Taller 1 Abril

TALLE N°1 ED-A1
Abril 2015
1. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales según su tipo y su linealidad.
𝑑2 𝑥
𝑑𝑥
a) 3 𝑑𝑡 2 + 4 𝑑𝑦 + 9𝑥 = 2 cos 3𝑡
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
b)
𝑑𝑦
𝑑𝑦
− 2𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑦 = 0
c) 𝑑𝑥 =
d)
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
(Ecuación de Hermite, mecánica cuántica, oscilador armónico)
𝑦(2−3𝑥)
𝑥(1−3𝑦)
+
𝜕2 𝑢
𝜕𝑦 2
(Vibraciones mecánicas, circuitos eléctricos, sismología)
(Competencia entre dos especies, ecologica)
=0
(Ecuación de Laplace, teoría de potencial, electricidad,
calor, aerodinámica)
𝑑𝑦 2
e) 𝑦 [1 + ( ) ] = 𝑐,
𝑑𝑥
f) √1 − 𝑦
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
+ 2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑐 𝑐𝑡𝑒
(Problema de braquistocrona, cálculo de variaciones)
=0
(Ecuación de Kidder, flujo de un gas a través de un medio
poroso)
g)
𝜕𝑁
𝜕𝑡
=
𝜕2 𝑁
𝜕𝑟 2
1 𝜕𝑁
+ 𝑟 𝜕𝑟 + 𝑘𝑁, 𝑘 𝑐𝑡𝑒
(Fisión nuclear)
2. Escriba una ecuación diferencial que se ajuste a la descripción física.
a) La razón de cambio de la masa A de sal en el instante t es proporcional al cuadrado de la masa
de sal presente en el instante t.
b) Dos pilotos, Alison y Kevin, participan en una carrera de “arrancones”. Parten desde el reposo y
luego aceleran a una razón constante. Kevin cubre la última cuarta parte de la distancia en 3
segundos, mientras que Alison cubre la última tercera parte de la distancia en 4 segundos. ¿Quién
gana y por cuánto tiempo?
3. Verifique que 𝑥 2 +𝑐𝑦 2 =1, donde C es una constante arbitraria distinta de cero, es una familia a
un parámetro de soluciones implícitas de
𝑑𝑦
𝑥𝑦
= 2
𝑑𝑥 𝑥 − 1
Y grafique varias de las curvas solución usando los mismas ejes de coordenadas.
4. Si 𝑐 > 0 entonces demuestre que la función ∅(𝑥) =
valor inicial
𝑑𝑦
𝑑𝑥
1
1
𝑐 2 −𝑥 2
es una solución del problema con
= 2𝑥𝑦 2 , 𝑦(0) = 𝑐 2 en el intervalo −𝑐 < 𝑥 < 𝑐. Observe que esta solución no es
acotada conforme x tiende a ±𝑐. Así, la solución existe en el intervalo (-𝛿, 𝛿) 𝑐𝑜𝑛 𝛿 = 𝑐, pero no
para una 𝛿 mayor. Esto ilustra el hecho de que en el teorema de existencia y unicidad, el intervalo
de existencia puede ser demasiado pequeño (si c es pequeño) o bastante grande (si c es grande).
𝑑𝑦
Observe además que la propia ecuación 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦 2 o su valor inicia no nos dan indicios de que la
solución “explota” en 𝑥 = ±𝑐
5. Determine si el problema de valores iniciales dado tiene solución única:
a)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 3 − 𝑦 3 ; 𝑦(0) = 6
𝑑𝑦
b) 𝑑𝑥 = 3𝑥 − 3√𝑦 − 1 ; 𝑦(2) = 1
𝑑𝑦
c) 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 ; 𝑦(1) = 0
d)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+ cos 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑡; 𝑥(𝜋) = 0