Apuntes de Analítica Experimental III Para reportar resultados con un nivel determinado de confiabilidad Límites de confianza de la media para muestras grandes Al momento de hacer una medición es importante definir el intervalo dentro del cual se pueda suponer de manera razonable que se encuentra el valor verdadero, el cual es conocido como intervalo de confianza y los valores extremos de éste se conocen como límites de confianza. El término confianza implica que podemos afirmar con una probabilidad determinada, que el valor verdadero se encuentra dentro del intervalo reportado. Si se supone una distribución normal, entonces el 95% de las medidas muestrales se encontrarán en el intervalo dado por: Ecuación 1. Figura 1. La distribución muestral de la media, mostrando el intervalo dentro del cual se encuentra el 95% de las medias muestrales Sin embargo, en la práctica se dispone habitualmente de una muestra de media conocida, y se busca un intervalo para µ, el verdadero valor. La ecuación puede reordenarse y expresarse de la siguiente forma: Ecuación 2. Elaboró: Marisol Romero Revisó: Silvia Citlalli Gama 1 Apuntes de Analítica Experimental III La Ecuación 2, proporciona el intervalo de confianza al 95% de la media. Los límites de confianza al 95 son: Ecuación 3 En la práctica, es poco probable conocer exactamente el valor de σ, sin embargo siempre que la muestra sea grande, σ puede ser sustituida por su estimación s. Límites de confianza de la media para muestras pequeñas Cuando el tamaño de muestra se hace más pequeño, s, es menos fidedigno como una estimación de σ. Por lo que la Ecuación 3, debe ser modificada como se muestra a continuación: Ecuación 4. El subíndice (n-1) indica que t depende de esta cantidad, que se conoce como el número de grados de libertad, g.l. El término grados de libertad se refiere al número de desviaciones independientes ( ) que se utilizan al calcular s. El valor de t depende también del grado de confianza requerido. Ejemplo: Se determinó la cantidad de cobre presente en un complejo multivitamínico en 6 muestras independientes: Muestra Contenido de Cu (mg) 1 2.02 2 1.95 3 1.89 4 1.87 5 2.00 6 1.93 Tabla 1. Resultados obtenidos para el contenido de cobre en 6 muestras independientes. Reportar el contenido de cobre en mg con su correspondiente intervalo de confianza al 95 % de confianza. 1. La cantidad promedio de Cu es 1.94 mg y la desviación estándar es 5.92x10-2 mg. 2. Los grados de libertad es igual al número de determinaciones menos 1. Elaboró: Marisol Romero Revisó: Silvia Citlalli Gama 2 Apuntes de Analítica Experimental III )=5 3. Encontrar el valor correspondiente de t. en la tabla de correspondiente para 5 grados de libertad y un nivel de confianza del 95 %, para dos colas. Tabla 2. Valores críticos de la distribución t de Student 4. La muestra se reporta como: Nota: Para reportar una muestra con los límites de confianza se está despreciando la incertidumbre tipo B (errores sistemáticos) en la que influyen factores diferentes a los puramente estadísticos y que comúnmente no pueden ser modificados por el analista. Referencias: Miller, J. N., Miller, J. C. (2002). Estadística y quimiometría para química analítica. Pearson Educación. España. Elaboró: Marisol Romero Revisó: Silvia Citlalli Gama 3