Generalidades de teor´ıa de conjuntos

APÉNDICE A
Generalidades de teorı́a de conjuntos
No definiremos explı́citamente el concepto de conjunto. Pensaremos en ellos
como colecciones de objetos.
Tema 1.
Conceptos básicos
Repasaremos las definiciones más básicas de teorı́a de conjuntos:
Definiciones A.1.1. Sean A, B y X conjuntos.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Subconjunto: A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B).
Conjunto de las partes de un conjunto: P(X) := {A | A ⊂ X}.
Igualdad de conjuntos: A = B ⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A).
Conjunto vacı́o: ∅ es el único conjunto que cumple la propiedad de que
no contiene ningún elemento.
Unión de conjuntos: A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}).
Intersección: A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}).
Conjuntos disjuntos: A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅. En ocasiones, si A y B son disjuntos, para escribir A ∪ B resaltando este hecho,
∅
escribiremos A ∪ B.
`
Unión disjunta de conjuntos: A B := {(A, a) | a ∈ A} ∪ {(B, b) |
b ∈ B}.
Complementario de A en X: Ac := {x ∈ X | x 6∈ A}.
Diferencia de dos conjuntos: A \ B := A ∩ B c ; el complementario de
A en X es Ac = X \ A.
Producto cartesiano: A × B := {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Ejercicio A.1. ♠ Sean A, B, C ⊂ X todos ellos conjuntos; las siguientes son
sencillas consecuencias de las definiciones anteriores.
1. Si A ⊂ B, entonces
(a) A ∪ B = B,
(b) A ∩ B = A.
2. Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.
3. Si A ⊂ B y A ⊂ C, entonces A ⊂ B ∩ C.
4. Si A ⊂ C y B ⊂ C, entonces A ∪ B ⊂ C.
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224
A. GENERALIDADES DE TEORÍA DE CONJUNTOS
5. Si A ⊂ B, entonces
(a) A ⊂ A ∪ C ⊂ B ∪ C,
(b) A ∩ C ⊂ B ∩ C ⊂ B.
6. Si x ∈ A ∪ B y x 6∈ A, entonces x ∈ B (es decir, (A ∪ B) ∩ Ac ⊂ B).
7. A × B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅.
Definición A.1.2. A la cuaterna (P(X), ∪, ∩, c ) se le denomina álgebra de
Boole de X.
ces
Propiedades A.1.3 (Álgebra de Boole). Sean A, B, C ⊆ X conjuntos, entonPropiedad conmutativa de la unión: A ∪ B = B ∪ A.
Propiedad conmutativa de la intersección: A ∩ B = B ∩ A.
Propiedad asociativa de la unión: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
Propiedad asociativa de la intersección: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
Propiedad cancelativa de la unión respecto de la intersección:
A ∪ (B ∩ A) = A.
6. Propiedad cancelativa de la intersección respecto de la unión:
A ∩ (B ∪ A) = A.
7. Propiedades del complementario:
(a) (Ac )c = A,
(b) A ∩ Ac = ∅,
1.
2.
3.
4.
5.
∅
(c) A ∪ Ac = X,
(d) A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac (por tanto A = B ⇔ Ac = B c ).
8. Leyes de Morgan:
(a) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c ,
(b) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
9. Propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
10. Propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Demostración.
1. x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ B ∨ x ∈ A ⇔ x ∈ B ∪ A.
2. x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ B ∧ x ∈ A ⇔ x ∈ B ∩ A.
3. x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈
C ⇔ x ∈ (A ∪ B) ∪ C.
4. x ∈ A ∩ (B ∩ C) ⇔ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈
C ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∩ C.
TEMA 1. CONCEPTOS BÁSICOS
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5. (⊆) Dado que A ⊂ A y A ∩ B ⊂ A, entonces A ∪ (A ∩ B) ⊂ A (Ejercicio A.1(4)).
(⊇) Dado que A ⊂ A, entonces A ⊂ A ∪ (A ∩ B) (Ejercicio A.1(5a)).
6. (⊆) Dado que A ⊂ A, entonces A ∩ (A ∪ B) ⊂ A (Ejercicio A.1(5b)).
(⊇) Dado que A ⊂ A y A ⊂ A ∪ B, entonces A ⊂ A ∩ (A ∪ B) (Ejercicio A.1(3)).
7. (a) x ∈ (Ac )c ⇔ x 6∈ Ac ⇔ x ∈ A.
(b) Supongamos x ∈ A ∩ Ac ⇒ x ∈ A ∧ x 6∈ A, lo que da lugar a
contradicción. Por lo tanto A∩Ac no tiene elementos, es decir, A∩Ac =
∅.
(c) Para probar X = A ∪ Ac , basta demostrar X ⊂ A ∪ Ac . Sea x ∈ X,
entonces x ∈ A ∨ x 6∈ A, por lo tanto x ∈ A ∪ Ac . Además la unión es
disjunta por el apartado anterior.
(d) (⇒) x ∈ B c ⇒ x 6∈ B. Por lo tanto x 6∈ A (ya que si x ∈ A se tendrı́a
que x ∈ B lo cual es contradictorio).
(⇐) B c ⊂ Ac ⇒ (Ac )c ⊂ (B c )c por el caso anterior. Utilizando el
apartado 7a, se tiene que A ⊂ B.
8. (a) (⊆) (A ∪ B)c ⊂ Ac por 7d, ya que A ⊂ A ∪ B. Análogamente
(A∪B)c ⊂ B c . Por lo tanto (A∪B)c ⊂ Ac ∩B c (Ejercicio A.1(3)).
(⊇) Supongamos que x ∈ Ac ∩ B c , entonces x 6∈ A ∧ x 6∈ B, luego
x 6∈ A ∪ B, y ası́ x ∈ (A ∪ B)c .
(b) Por 8a, (Ac ∪ B c )c = (Ac )c ∩ (B c )c . Ası́ pues, utilizando 7a y 7d, se
tiene que (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
9. (⊆) Sea x ∈ A ∪ (B ∩ C). Si x ∈ A, entonces (x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∪ C),
es decir, x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Si x 6∈ A, entonces x ∈ B ∩ C
(Ejercicio A.1(6)), por lo tanto (x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∪ C), es decir,
x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
(⊇) Supongamos que x ∈ (A∪B)∩(A∪C). Si x ∈ A, entonces x ∈ A∪(B∩
C). Si x 6∈ A, como x ∈ A ∪ B, entonces x ∈ B (Ejercicio A.1(6)).
Del mismo modo, como x ∈ A ∪ C, entonces x ∈ C. Por lo tanto
x ∈ B ∩ C.
10. Utilizando las Leyes de Morgan se tiene:
c
A ∩ (B ∪ C) =Ac ∪ (B c ∩ C c ) = (Ac ∪ B c ) ∩ (Ac ∪ C c ) =
c
= (A ∩ B)c ∩ (A ∩ C)c = (A ∩ B) ∪ (A ∪ C) .
Por lo tanto, utilizando 7d, se tiene el resultado.
226
A. GENERALIDADES DE TEORÍA DE CONJUNTOS
Ejercicio A.2. ♠ Demuestra las siguientes fórmulas:
1. (B ∩ A) \ (C ∩ A) = (B \ C) ∩ A.
2. Si A ⊂ B entonces A \ C ⊂ B \ C. Deduce de esto que
A = B ⇒ A \ C = B \ C.
3. A ∩ B = ∅ si y solo si A ⊂ B c . Deduce entonces que
A ∩ B = C ⇔ (A ⊂ B c ∪ C) ∧ (C ⊂ A ∩ B)
4. A \ B = A \ (A ∩ B)
5. Si A1 ⊂ A2 y B1 ⊂ B2 , entonces A1 ∩ B1 ⊂ A2 ∩ B2 .
∅
6. (A ∪ B) \ B = A. Deduce de esto que
∅
∅
A1 ∪ B = A 2 ∪ B ⇒ A 1 = A 2 .
7. (A \ B) ∪ B = A ∪ B.
8. (a) (A1 ∪ A2 ) × (B1 ∪ B2 ) = (A1 × B1 ) ∪ (A1 × B2 ) ∪ (A2 × B1 ) ∪ (A2 × B2 ).
(b) (A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ) = (A1 ∩ A2 ) × (B1 ∩ B2 ). Deduce de esto:
(A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ) = ∅ ⇔ (A1 ∩ A2 = ∅) ∨ (B1 ∩ B2 = ∅).
∅
∅
9. (A × B)c = (A × B c ) ∪(Ac × B) ∪(Ac × B c ).
Observación A.1.4. Obsérvese que el recı́proco del Ejercicio A.2(2) no es
cierto. Por ejemplo, si C \ B 6= ∅, y definimos A = B ∪ C, entonces se tiene que
A \ C ⊂ B \ C, mientras que A 6⊂ B.