La programación lineal 1 58.– PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2002 Un distribuidor de software informático, que realiza también funciones de servicio técnico, tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. En base a los objetivos marcados por el fabricante, al finalizar este año ha de conseguir al menos 20 empresas como clientes en su cartera, y el número de clientes particulares que consiga deberá ser como mínimo el doble que de empresas. Además, por razones de eficiencia del servicio post-venta tiene estipulado un límite global de 90 clientes anuales. Finalmente, cada empresa le produce 286 euros de ingresos anuales y cada particular 179 euros. (a) ¿Cuáles pueden ser las distintas opciones de composición de su cartera. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. (b) ¿Cuál de esas combinaciones le proporcionaría los mayores ingresos al finalizar el año? ¿a cuánto ascenderían dichos ingresos? (c)* Con estas restricciones, ¿cuál será el máximo número de clientes de empresas que tendrá en su cartera? RESOLUCIÓN apartado (a) DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS x ≡ " Número de clientes de empresas" y ≡ " Número de clientes particulares" CONJUNTO DE RESTRICCIONES x ≥ 20 y ≥ 2x x + y ≤ 90 y≥0 LA REGIÓN FACTIBLE y = 2x x 0 30 y 0 60 x + y = 90 x y 0 90 90 0 y ≥ 2x B C A x + y ≤ 90 10 10 x ≥ 20 Las distintas opciones de composición de su cartera viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible (sombreada), donde "x" es el número de clientes de empresas e "y" es el número de clientes particulares, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. Ejemplo: (21, 50) ∈ Región factible → 21 clientes de empresas y 50 clientes particulares. Otros puntos: (23, 61), (25, 56), etc. Abel Martín Del aula a la PAU 2 RESOLUCIÓN apartado (b) ¿Cuál de esas combinaciones le proporcionaría los mayores ingresos al finalizar el año? ¿a cuánto ascenderían dichos ingresos? LA FUNCIÓN OBJETIVO I(x, y): Ingresos anuales en euros I(x, y) = 286x + 179y LOCALIZACIÓN DE SOLUCIONES Teorema: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados. Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono que constituye la región factible: CÁLCULO DE VÉRTICES A(20, y) Resolvemos el sistema y = 2x x = 20 y = 2·20 = 40 x = 20 → y = 40 → A(20, 40) x = 30 → y = 60 → B(30, 60) B(x, y) Resolvemos el sistema y = 2x x + 2x = 90 → 3x = 90 → x = 30 x + y = 90 C(20, y) Resolvemos el sistema x + y = 90 x = 20 y = 90 - 20 y = 70 → x = 20 → C(20, 70) ANÁLISIS DE ÓPTIMOS Aplicamos el TEOREMA mencionado: Vértices A (20, 40) B (30, 60) C (20, 70) I(x, y) = 286x + 179y 286·20 + 179·40 = 286·30 + 179·60 = 286·20 + 179·70 = Valor 12 880 19 320 18 250 La combinación que le proporciona mayores ingresos al finalizar el año es de 30 clientes de empresas y 60 clientes particulares, momento en el que los ingresos alcanzan una cantidad de 19 320 euros. RESOLUCIÓN apartado (c*) - AMPLIACIÓN • (*) Con estas restricciones, ¿cuál será el máximo número de clientes de empresas que tendrá en su cartera? Para contestar a la pregunta, habrá que observar cuál es el mayor valor que toma "x" dentro de la región factible. Vemos que se encuentra en el punto C(30, 60) 30 es el máximo número de clientes de empresa. Abel Martín La programación lineal 3 ANÁLISIS GRÁFICO DE ÓPTIMOS CON LA AYUDA DE UNA CALCULADORA GRÁFICA Veamos cuál es la recta que representa a la función objetivo de ingresos nulos al finalizar el año: 286x + 179y = 0 En forma explícita → y = − 286 x 179 De todas las infinitas rectas paralelas a ésta de ingresos nulos que pasan por el conjunto de restricciones, la que corresponde a unos ingresos máximos será aquella que corte al eje OY por el punto más alejado del origen; para ello, y aplicando el teorema antes mencionado, representaríamos todas aquellas que pasan por los vértices pero, EN LA PRÁCTICA, con la calculadora gráfica, no se representan todas las líneas de nivel, cosa que se hace larga y tediosa, sino que se representa ÚNICAMENTE la que hace los ingresos nulos y= − 286 x 179 para luego, mentalmente, trazar paralelas que pasen por los demás vértices y comprobar cuál es la "línea de nivel" de mayor ordenada en el origen. B ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS Confirmamos que la combinación que le proporciona mayores ingresos al finalizar el año es de 30 clientes de empresas y 60 clientes particulares, momento en el que los ingresos alcanzan una cantidad de 19 320 euros. Abel Martín