
+
1100 N·m
Equilibrio del nudo B.
600 N
600 N
100/3 N
600 N
B
1900
N
3
B
14
Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.2
Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura, apoyada en los extremos y sometida a
una carga repartida triangular.
1600
6
A
B
x
6m
T
Resolución:
a) Cálculo de la reacciones.
Resultante de la carga Q
1600 ˜ 6
2
4800 N .
4800 N
A
B
6m
RA
4m
2m
R A RB
¦M
RB
RA
A
4800
0
4800 ˜ 4
6
1600 N
Ÿ
RB ˜ 6
3200 N
4800 ˜ 4
RB
N
m
15
1 Diagramas de esfuerzos
b) Cálculo de los esfuerzos de sección.
1600
A
B
d[
1600 N
3200 N
x-[
[
x
L=6m
Sección situada a una distancia x del apoyo A:
T:
x
T
1600 T
ª1600 [ 2 º
˜ »
1600 «
2 ¼0
¬ 6
³
0
q d[
1600 ³
x
0
1600
[ d[
6
x
1600 1600 2
x
12
M:
x
³ q ˜ x [ d[
1600
[ ˜ x [ d[
6
1600 x M
ª1600 § [ 2
[ 3 ·º
1600 x «
˜ ¨¨ x ¸¸»
3 ¹»¼
«¬ 6 © 2
0
M
§ 1600 § x 3 x 3 · ·
1600 x 3
1600 x ¨
˜ ¨¨ ¸¸ ¸ 1600 x ˜
¨ 6
3 ¹ ¸¹
6
6
© 2
©
0
1600 x x
M
³
0
x
N
m
16
Resistencia de materiales. Problemas resueltos
c) Diagramas.
1600 N
A
+
T
3200 N
M
+
3695 Nm
d) Punto de Mmáx
wM
wx
T
T
ŸT
1600 2
x
o x
12
1600
1600 ˜ 3,46 ˜ 3,46 2
12
0 1600 M máx
0
12
3,46 m
3695 Nm
17
1 Diagramas de esfuerzos
Problema 1.3
Determinar los diagramas de esfuerzos del pórtico inclinado de la figura.
200 2 N
400 2 N
B
2m
45q
A
2m
C
2m
Resolución:
Para el cálculo de las reacciones, planteamos las ecuaciones de la estática.
200 2
B
400 2
A
RAH
C
RAV
¦F
¦F
¦M
RC
V
0 Ÿ
R AV RC 200 2
H
0 Ÿ
R AH
0 Ÿ
RC ˜ 4 400 2 ˜ 2 200 2 ˜ 2 0 Ÿ
A
0
400 2 N
RC
300 2 N
18
Resistencia de materiales. Problemas resueltos
por tanto, RAV
100 2 N y descomponiendo cada reacción en las direcciones de las barras,
400
100 2
400 2
100
100
400
400 2
300
300
300 2
400
100
400
300 2
100
300
100 2
Diagrama
N
500 N
B
+
-
C
A
-300 N
Diagrama
T
300 N
B
+
-
C
A
300 N
Diagrama
M
300
19
1 Diagramas de esfuerzos
B
B
A
+
x
+
x’
C
300 N
M = 300 · x
MA
0
MB
600 2 Nm
M = 300 · x’
MC
0
MB
600 2 Nm
Método alternativo para hallar las reacciones: resolución gráfica.
Para que las tres fuerzas estén en equilibrio, sus líneas de acción deben cruzarse en punto O (ya que
¦M
0
0 ). A partir de la línea de acción vertical de RC, se obtiene O.
G
F
RA
200 2
// OA
B
400 2
RC
G
F
// OC
RA
C
RC
20
Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.4
Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura.
p = 600
4000 N
N
ml
3000 N
B
P1
C
P2
A
a=2m
L=6m
b=2m
Resolución:
Cálculo de las reacciones:
¦F
V
¦M
: R B RC 4000 600 ˜ 6 3000 0
B
: 4000 ˜ 2 600 ˜ 6 ˜ 3 RC ˜ 6 3000 ˜ 8 Ÿ
RC
4467 N
RB
6133 N
Diagrama de momentos flectores:
Tramo AB:
M
MA
4000 ˜ x
0
MB
8000 Nm
Tramo BC:
M
MB
2
x 2
4000 ˜ x 6133 ˜ x 2 600 ˜
2
8000 Nm
MC
6000 Nm
Tramo CD:
M
MC
4000 ˜ x 6133 ˜ x 2 600 ˜ 6 ˜ x 5 4467 ˜ x 8
6000 Nm
MD
0
Diagrama de esfuerzos cortantes.
Tramo AB:
T
TA
4000 N
4000 N
TB
4000 N
D
21
1 Diagramas de esfuerzos
Tramo BC:
TB
4000 x 6133 600 ˜ x 2
2133 N
TC 1467 N
T
4000 6133 3600 4467
T
Tramo CD:
TC
TD
3000 N
3000 N
B
D
C
A
a=2m
L=6m
b=2m
-8000
-6000
M
( Nm )
E
xE
2133
3000
3000
+
+
T
-
-
(N)
-1467
-4000
-4000
El diagrama de momentos flectores pasa por un mínimo relativo en el punto E, donde la tangente es
horizontal, o sea:
wM
T 0 : 4000 6133 600 ˜ x E 2 0 Ÿ x E 5,35 m
wx
ME = -4208 Nm
22
Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.5
En la viga en voladizo de la figura, calcular las reacciones en el empotramiento y dibujar los
diagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en toda la viga.
4 KN
0,5m
1m
5 KN/m
2m
1m
Resolución:
a) Reacciones en el empotramiento.
Comenzaremos por buscar el sistema de fuerzas que ejerce el empotramiento, dibujamos el diagrama
de sólido libre y obligamos al equilibrio. Sumando fuerzas y tomando momentos obtenemos:
4 KN
FE
ME
10 KN
ME
ME
FE
4 KN
5 KN/m
0.5m
1m
14 KN
0.5m
2m
FE
2m
½
¾ Reacciones que ejerce el empotramiento sobre la viga.
4 ˜ 0,5 10 ˜ 2 22 KN ˜ m ¿
23
1 Diagramas de esfuerzos
b) Diagramas
4 KN
5 KN/m
D
E
0,5
C
0,5
A
B
2m
1m
x
M
T
+
Tramo AB:
M=0
T=0
Tramo BC:
M
5 ˜
x 12 KN ˜ m 2
MB
0
MC
T
5 ˜ x 1
2
KN 0
TB
0
TC
10 KN
24
Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Tramo CD:
M
10 ˜ x 2 KN ˜ m MC
MD
T
10 KN 10 KN ˜ m
15 KN ˜ m
TC
10 KN
TD
10 KN
Tramo DE:
M
T
10 ˜ x 2 4 ˜ x 3,5 KN ˜ m 10 4 14 KN MD
15 KN ˜ m
ME
22 KN ˜ m
TD
14 KN
TE
14 KN
Estos diagramas se han obtenido tomando el origen de las x en el extremo A, de la derecha, porque en
este caso, es más cómodo. Si se determinan los diagramas tomando el origen de las x en el extremo de
la izquierda E, tal como se hace habitualmente, el diagrama de momentos flectores, M, sale idéntico;
pero el diagrama de esfuerzos cortantes sale opuesto (igual, pero de signo cambiado).