1.- Se crea un oscilador armónico usando un bloque de

CURSO 2010-2011
TERCER EXAMEN TIPO TEST
MODELO 1
1 . - Se crea un oscilador armónico usando un bloque de 300 g y un resorte
ideal con una constante de fuerza k desconocida. El oscilador tiene un período de 0. 2
s. Calcula k.
a) 296088 N/m
b) 1 . 22 N/m
c) 296 N/m
d) 7. 70 N/m
Tenemos como datos:
m=300 g =0.3 kg; T=0.2 s
Para un oscilador solamente con un resorte (el caso más simple) obtenemos de la
frecuencia natural:
ω=
k
2π
⇒
=
m
T
k
4π2m 4π2 ⋅ 0.3
⇒k =
=
= 296 N / m
m
T2
0.22
Respuesta correcta: c)
2. - La punta de la aguja de una máquina de coser se mueve con un movimiento
armónico simple a lo largo del eje X con una frecuencia de 2 Hz. En t=0 sus
componentes de posición y velocidad son 1 . 1 cm y 8. 5 cm/s. Calcule la componente de
aceleración de la aguja en t=0.
a) 1 73. 7 cm/s2
b) 0
c) 1 8. 7 cm/s2
d) No puede determinarse, faltan datos.
Como el movimiento de la aguja es armónico simple su ecuación será del tipo:
y=Asen(ωt+ϕ0)
La velocidad:
dy
y =
= Aω cos( ωt + ϕ0 )
dt
Y la aceleración:
dy
y =
= −Aω2sen(ωt + ϕ0 ) = −ω2 y = −(2πν)2 y = −(2π ⋅ 2)2 ⋅ 1.1 = −173.70 cm / s2
dt
Respuesta correcta: a)
3. - En
período tendrá
a) 0. 65
b) 4. 94
c) 3. 94
d) 9. 68
la Tierra, cierto péndulo simple tiene un período de 1 . 60 s. ¿Qué
en la Luna, donde g=1 . 62 m/s2?
s
s
s
s
En la Tierra tendremos que el período del péndulo es:
TT = 2π
L
gT
TL = 2π
L
gL
Y en la Luna:
Dividiendo las dos expresiones:
TT
=
TL
2π
2π
L
gT
L
gL
⇒
TT
=
TL
gL
g
9.8
⇒ TL = TT T = 1.60
= 3.94 s
gT
gL
1.62
Respuesta correcta: c)
4. - Una masa de 0. 4 kg se mueve en el extremo de un resorte con k=300
N/m, sometido a la acción de una fuerza amortiguadora Fr=9v (siendo v la velocidad
de la masa). ¿Qué frecuencia de oscilación tiene la masa?
a) 27. 39 rad/s
b) 25 rad/s
c) 22. 29 rad/s
d) 8. 66 rad/s
Tendremos que la constante de amortiguamiento es:
γ=9 Ns/m
Por tanto el parámetro de amortiguamiento será:
γ
9
β=
=
= 11.25 s −1
2m 2 ⋅ 0.4
Y la frecuencia natural de la oscilación es:
k
300
ω0 =
=
= 27.39 rad / s
m
0.4
ω = ω20 − β2 = 27.392 − 11.252 = 24.97 rad / s
Respuesta correcta: b)
5. - Un bloque tiene movimiento armónico simple con amplitud de 0. 1 m sobre
una superficie horizontal sin fricción. En un punto a 0. 060 m del equilibrio, la
velocidad del bloque es de 0. 360 m/s. ¿Cuánto vale el período?
a) 4. 5 s
b) 0. 71 6 s
c) 1 . 40 s
d) 6 s
La ecuación del bloque, puesto que tiene movimiento armónico simple, es del tipo:
x=Asen(ωt+ϕ0)
La velocidad será por tanto:
dx
= Aω cos( ωt + ϕ0 )
x =
dt
Tenemos que la amplitud vale A=0.1 m y que la posición es 0.060 m. Por tanto:
x=Asen(ωt+ϕ0) ⇒ 0.060=0.1sen(ωt+ϕ0) ⇒ sen(ωt+ϕ0)=0.6
El término cosenoidal será:
cos( ωt + ϕ0 ) = 1 − sen2 (ωt + ϕ0 ) = 1 − 0.62 = 0.8
Y en ese instante la velocidad del bloque es de 0.360 m/s:
x = Aω cos(ωt + ϕ0 ) ⇒ 0.360 = 0.1ω ⋅ 0.8 ⇒ ω = 4.5 rad / s
2π
2π 2π
ω=
⇒T =
=
= 1.40 s
T
ω 4.5
Respuesta correcta: c)
6. - Un pescador nota que su bote sube y baja periódicamente a causa de las
olas en la superficie del agua. El bote tarda 2 s en moverse desde el punto más alto
al más bajo, una distancia de 0. 6 m. El pescador ve que la distancia entre crestas es
de 7 m. ¿Con qué velocidad viajan las olas?
a) 1 . 75 m/s
b) 3. 5 m/s
c) 0. 3 m/s
d) 0. 1 5 m/s
El bote tarda 2 s en moverse desde el punto más alto al más bajo, luego eso tiene
que ser la mitad del período:
T
=2s⇒T =4s
2
Y la distancia entre crestas es 7 m luego eso será la longitud de onda:
λ=7 m
La velocidad de propagación es por tanto:
λ 7
v = = = 1.75 m / s
T 4
Respuesta correcta: a)
7. - Se desea aislar acústicamente una habitación, de modo que la intensidad
se reduzca a la sexta parte. ¿Qué espesor de aislante acústico debemos poner si el
material tiene un coeficiente de absorción de 2. 5 m- 1 ?
a) 0. 71 7 m
b) 1 . 43 m
c) 1 . 40 m
d) 4. 45 m
La absorción sigue la ley de Lambert-Beer:
I=I0e-βx
Por tanto, si queremos que la intensidad se reduzca a la sexta parte:
I
1
1
I=I0e-βx ⇒ 0 = I0 e −2.5x ⇒ = e −2.5x ⇒ ln = −2.5x ⇒ x = 0.717 m
6
6
6
Respuesta correcta: a)
8. - La boca de un bebé está a 30 cm de la oreja de su padre y a 3 m de la
de su madre. ¿Qué diferencia hay entre los niveles de intensidad de sonido que
escuchan los padres?
a)
b)
c)
d)
48. 63 dB
20 dB
2 dB
1 0 dB
La diferencia de sensación sonora será:
∆S = SP − SM = 10 log
I
IP
− 10 log M
I0
I0
2
4πrM
IP
I
I
= 10 log 0 = 10 log P = 10 log
IM
IM
I0
P
A
AP
= 10 log M =
P
AP
AM
2
r 
r
3
= 20 dB
= 10 log
= 10 log M  = 20 log M = 20 log
2
rP
0.30
4πrP
 rP 
Respuesta correcta: b)
9. - Un tren viaja a 30 m/s en el aire tranquilo. La frecuencia de la nota
emitida por el silbato de la locomotora es de 500 Hz. Calcula la frecuencia percibida
por un observador en reposo situado por delante de la locomotora. Velocidad del
sonido: 340 m/s.
a) 548 Hz
b) 460 Hz
c) 530 Hz
d) 470 Hz
Tendremos lo que aparece en
Aplicando la ecuación correspondiente
Doppler:
v − vO / m
v − vO + vm
340
ν' = ν
=ν
= 500
= 548.38 Hz
v − vF / m
v − vF + vm
340 − 30
Respuesta correcta: a)
la
al
figura.
efecto
1 0. - Una cuerda de piano está hecha de acero y tiene 50 cm de longitud y 5 g
de masa, estando sometida a una tensión de 400 N. ¿Cuál es la frecuencia de su
vibración fundamental?
a) 400 s- 1
b) 250 s- 1
c) 1 25 s- 1
d) 200 s- 1
Puesto que se trata de una cuerda tensa, para que se produzcan ondas estacionarias
tiene que cumplirse que:
λ
L =n
(n = 1, 2, 3, ...)
2
Para el tono fundamental:
λ
v
v
1 T
1 TL
1
400 ⋅ 0.50
n=1 ⇒ L = =
⇒ν=
=
=
=
= 200 s −1
2 2ν
2L 2L µ 2L m
2 ⋅ 0.50
0.005
Respuesta correcta: d)
CURSO 2010-2011
TERCER EXAMEN TIPO TEST
MODELO 2
1 . - Se crea un oscilador armónico usando una masa y un resorte ideal con una
constante de fuerza k de 1 00 N/m. El oscilador tiene un período de 0. 2 s. Calcula la
masa suspendida.
a) 0. 1 01 kg
b) 0. 507 kg
c) 50 kg
d) 31 4. 1 6 kg
Tenemos como datos:
k=100 N/m; T=0.2 s
Para un oscilador solamente con un resorte (el caso más simple) obtenemos de la
frecuencia natural:
ω=
k
kT 2 100 ⋅ 0.22
⇒m=
=
= 0.101 kg
m
4 π2
4 π2
Respuesta correcta: a)
k
2π
⇒
=
m
T
2. - Un bloque de 3 kg se conecta a un resorte ideal de constante k=200 N/m.
Se imparte al bloque una velocidad inicial v0= 1 2 m/s en la dirección + x y ningún
desplazamiento inicial (x0=0). Calcula la amplitud del movimiento.
a) 1 2 m
b) 8. 1 6 m
c) 0. 40 m
d) 1 . 47 m
El bloque realiza un movimiento armónico simple, luego la posición valdrá:
x=Asen(ωt+ϕ0)
Y la velocidad:
dx
= Aω cos( ωt + ϕ0 )
x =
dt
Sabemos que para t=0 el desplazamiento inicial es nulo, luego:
x=Asen(ωt+ϕ0) ⇒ 0=Asenϕ0 ⇒ senϕ0=0 ⇒ ϕ0=0
Y sabemos que para t=0 la velocidad es de 12 m/s:
x = Aω cos(ωt + ϕ0 ) ⇒ 12 = Aω cos 0 ⇒ 12 = Aω
La frecuencia angular vale:
ω=
Sustituyendo:
k
200
=
= 8.16 rad / s
m
3
12=Aω ⇒ 12=8.16A ⇒ A=1.47 m
Respuesta correcta: d)
3. - Un péndulo simple de 0. 55 m de largo se mueve 7º a un lado y se suelta.
¿Cuánto tarda la pesa del péndulo en alcanzar su velocidad máxima?
a) 0. 744 s
b) 1 3. 26 s
c) 6. 63 s
d) 0. 372 s
La velocidad máxima se alcanza al pasar por el punto más bajo de la trayectoria. Se
recorre desde el punto de máxima amplitud hasta ese punto un cuarto de la oscilación,
luego el tiempo será un cuarto del período:
T 2π L π 0.55
t= =
=
= 0.372 s
4
4 g 2 9.8
Respuesta correcta: d)
4. - Una masa de 0. 4 kg se mueve en el extremo de un resorte con k=300
N/m, sometido a la acción de una fuerza amortiguadora Fr=γv (siendo v la velocidad de
la masa). ¿Con qué valor de γ el amortiguamiento será crítico?
a) 27. 39 kg/s
b) 34. 24 kg/s
c) 1 20 kg/s
d) 21 . 9 kg/s
Para que el amortiguamiento sea crítico se tiene que cumplir que:
k
γ
k
300
ω0 = β ⇒
=
⇒ γ = 2m
= 2 ⋅ 0.4
= 21.91 Ns / m
0.4
m 2m
m
Respuesta correcta: d)
5. - Un bloque tiene movimiento armónico simple con amplitud de 0. 1 m sobre
una superficie horizontal sin fricción. En un punto a 0. 060 m del equilibrio, la
velocidad del bloque es de 0. 360 m/s. ¿Cuánto vale el desplazamiento cuando la
velocidad es de 0. 1 20 m/s?
a) 0. 0285 m
b) 0. 0548 m
c) 0. 0964 m
d) 6 m
La ecuación del bloque, puesto que tiene movimiento armónico simple, es del tipo:
x=Asen(ωt+ϕ0)
La velocidad será por tanto:
dx
= Aω cos( ωt + ϕ0 )
x =
dt
Tenemos que la amplitud vale A=0.1 m y que la posición es 0.060 m. Por tanto:
x=Asen(ωt+ϕ0) ⇒ 0.060=0.1sen(ωt+ϕ0) ⇒ sen(ωt+ϕ0)=0.6
El término cosenoidal será:
cos( ωt + ϕ0 ) = 1 − sen2 (ωt + ϕ0 ) = 1 − 0.62 = 0.8
Y en ese instante la velocidad del bloque es de 0.360 m/s:
x = Aω cos(ωt + ϕ0 ) ⇒ 0.360 = 0.1ω ⋅ 0.8 ⇒ ω = 4.5 rad / s
Ahora, cuando la velocidad es de 0.12 m/s (otro instante de tiempo t’) tendremos:
x = Aω cos(ωt'+ϕ0 ) ⇒ 0.12 = 0.1 ⋅ 4.5 cos(ωt'+ϕ0 ) ⇒ cos(ωt'+ϕ0 ) = 0.267
El seno entonces:
sen(ωt'+ϕ0 ) = 1 − cos2 (ωt'+ϕ0 ) = 1 − 0.267 2 = 0.964
Y el desplazamiento:
x=Asen(ωt’+ϕ0)=0.10 · 0.964=0.0964 m
Respuesta correcta: c)
6. - Un pescador nota que su bote sube y baja periódicamente a causa de las
olas en la superficie del agua. El bote tarda 2 s en moverse desde el punto más alto
al más bajo, una distancia de 0. 6 m. El pescador ve que la distancia entre crestas es
de 7 m. ¿Con qué velocidad viajan las olas?
a) 1 . 75 m/s
b) 3. 5 m/s
c) 0. 3 m/s
d) 0. 1 5 m/s
El bote tarda 2 s en moverse desde el punto más alto al más bajo, luego eso tiene
que ser la mitad del período:
T
=2s⇒T =4s
2
Y la distancia entre crestas es 7 m luego eso será la longitud de onda:
λ=7 m
La velocidad de propagación es por tanto:
λ 7
v = = = 1.75 m / s
T 4
Respuesta correcta: a)
7. - Se desea aislar acústicamente una habitación, de modo que la intensidad
se reduzca a la quinta parte. Si se desea colocar una capa de aislante de 0. 25 m,
¿qué coeficiente de absorción debe tener el material?
a) 0. 402 m- 1
b) 6. 44 m- 1
c) 1 2. 88 m- 1
d) 5. 43 m- 1
La absorción sigue la ley de Lambert-Beer:
I=I0e-βx
Por tanto, si queremos que la intensidad se reduzca a la quinta parte:
I
1
1
I=I0e-βx ⇒ 0 = I0 e − 0.25β ⇒ = e − 0.25β ⇒ ln = −0.25β ⇒ β = 6.44 m −1
5
5
5
Respuesta correcta: b)
8. - ¿Qué fracción de potencia acústica de un ruido deberá eliminarse para
disminuir su nivel de intensidad sonora de 90 a 70 dB?
a) el 1 %
b) el 20%
c) el 80%
d) el 99%
Tendremos:
I
I0
I
I'
I
I
I
∆S = 10 log
− 10 log
= 10 log
= 10 log ⇒ 90 − 70 = 10 log ⇒ 2 = log
I'
I0
I0
I'
I'
I'
I0
I
I
I
= 102 ⇒ = 100 ⇒ I' =
= 1% I
I'
I'
100
Si queremos que la intensidad quede en el 1%, tendremos que eliminar el 99%.
Respuesta correcta: d)
9. - Un tren viaja a 30 m/s en el aire tranquilo. La frecuencia de la nota
emitida por el silbato de la locomotora es de 500 Hz. Calcula la frecuencia percibida
por un observador en reposo situado por detrás de la locomotora. Velocidad del
sonido: 340 m/s.
a) 548 Hz
b) 460 Hz
c) 530 Hz
d) 470 Hz
Tendremos lo que aparece en la figura. Aplicando
la ecuación correspondiente al efecto Doppler:
v − vO / m
v − vO + vm
340
ν' = ν
=ν
= 500
= 459.46 Hz
v − vF / m
v − vF + vm
340 + 30
Respuesta correcta: b)
1 0. - En un tubo abierto por un extremo existen las tres frecuencias de
resonancia sucesivas de 75, 1 25 y 1 75 Hz. ¿Cuál es la frecuencia fundamental?
Velocidad del sonido en el aire del tubo: 340 m/s.
a) 25 Hz
b) 50 Hz
c) 75 Hz
d) 1 00 Hz
Para un tubo abierto por un extremo la condición de ondas estacionarias es:
λ
v
Iv
L=I
(I = 1, 3, 5, 7,...) ⇒ L = I
⇒ν=
4
4ν
4L
Para dos frecuencias sucesivas se cumplirá:
Iv
I'v
ν=
; ν' =
4L
4L
Si restamos las frecuencias:
I'v Iv
v
ν'−ν =
−
= (I'−I)
4L 4L
4L
Como I e I’ son dos números impares consecutivos su diferencia tiene que ser 2:
v
340
ν'−ν = (I'−I)
⇒ 125 − 75 = 2
⇒ L = 3.4 m
4L
4L
Y para el sonido fundamental:
v
340
I =1⇒ ν =
=
= 25 s −1
4L 4 ⋅ 3.4
Respuesta correcta: a)
CURSO 2011-2012
TERCER EXAMEN TIPO TEST
MODELO 1
1 . - Un disco gira libremente alrededor de un eje. Una fuerza aplicada a una
distancia d del eje le ocasiona una aceleración angular α. ¿Qué aceleración angular se
produce si la misma fuerza se aplica a una distancia 2d del eje?
a) α
b) 2α
α
c)
2
d) 4α
Inicialmente tendremos:
ΣMG=IGα ⇒ Fd=IGα ⇒ α =
Fd
IG
Si la fuerza se aplica a una distancia 2d tendremos:
2Fd
ΣMG=IGα’ ⇒ F · 2d=IGα’ ⇒ α' =
= 2α
IG
Respuesta correcta: b)
2. - Un cilindro uniforme de masa M=2 kg y radio R=1 5 cm
tiene arrollada una cuerda. Esta cuerda está firmemente sujeta y
el cilindro cae verticalmente, tal como se indica en la figura.
Calcula la aceleración del cilindro. Momento de inercia de un disco
1
respecto de su punto medio
MR 2 .
2
a) 43. 55 m/s2
b) 4. 9 m/s2
c) 9. 8 m/s2
d) 6. 53 m/s2
Hacemos el diagrama de sólido libre del disco y
tendremos lo que aparece en la figura. Puesto que las
fuerzas son todas verticales la aceleración del centro de
masas del cilindro es vertical, y además el disco rueda sin
deslizar respecto del extremo derecho, luego:
aG=αR=0.15α
Así pues tenemos lo que aparece en la figura.
Aplicamos la segunda ley de Newton y tendremos:
ΣFY=maGY ⇒ mg-T=maG ⇒ mg-T=m · 0.15α
2 · 9.8-T=2 · 0.15α ⇒ 19.6-T=0.3α
Y de la ecuación de la rotación:
ΣMG=IGα
1
1
1
TR = MR 2α ⇒ T = MRα = 2 ⋅ 0.15α = 0.15α
2
2
2
Tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas:
19.6-T=0.3α
T=0.15α
Sustituyendo la segunda en la primera:
19.6-T=0.3α ⇒ 19.6-0.15α=0.3α ⇒ α=43.55 rad/s2
Y por tanto la aceleración del centro de masas:
aG=0.15α=0.15 · 43.55=6.53 m/s2
Respuesta correcta: d)
3. - Una barra de longitud L=1 m y masa M=5
kg se libera desde el reposo en posición horizontal.
Suponiendo que el pivote carece de rozamiento,
determinar la velocidad angular de la barra cuando
alcanza su posición vertical. Momento de inercia de una
1
barra respecto de su punto medio
mL2 .
12
a) 2. 71 rad/s
b) 5. 42 rad/s
c) 6. 26 rad/s
d) 8. 85 rad/s
Aplicamos la conservación de la energía
entre la posición inicial, en que la barra parte del
reposo, y la posición final, cuando pasa por la
vertical. Tomamos como nivel nulo de energía
potencial gravitatoria la más baja del centro de
masas. Tendremos lo que aparece en la figura. Así
pues:
ETinicial+Wnc=ETfinal
Inicialmente sólo tenemos energía potencial
gravitatoria porque la barra parte del reposo, y por
tanto, la energía cinética será cero. En cuanto a las fuerzas, aparte del peso sólo aparece la
reacción del pasador, que como no se desplaza no realiza trabajo, luego el trabajo de las
fuerzas no conservativas es nulo. En la situación final toda la energía es cinética, ya que por
convenio la energía potencial gravitatoria será nula. Nos queda:
1
1
ETinicial+Wnc=ETfinal ⇒ EPg=ECT+ECR ⇒ mghG = mvG2 + IG ω2
2
2
L
El centro de masas realiza una trayectoria circular de radio
luego su velocidad
2
será:
L
vG = ω
2
Sustituyendo:
mghG =
2
1
1
L 1  L
1 1
L
1
mv 2 + I ω2 ⇒ mg = m ω  +
mL2ω2 ⇒ g = ω2 +
Lω2
2 G 2 G
2 2  2
2 12
4 12
g=
1 2
Lω ⇒ ω =
3
3g
=
L
3 ⋅ 9.8
= 5.42 rad / s
1
Respuesta correcta: b)
4. - Partiendo del reposo, un disco realiza 1 0 revoluciones hasta alcanzar la
velocidad angular ω. Con aceleración angular constante, ¿cuántas revoluciones
adicionales debe realizar para alcanzar una velocidad angular 2ω?
a)
b)
c)
d)
10
20
30
40
revoluciones
revoluciones
revoluciones
revoluciones
Puesto que el movimiento es uniformemente acelerado tendremos:
1
1
θ = θ 0 + ω0 t + α t 2 = α t 2
2
2
Y para la velocidad:
ω = ω0 + αt = αt
De la segunda ecuación:
ω = αt ⇒ t =
Y sustituyendo en la primera:
ω
α
2
ω2
1  ω
1 2
⇒ ω2 = 2αθ
αt ⇒ θ = α  ⇒ θ =
2 α
2α
2
Del mismo modo, para alcanzar una velocidad angular 2ω tendremos:
θ=
4ω2 2ω2
(2ω)2
=
⇒ θ' =
2α
α
2α
Por tanto las revoluciones adicionales serán:
θ' =
∆θ = θ'−θ =
2ω2 ω2 3ω2 3 ⋅ 2αθ
= 3θ = 3 ⋅ 10 = 30 revoluciones
=
=
−
2α 2α
2α
α
Respuesta correcta: c)
5. - El momento de inercia de un objeto de masa m:
a) es una propiedad intrínseca del objeto
b) depende de la elección del eje de rotación
c) es proporcional a la masa
d) b) y c) son ciertos
El momento de inercia es proporcional a la masa pero no es una propiedad intrínseca
del objeto, ya que depende del eje de rotación.
Respuesta correcta: d)
6. - Dos relojes tienen péndulos simples de longitudes idénticas L. El péndulo
del reloj A oscila a lo largo de un arco de 3º ; el del reloj B a lo largo de un arco de
5º . Cuando se comparan los dos relojes resulta que:
a) El período de A es menor que el de B
b) El período de A es mayor que el de B
c) ambos relojes marcan el mismo tiempo
d) la respuesta depende de la longitud L
El período de un péndulo simple es:
T = 2π
L
g
Vemos que depende de la longitud del péndulo y de la gravedad, pero no de la
amplitud de la oscilación. Puesto que para ambos relojes L y g son iguales, el período será el
mismo y los dos relojes marcan el mismo tiempo.
Respuesta correcta: c)
7. - La posición de una partícula viene dada por x=7cos(6πt) donde x está en
cm cuando t está en s. ¿Cuál es el primer instante después de t=0 en que la partícula
está en su posición de equilibrio?
a) 0. 333 s
b) 0. 1 67 s
c) 4. 77 s
d) 0. 0833 s
Para la posición de equilibrio x=0. Por tanto:
x=0 ⇒ 7cos(6πt)=0 ⇒ cos(6πt)=0 ⇒ 6πt=
Respuesta correcta: d)
π
⇒ t=0.0833 s
2
8. - Un cuerpo de 1 . 5 kg que alarga un muelle en 2. 8 cm respecto a su longitud
natural cuando cuelga de él en reposo, oscila con una amplitud de 2. 2 cm. Calcula la
energía total del sistema.
a) 0. 1 3 J
b) 0. 32 J
c) 0. 45 J
d) 0. 90 J
En primer lugar determinamos la constante de recuperación del resorte. En
la posición de equilibrio tendremos lo que aparece en la figura. Puesto que el cuerpo
está en reposo:
mg 1.5 ⋅ 9.8
=
= 525 N / m
ΣFY=0 ⇒ mg-ky0=0 ⇒ k =
y0
0.028
Ahora necesitamos la energía total del sistema. Puesto que la energía
mecánica se mantiene constante, podemos determinar la energía total del sistema
en cualquier punto. Uno que es muy fácil es el más bajo de la oscilación, en el cual la
energía potencial gravitatoria es nula por ser la altura nula, la cinética también, puesto que
en ese momento el móvil instantáneamente se detiene e invierte el sentido del movimiento,
y sólo tendremos energía potencial elástica, siendo la elongación del resorte la amplitud.
Así pues:
1
1
ET = EPe = kA2 = 525 ⋅ 0.0222 = 0.13 J
2
2
Respuesta correcta: a)
9. - El periodo T de la oscilación lineal amortiguada de determinada masa es
0. 53 s. Si la amplitud de la segunda oscilación completa es 1 5 veces la amplitud de la
décima oscilación completa el parámetro de amortiguamiento es:
a) β=0. 084 s- 1
b) β=0. 51 2 s- 1
c) β=0. 277s- 1
d) β=0. 639 s- 1
El movimiento es subamortiguado, de modo que la ecuación que lo rige es:
x=A0e-βtsen(ωt+ϕ0)
Podemos expresar esto en la forma:
x=A0e-βtsen(ωt+ϕ0)=Asen(ωt+ϕ0)
ecuación que es formalmente igual a la de un movimiento armónico simple pero en la que la
amplitud A no es constante sino que decrece exponencialmente con el tiempo. Así pues, se
trata de un movimiento no armónico simple pero sí vibratorio. La amplitud A será:
A=A0e-βt
El problema nos habla de las amplitudes de la segunda y décima oscilación:
A2 = A0 e −βt2
Y sabemos además que:
Nos queda por tanto:
A10 = A0 e −βt10
A2=15A10
A2 = 15A10 ⇒ A0 e −βt2 = 15A0 e −βt10 ⇒ e −βt2 = 15e −βt10 ⇒ 15 =
e −βt2
e −βt10
⇒ 15 = e −βt2 +βt10
15 = e β( t10 −t2 )
El tiempo que transcurre entre estas dos oscilaciones (segunda y décima) tiene que
ser 8 veces el período:
ln 15
ln 15
=
= 0.639 s −1
15 = e β( t10 −t2 ) ⇒ 15 = e 8βT ⇒ ln 15 = 8βT ⇒ β =
8T
8 ⋅ 0.53
Respuesta correcta: d)
1 0. - Un objeto sujeto a un muelle horizontal tiene un movimiento armónico
simple de amplitud 4 cm. Cuando el objeto se encuentra a 2 cm de la posición de
equilibrio, ¿qué fracción de la energía total es potencial?
a) un cuarto
b) dos tercios
c) un tercio
d) tres cuartos
En el extremo de la oscilación toda la energía es potencial, luego tendremos:
1
1
ET = EPe = kA2 = k ⋅ 0.042 = 8 ⋅ 10 − 4 k J
2
2
Cuando el objeto se encuentra a 2 cm de la posición de equilibrio la energía
potencial es:
1
1
EP = kx2 = k ⋅ 0.022 = 2 ⋅ 10 − 4 k J
2
2
Dividiendo las dos expresiones:
EP
2 ⋅ 10 −4 k 1
1
=
= ⇒ EP = ET
ET 8 ⋅ 10 − 4 k 4
4
Respuesta correcta: a)
CURSO 2011-2012
TERCER EXAMEN TIPO TEST
MODELO 2
1 . - Las dimensiones del momento de una fuerza son las mismas que las del:
a) impulso
b) energía
c) cantidad de movimiento
d) ninguna de las anteriores
Las dimensiones del momento son:
[M] = [Fr] = MLT −2L = ML2T −2
Ahora vemos las de las respuestas. Para el impulso:
[I] = [Ft] = MLT −2T = MLT −1
Para la energía:
[E] = [mgh] = MLT −2L = ML2T −2
Vemos ya que tienen las mismas dimensiones.
Respuesta correcta: b)
Comprobamos que tampoco la cantidad de movimiento:
[p] = [mv] = MLT −1
2. - Un cilindro uniforme de masa M=2 kg y radio R=1 5 cm
tiene arrollada una cuerda. Esta cuerda está firmemente sujeta y
el cilindro cae verticalmente, tal como se indica en la figura.
Calcula la tensión en la cuerda. Momento de inercia de un disco
1
respecto de su punto medio
MR 2 .
2
a) 6. 53 N
b) 1 9. 6 N
c) 43. 55 N
d) 23. 95 N
Hacemos el diagrama de sólido libre del disco y
tendremos lo que aparece en la figura. Puesto que las
fuerzas son todas verticales la aceleración del centro de
masas del cilindro es vertical, y además el disco rueda sin
deslizar respecto del extremo derecho, luego:
aG=αR=0.15α
Así pues tenemos lo que aparece en la figura.
Aplicamos la segunda ley de Newton y tendremos:
ΣFY=maGY ⇒ mg-T=maG ⇒ mg-T=m · 0.15α
2 · 9.8-T=2 · 0.15α ⇒ 19.6-T=0.3α
Y de la ecuación de la rotación:
ΣMG=IGα
1
1
1
TR = MR 2α ⇒ T = MRα = 2 ⋅ 0.15α = 0.15α
2
2
2
Tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas:
19.6-T=0.3α
T=0.15α
Sustituyendo la segunda en la primera:
19.6-T=0.3α ⇒ 19.6-0.15α=0.3α ⇒ α=43.55 rad/s2
Y sustituyendo en la segunda:
T=0.15α=0.15 · 43.55=6.53 N
Respuesta correcta: a)
3. - Una barra de longitud L=1 m y masa M=5
kg se lanza con velocidad angular ω desde la posición
horizontal. Suponiendo que el pivote carece de
rozamiento, ¿qué velocidad ω se necesita para que la
barra alcance la posición vertical en la parte más alta
de su oscilación? Momento de inercia de una barra
1
respecto de su punto medio
mL2 .
12
a) 2. 71 rad/s
b) 6. 26 rad/s
c) 5. 42 rad/s
d) 8. 85 rad/s
Aplicamos la conservación de la energía entre la
posición inicial, en que la barra parte de la posición
horizontal con velocidad angular ω, y la posición final,
cuando pasa por la vertical. Tomamos como nivel nulo
de energía potencial gravitatoria la más baja del centro
de masas. Tendremos lo que aparece en la figura. Así
pues:
ETinicial+Wnc=ETfinal
Inicialmente sólo tenemos energía cinética, ya
que por convenio la energía potencial gravitatoria es
nula. En cuanto a las fuerzas, aparte del peso sólo
aparece la reacción del pasador, que como no se desplaza no realiza trabajo, luego el
trabajo de las fuerzas no conservativas es nulo. En la situación final toda la energía es
potencial gravitatoria, ya que el peso (vertical y hacia abajo) puede compensarse con la
reacción del pasador (vertical y hacia arriba) y conseguir que la velocidad en el punto más
alto de la trayectoria sea nula. Tendremos entonces:
1
1
ETinicial+Wnc=ETfinal ⇒ ECT+ECR=EPg ⇒ mvG2 + IG ω2 = mghG
2
2
L
El centro de masas realiza una trayectoria circular de radio
luego su velocidad
2
será:
L
vG = ω
2
Sustituyendo:
2
1
1
1
1  L
1 1
L
L
Lω2 = g
mv2 + I ω2 = mghG ⇒ m ω  +
mL2ω2 = mg ⇒ ω2 +
2 G 2 G
2  2
2 12
2
4 12
3g
1 2
3 ⋅ 9.8
Lω = g ⇒ ω =
=
= 5.42 rad / s
3
L
1
Respuesta correcta: c)
4. - Partiendo del reposo, un disco realiza 1 0 revoluciones hasta alcanzar la
velocidad angular ω. Con aceleración angular constante, ¿cuántas revoluciones
adicionales debe realizar para alcanzar una velocidad angular 3ω?
a) 20 revoluciones
b) 80 revoluciones
c) 40 revoluciones
d) 1 00 revoluciones
Puesto que el movimiento es uniformemente acelerado tendremos:
1
1
θ = θ 0 + ω0 t + α t 2 = α t 2
2
2
Y para la velocidad:
ω = ω0 + αt = αt
De la segunda ecuación:
ω = αt ⇒ t =
Y sustituyendo en la primera:
ω
α
2
ω2
1  ω
1 2
⇒ ω2 = 2αθ
αt ⇒ θ = α  ⇒ θ =
2 α
2α
2
Del mismo modo, para alcanzar una velocidad angular 3ω tendremos:
(3ω)2
9ω2
θ' =
⇒ θ' =
2α
2α
Por tanto las revoluciones adicionales serán:
9ω2 ω2 8ω2 4ω2 4 ⋅ 2αθ
∆θ = θ'−θ =
−
=
=
=
= 8θ = 8 ⋅ 10 = 80 revoluciones
α
α
2α 2α
2α
Respuesta correcta: b)
θ=
5. - Un momento constante actúa sobre un tiovivo. La potencia suministrada por
el momento es:
a) constante
b) proporcional a la velocidad angular del tiovivo
c) cero
d) ninguna de las anteriores
La potencia suministrada será:
P=Mω
Si el momento M es constante, la potencia será proporcional a la velocidad angular
del tiovivo.
Respuesta correcta: b)
6. - Un reloj de péndulo simple marca el tiempo exacto cuando su longitud es L.
Si la longitud se incrementa en una pequeña cantidad, ¿en qué se afecta la exactitud
del reloj?
a) El reloj atrasará
b) El reloj adelantará
c) El reloj continuará marcando el tiempo exacto
d) La respuesta no puede determinarse sin conocer el incremento relativo de la
longitud del péndulo
El período de un péndulo simple es:
T = 2π
L
g
Por tanto si aumentamos la longitud el período aumenta, con lo cual el reloj atrasa.
Respuesta correcta: a)
7. - La posición de una partícula viene dada por x=7cos(6πt) donde x está en
cm cuando t está en s. ¿Cuál es el primer instante después de t=0 en que la partícula
está en su posición de máximo desplazamiento?
a) 0. 333 s
b) 9. 55 s
c) 4. 77 s
d) 0. 1 67 s
Para la posición de máximo desplazamiento x=7 cm. Por tanto:
x=7 cm ⇒ 7cos(6πt)=7 ⇒ cos(6πt)=1 ⇒ 6πt=0 ⇒ t=0
El siguiente instante será:
6πt=π ⇒ t=0.167 s
Respuesta correcta: d)
8. - Un cuerpo de 1 . 5 kg que alarga un muelle en 2. 8 cm respecto a su longitud
natural cuando cuelga de él en reposo, oscila con una amplitud de 2. 2 cm. Calcula la
energía cinética máxima del cuerpo.
a) 0. 1 3 J
b) 0. 32 J
c) 0. 45 J
d) 0. 90 J
En primer lugar determinamos la constante de recuperación del resorte. En
la posición de equilibrio tendremos lo que aparece en la figura. Puesto que el
cuerpo está en reposo:
mg 1.5 ⋅ 9.8
=
= 525 N / m
ΣFY=0 ⇒ mg-ky0=0 ⇒ k =
y0
0.028
La energía cinética es máxima cuando la velocidad es máxima. Puesto que el
sistema ejecuta un movimiento armónico simple la posición en función del tiempo
vendrá dada por la expresión:
y=Asen(ω0t+ϕ)
Y por tanto la velocidad será:
dy
v = y =
= Aω0 cos(ω0 t + ϕ)
dt
La velocidad será máxima cuando el término variable (coseno) adquiera su valor
máximo, que es la unidad:
v=vmáx ⇒ cos(ω0t+ϕ)=1 ⇒ vmáx=Aω0= A
Por tanto la energía cinética máxima es:
k
525
= 0.022
= 0.412 m / s
m
1 .5
ECmáx =
1
1
2
mvmáx
= 1.5 ⋅ 0.4122 = 0.13 J
2
2
Respuesta correcta: a)
9. - El periodo de la oscilación lineal amortiguada de una masa de 200 g que
cuelga de un resorte ideal de constante 1 50 N/m es 0. 52 s. La constante de
amortiguamiento γ es:
a) 24. 58 kg/s
b) 1 0. 92 kg/s
c) 6. 1 2 kg/s
d) 9. 83 kg/s
La frecuencia natural del oscilador (frecuencia del sistema sin amortiguar) es:
ω0 =
que:
k
=
m
150
= 27.386 rad / s
0.2
Para la frecuencia angular del sistema amortiguado tenemos el periodo de modo
2π
2π
=
= 12.083 rad / s
0.52
T
Ahora ya podemos determinar el parámetro de amortiguamiento β:
ω=
ω = ω20 − β 2 ⇒ β = ω20 − ω2 = 27.386 2 − 12.0832 = 24.576 s −1
Por tanto la constante de amortiguamiento γ es:
γ
β=
⇒ γ = 2mβ = 2 ⋅ 0.2 ⋅ 24.576 = 9.83 kg / s
2m
Respuesta correcta: d)
1 0. - Un objeto sujeto a un muelle horizontal tiene un movimiento armónico
simple de amplitud 4 cm. Cuando el objeto se encuentra a 2 cm de la posición de
equilibrio, ¿qué fracción de la energía total es cinética?
a) un cuarto
b) dos tercios
c) un tercio
d) tres cuartos
En el extremo de la oscilación toda la energía es potencial, luego tendremos:
1
1
ET = EPe = kA2 = k ⋅ 0.042 = 8 ⋅ 10 − 4 k J
2
2
Cuando el objeto se encuentra a 2 cm de la posición de equilibrio la energía
potencial es:
1
1
EP = kx2 = k ⋅ 0.022 = 2 ⋅ 10 − 4 k J
2
2
Por tanto la cinética:
EC=ET-EPe=8 · 10-4k-2 · 10-4k=6 · 10-4k J
Dividiendo las dos expresiones:
EC
6 ⋅ 10 −4 k 3
3
=
= ⇒ EP = ET
ET 8 ⋅ 10 − 4 k 4
4
Respuesta correcta: d)