Conjuntos clásicos

Conjuntos clásicos
1.
¿Cómo se define un conjunto clásico?
Un conjunto clásico es una colección de elementos que clasifican objetos
mediante alguna propiedad. Este tipo de conjuntos se definen mediante una
función caracterı́stica.
Dado un subconjunto A del universo X:
µA : X → {0, 1}
se define:
(
µA (x) =
1, si x ∈ A
0, si x ∈
/A
es decir, si µA(x) = 1, si la afirmación ”x ∈ A” es verdadera
y si µA(x) = 0, si la afirmación ”x ∈ A” es falsa.
1.1.
Operaciones realizadas con los conjuntos clásicos
Considerando dos subconjuntos A y B del universo X se definen:
Unión
La unión de dos conjuntos clásicos A y B se denota por A ∪ B.
Representa todos los elementos del universo que están en el conjunto
A o en el conjunto B o en ambos a la vez.
La forma de representación de la unión de dos conjuntos A y B es,
A ∪ B = {x | x ∈ A ó x ∈ B}
Gráficamente A ∪ B:
1
Figura 1: A unión B
Intersección
La intersección de dos conjuntos clásicos A y B se denota por A ∩ B.
Con esta operación se representa todos los elementos del universo que
están simultáneamente en los dos conjuntos.
La forma de representación de la intersección de dos conjuntos A y B es,
A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}
Gráficamente A ∩ B:
Figura 2: A intersección B
2
Complemento
El complemento de un conjunto clásico A se denota por A.
Con él obtenemos todos los elementos del universo que no pertenecen
al conjunto A.
La forma de representación del complemento de A es,
A = {x | x ∈
/ A}
Gráficamente A:
Figura 3: Complemento de A
Diferencia
La diferencia de un conjunto A respecto de B, se denota por A | B.
Mediante la diferencia se representan todos los elementos del universo
que están en A y no están en B.
La forma de representación de la diferencia es,
A | B = {x | x ∈ A y x ∈
/ B}
Gráficamente A | B:
3
Figura 4: A diferencia B
1.2.
Propiedades de las operaciones de los conjuntos
clásicos
Para realizar operaciones matemáticas con los conjuntos clásicos, necesitamos conocer las propiedades que éstos poseen. Dados los conjuntos A, B y
C se definen las siguientes propiedades:
1. Conmutativa:
A∪B =B∪A
A∩B =B∩A
2. Asociativa:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
3. Distributiva:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
4. Idempotencia:
A∪A=A
A∩A=A
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5. Identidad:
A∪Φ=A
A∪X =X
A∩X =A
A∩Φ=Φ
6. Doble negación:
A=A
7. Transitiva:
si A ⊆ B ⊆ C, entonces A ⊆ C
Existen dos propiedades importantes a las que llamamos leyes, la ley del
medio excluido y las leyes de Morgan.
Ley del medio exluido: incluye la ley del medio excluido y la ley de
contradicción.
1. Ley del medio excluido:
Representa la unión de un conjunto A con su complemento.
A∪A=X
2. Ley de contradicción:
Representa la intersección del conjunto A y su complemento.
A∩A=Φ
Leyes de Morgan:
A∪B =A∩B
A∩B =A∪B
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1.2.1.
Ejemplo
A continuación se muestra un ejemplo en donde se comprueban algunas
de las propiedades descritas anteriormente.
Dados X = {2,3,4,5,7,10,16,19,21,22,40,115},
A = {Conjunto de los números divisibles por 2} = {2,4,10,16,22,40} y
B = {Conjunto de los números divisibles por 5} = {5,10,40,115}
hacemos las siguientes operaciones:
A ∪ B = {2, 4, 5, 10, 16, 22, 40, 115}
A ∩ B = {10, 40}
A = {3, 5, 7, 19, 21, 115}
B = {2, 3, 4, 7, 16, 19, 21, 22}
A = {2, 4, 10, 16, 22, 40}
A ∪ B = {3, 7, 19, 21} y A ∩ B = {3, 7, 19, 21}, entonces se cumple la
Ley de Morgan A ∪ B = A ∩ B
A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 7, 16, 19, 21, 22, 115} y A∪B = {2, 3, 4, 5, 7, 16, 19, 21, 22, 115},
en este caso también se cumple la Ley de Morgan A ∩ B = A ∪ B
Gráficamente se muestra el ejemplo anterior:
Figura 5: Diagrama de Venn
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