Encuentra la ecuación del círculo que pasa por los puntos (1, 5) , (5

Encuentra la ecuación del círculo que pasa por los puntos (1; 5) ; (5; 5) y (3; 7).
Solución:
La ecuación general de un círculo es
x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
Si todos y cada uno de los puntos están en el círculo tenemos tres ecuaciones con incógnitas D; E; F . En efecto, si el
punto (1; 5) está en el circulo se debe cumplir que
2
2
(1) + (5) + D (1) + E (5) + F = 0
Par el segundo punto se debe cumplir
2
2
(5) + (5) + D (5) + E (5) + F = 0
Y para el tercero,
2
2
(3) + (7) + D (3) + E (7) + F = 0
Tenemos entonces un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas,
D + 5E + F =
26
5D + 5E + F =
50
3D + 7E + F =
58
que resolvemos con el método de eliminación
0
1
0
1 5 1
26
1
5
@ 5 5 1
50 A 5R1 + R2 @ 0
20
!
3 7 1
58
3
7
0
1
0
1 5
1
5
1
26
R
R
2
3
@ 0
@ 0
5
20
4 80 A
;
4 !
2
0
4
0
8
2 20
0
1
@ 0
0
0
1
@ 0
0
5
5
0
1
1
1=5
0
5
0
1
0
1=5
D=
6; E =
es decir,
1
0
26
20 A 5R3 + R2 @
!
6
1
0
24
1
50 A 5R3 + R1 @ 0
!
6
0
de Gauss.
1
0
26
1
80 A 3R1 + R3 @ 0
!
58
0
1
0
1
26
1
4
1 20 A
R 2 + R3 @ 0
5
!
1 10
0
1
0
1 5
1
26
0
5
0
50 A R2 + R1 @
!
0 0
1=5
6
1
0
0
0
6
1
5
0
50 A 5R3 + R1 @ 0
!
0
1=5
6
0
1
4
1
10; F = 30
y la ecuación del círculo es
x2 + y 2
6x
10x + 30 = 0
La grá…ca del círculo con los tres puntos (cruces) es
1
1
26
80 A
20
1
1
26
1
20 A
1=5
6
5
20
8
1
4
2
5
5
0
1
0
0
0
5
0
0 0
1 0
0 1
1
1
24
0
50 A
1=5
6
1
6
10 A
30
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
x
2