Simetría de funciones y Principio de exclusión de Pauli

27-9-2016
Simetría de
funciones y
Principio de
exclusión de Pauli
Ulises Organista Mateos
Luis Daniel Pedro Hernández
Diana Alí Pérez Espinoza
Lady Olivia Pérez Valera
Acerca de Pauli.
Wolfgang Pauli nació el 25 de abril de 1900 hijo de Wolfgang Joseph Pauli y Bertha
Camile Shütz. Su nombre completo era Wolfgang Ernst Frederich Pauli, su segundo
nombre fue elegido en honor a Ernst Mach, quien asumió el rol “padrino”, lo cual
resulta un tanto irónico, ya que Ernst Mach tenía una actitud anticlerical. Su tercer
nombre fue por su abuelo Frederich Shütz, a quien Wolfgang solía acompañar de
paseo por tiendas de antigüedades.
A los diez años cuando comenzó el bachillerato en el Döblinger Gymnasium sus
inquietudes fueron dirigidas, en gran medida por su padre, hacia el campo de las
ciencias naturales. Algo interesante acerca de Paulli es que no fue un pupilo modelo
y sus ocho grados académicos en Doblinger lo demuestran, él era excelente en
matemáticas, física y filosofía, pero en latín y griego sólo consiguió una nota de
satisfactorio. En 1918 se trasladó a la Universidad de Munich donde obtuvo su Ph.D.
física teórica y en 1921, se graduó con honores con A. Sommerfeld.
Una vez graduado, Pauli se convirtió en asistente de Max Born en la Universidad de
Göttingen. Después de ser un asistente de Max Born, Wolfgang Pauli pasó un breve
tiempo en la Universidad de Hamburgo ayudar a Wilhelm Lenz antes de irse a
trabajar con Niels Bohr en la Universidad de Copenhague. En 1924, Pauli desarrolló
el principio de exclusión y por el cual recibió el Premio Nobel en 1945. Otras de las
aportaciones de Pauli es que intuyó la existencia de una partícula neutral, el
neutrino, cuya emisión coincidía con la del electrón.
Aunque Pauli disfrutó trabajando con Bohr y donde era muy respetado, se fue a
enseñar física en la Universidad de Hamburgo en 1924. En 1928, se trasladó de
nuevo a la Escuela Politécnica Federal de Zúrich Hochshule y permaneció allí hasta
su muerte en 1958.
1
Principio de indistinguibilidad
En la descripción cuántica de las partículas subatómicas se tiene un principio de
mucha importancia para la química. El principio de indistinguibilidad de las partículas
idénticas.
En la mecánica clásica, si se tiene un conjunto de partículas idénticas, la
identidad de dichas partículas no tiene consecuencias especiales que modifiquen
las propiedades del conjunto. Esto es que si se enumeran las partículas de un
sistema en un instante y se hace un seguimiento de su trayectoria; entonces en un
instante cualquiera será posible identificar las partículas. La identidad de las bolas
no tiene efecto especial sobre sus movimientos.
En mecánica cuántica la situación cambia completamente. Esto debido a que
las partículas siguen el principio de incertidumbre, del cual se obtiene la
imposibilidad de conocer la trayectoria exacta recorrida por una de las partículas del
sistema. En el caso de tener un conjunto de partículas con propiedades diferentes,
se puede emplear cada una de las propiedades para identificar a las partículas. Al
ser un conjunto de partículas idénticas, es imposible poder distinguir una de otra.
Por tanto, la función de onda asociada a un sistema de partículas idénticas que no
interactúan no distinguirá entre las partículas.
Se deducen las condiciones que hay que imponer la función de onda debidas
al principio de indistinguibilidad de partículas en mecánica cuántica. Para un
conjunto de N partículas indistinguibles, la función de onda está dada por las
variables espaciales y la variable de espín de todas las partículas. Para la partícula
1, las variables son: 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑚𝑠1 . Usando el símbolo q1 para denotar las cuatro
variables, tenemos: 𝜓 = 𝜓(𝑞1 , 𝑞2 … , 𝑞𝑛 ).
Ahora, definiendo el operador permutación 𝑃̂12 como el operador que intercambia
las coordenadas de las partículas 1 y 2:
𝑃̂12 𝑓(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) = 𝑓(𝑞2 , 𝑞1 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 )
Un ejemplo de esto sería el efecto de 𝑃̂12 sobre una función de onda que tiene un
electrón en un orbital 1s con espín positivo y un electrón en un orbital 2s con espín
negativo es:
2
𝑃̂12 [1𝑠(1)𝛼(1)2𝑠(2)𝛽(2)] = [1𝑠(2)𝛼(2)2𝑠(1)𝛽(1)]
Una vez definido el operador permutación se quieren conocer los valores propios
del operador. Esto se hace a través de la doble aplicación del operador, de lo cual
se observa que no tiene algún efecto neto:
𝑃̂12 𝑃̂12 𝑓(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) = 𝑃̂12 𝑓(𝑞2 , 𝑞1 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) = 𝑓(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 )
2
De esta forma se sabe que 𝑃̂12
= 1̂. Sabiendo que, si de un operador cuyo cuadrado
es el operador unidad, el operador tiene los valores propios +1 y -1. Si h es una
función propia de 𝑃̂12 con valor propio +1, tenemos:
𝑃̂12 ℎ(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) = +1 ∗ ℎ(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 )
ℎ(𝑞2 , 𝑞1 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) = ℎ(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 )
De esto se dice que h es simétrica con respecto al intercambio de las partículas 1 y
2. Para el valor propio -1 tenemos:
𝑃̂12 ℎ(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) = −1 ∗ ℎ(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 )
ℎ(𝑞2 , 𝑞1 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) = −ℎ(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 )
En cuyo caso se dice que h es antisimétrica con respecto al intercambio de las
partículas 1 y 2.
Ahora, de manera general el operador 𝑃̂𝑖𝑗 está definido por:
𝑃̂𝑖𝑗 𝑓(𝑞1 , 𝑞𝑖 , 𝑞𝑗 … , 𝑞𝑛 ) = 𝑓(𝑞1 , 𝑞𝑗 , 𝑞𝑖 … , 𝑞𝑛 )
Dado que los valores propios del operador 𝑃̂𝑖𝑗 son los mismos para el operador 𝑃̂12,
+1 y -1. Considerando las funciones de onda de un sistema de N partículas
idénticas, al ser las partículas indistinguibles, el estado del sistema no es afectado
por la forma en que lo denotemos, así pues, las dos funciones de onda:
𝜓(𝑞1 , 𝑞𝑖 , 𝑞𝑗 … , 𝑞𝑛 )
𝑦
𝜓(𝑞1 , 𝑞𝑗 , 𝑞𝑖 … , 𝑞𝑛 )
Deben corresponder al mismo estado del sistema. Dos funciones de onda que
corresponden al mismo estado por mucho, pueden diferir por una constante. Así
que:
𝜓(𝑞1 , 𝑞𝑖 , 𝑞𝑗 … , 𝑞𝑛 ) = 𝑐 𝜓(𝑞1 , 𝑞𝑗 , 𝑞𝑖 … , 𝑞𝑛 )
𝑃̂𝑖𝑗 𝜓(𝑞1 , 𝑞𝑖 , 𝑞𝑗 … , 𝑞𝑛 ) = 𝑐 𝜓(𝑞1 , 𝑞𝑗 , 𝑞𝑖 … , 𝑞𝑛 )
3
De esta manera se llega a la conclusión de que existen sólo dos posibilidades: la
función de onda es simétrica (es decir, no cambia en absoluto ante la permutación
de las partículas, o es antisimétrica (es decir, cambia de signo al efectuar la
permutación). Se hace evidente la condición de que las funciones de onda de
diversos estados de un mismo sistema deben tener la misma simetría; si esto no se
cumple, la función de onda de un estado, que es superposición de estado de
simetría diferentes, no sería simétrica ni antisimétrica.
Este resultado se puede generalizar a sistemas constituidos por un número
arbitrario de moléculas ya que, al ser todas las partículas indistinguibles, todas
pueden ser descritas por funciones simétricas o antisimétricas. La indistinguibilidad
obliga que, si un par es descrito por una función de onda simétrica, todas las demás
serán descritas por una función simétrica. De igual forma sucede para las descritas
por funciones antisimétricas.
Principio de Exclusión de Pauli
Existen dos posibles casos para la función de onda de un sistema de partículas
idénticas los casos donde las funciones son simétricas y anti simétricas. La
evidencia experimental muestra que para los electrones (fermiones) sólo ocurre
el caso anti simétrico, en consecuencia, la función de onda de un sistema de
electrones debe ser anti simétrico con respecto al intercambio de dos
electrones, a este postulado se le llamó Principio de exclusión de Pauli (1925).
Un año antes, Stoner había encontrado las ocupaciones 2,6,10 y 14 para las
subcapas s, p, d y f, en un átomo. Con este acontecimiento y el de los trabajos de
Landé en espectroscopia. Pauli indicó que eran necesarios cuatro números
cuánticos para caracterizar a cada uno de los electrones de un átomo establecido.
Más tarde, basándose en el trabajo de Pauli, dos jóvenes alemanes harían una gran
contribución al entendimiento de la estructura atómica. Primero Samuel Goudsmit
(1902-1978) simplifico el argumento de Pauli introduciendo como los cuatro
números cuánticos a:
n, el número cuántico principal, con valores de 1,2,3…
4
l, el número cuántico acimutal modificado de Sommerfeld, con valores 0, 1,2,…n-1
m, el número cuántico magnético de Sommerfeld con valores 0, 1, 2…,  l, y
ms, nuevo número cuántico con los valores 1/2
Y en segundo lugar George Eugene Uhlenbeck (1900-1988), junto con su
compañero Goidsmit, se dieron cuenta que la existencia de un cuarto número
cuántico indicaba la presencia de un grado de libertad adicional en el movimiento
electrónico.
Hasta entonces el electrón había sido considerado como una carga puntual, sin
estructura. Por ello su descripción completa dependía de sus tres coordenadas
espaciales.
Uhlenbeck y Goidsmit atribuyeron el cuarto número de Pauli a un movimiento extra
del electrón: la rotación alrededor de su propio eje (espín). Al rotar, el giro del
electrón producirá un momento angular 𝑆⃑ y la rotación de su carga daría lugar a un
momento magnético 𝜇⃑𝑠 , adicional al producto por el movimiento orbital.
Como ms sólo tenia dos valores, propusieron que cada uno de ellos indicaba el
sentido de la rotación del electrón, como se indica en la siguiente figura
Figura 1. Según Uhlenbeck y Goidsmit, el giro del electrón
producirá un momento angular intrínseco, S, lo que trae
aparejado un momento magnético, s, de sentido contrario.
La magnitud del momento angular del spin sería
1
𝑆 = |𝑚𝑠 ℏ| = ℏ
2
El momento magnético asociado al espín tendría una magnitud
5
𝜇𝑠 =
𝜇𝐵
𝑔𝑆
ℏ
𝜇𝑠 =
1
𝜇 𝑔
2 𝐵
en donde al sustituir
Para el movimiento orbital g=1 deacuerdo con la siguiente expresión
𝜇
⁄𝜇𝐵
𝐿⁄
ℏ
= 1. Sin
embargo, Uhlenbeck y Goidsmit obtuvieron que para el espín g= 2, es decir, 𝜇𝑠 ≈
𝜇𝐵
Así, cada electrón tendrá dos momentos angulares: uno clásico, con factor
⃑⃑ ), y
giromagnético g=1, por su movimiento alrededor del núcleo (momento orbital 𝐿
otro no clásico, con factor de Landé g=2, por la rotación alrededor de su eje
(momento angular del espín 𝑆⃑ ).
El momento angular total del electrón, que recibe el símbolo 𝐽⃑, sería la suma de los
anteriores:
⃑⃑ + 𝑆⃑
𝐽⃑ = 𝐿
El Principio de Pauli tiene consecuencias interesantes para un sistema de fermiones
idénticos. El requerimiento de antisimetría significa que
𝛹(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , … . , 𝑞𝑛 ) = −𝛹(𝑞1 . 𝑞2 . 𝑞3 , … . . , 𝑞𝑛 )
Considerar el valor de la función de onda cuando los electrones 1 y 2 tienen las
mismas coordenadas cuando
x1 = x2,
y1 = y2,
z1 = z2,
ms1 = ms2
Colocando a 𝑞1 = 𝑞2 tenemos que
𝛹(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , … . , 𝑞𝑛 ) = −𝛹(𝑞1 . 𝑞2 . 𝑞3 , … . . , 𝑞𝑛 )
2𝛹 = 0
𝛹(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, … . . , 𝑞𝑛) = 0
6
Por lo que el principio de Pauli establece que dos electrones con el mismo espín
tienen una probabilidad igual a cero para encontrarse al mismo tiempo en
mismo espacio tridimensional, en otras palabras, no puede haber dos electrones
equivalentes en un átomo con los mismos valores de números cuánticos.
El átomo de helio
Ahora consideremos al átomo de Helio desde el punto de vista del principio de
exclusión de Pauli y espín electrónico. Recordemos que el átomo de helio en su
estado basal tiene una función de onda 1s(1)1s(2), por lo que al tomar en cuenta el
espín se debe multiplicar ésta función espacial por una función propia de espín. Sí
pensamos en un estado en donde el electrón uno tiene un espín hacia arriba, α(1)
y el electrón dos tiene espín hacia arriba α(2), y ya que cada electrón tiene dos
posibles estados de espín podremos tener cuatro posibles funciones de espín:
α(1) α(2),
β(1) β(2),
α(1) β(2),
α(2) β(1)
Con las primeras dos funciones no hay nada malo, pero con la tercera y la cuarta
se viola el principio de indistinguibilidad de partículas idénticas, por ejemplo, la
tercera función dice que el electrón uno tiene espín hacia arriba y el electrón dos
tiene espín hacia abajo lo que hace distinguibles al electrón uno y dos. Sí se aplica
el operador de permutación 𝑃̂12 a estas funciones encontramos que las dos primeras
son simétricas con respecto al intercambio de dos electrones, pero la tercera y la
cuarta función no son ni simétricas ni antisimétricas.
Por otro lado, haciendo la analogía con respecto a los estados excitados del átomo
de helio, donde se tienen las funciones 1s(1) 2s(2) y 2s(1)1s(2), dichas funciones,
en las cuales se puede distinguir entre los electrones 1 y 2, no son funciones de
orden cero por lo que las funciones correctas de orden cero serían:
−1⁄
2 [1𝑠(1)2𝑠(2)
2
± 2𝑠(1)1𝑠(2)]
Esto nos sugiere que en lugar de α(1) β(2) y β(1) α(2), tenemos que usar las
siguientes funciones de espín.
−1⁄
2 [𝛼(1)𝛽(2)
2
± 𝛽(1)𝛼(2)]
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Estas dos funciones son combinaciones lineales normalizadas de α(1) β(2) y β(1)
α(2) que son funciones propias del operador de permutación 𝑃̂12. las funciones
propias de espín tenemos el siguiente conjunto de funciones:
𝛼(1)𝛼(2)
Funciones Simétricas:
𝛽(1)𝛽(2)
[𝛼(1)𝛽(2) + 𝛽(1)𝛼(2)]/√2
Función antisimétrica: [𝛼(1)𝛽(2) − 𝛽(1)𝛼(2)]/√2
Ahora se debe multiplicar la función simétrica 1s(1)1s(2) por una función
antisimétrica de espín, la función de onda de orden cero en el estado basal para el
átomo de Helio queda de la siguiente forma:
−1⁄
2 [𝛼(1)𝛽(2)
𝜓 (0) = 1𝑠(1)1𝑠(2) ∙ 2
− 𝛽(1)𝛼(2)]
Donde la función 𝜓 (0) es una función propia del operador de permutación 𝑃̂12 con
un valor propio de -1, como el principio de Pauli lo requiere.
En conclusión, los dos electrones que se encuentran en el átomo de helio sólo
pueden coexistir en el mismo orbital 1s si y sólo si tienen espines opuestos,
cumpliéndose así el principio de exclusión de Pauli. Un electrón tendría los números
1
1
cuánticos (1, 0, 0, − 2) y el otro (1, 0, 0, + 2), por lo tanto, el átomo de helio tiene la
siguiente configuración electrónica.
Bosones y fermiones
A través de su teorema, Nernst razonó que la ley clásica del calor específico para
un gas ideal debía ser limitada, por lo tanto, predijo que el calor específico de los
gases debía disminuir al acercarse al cero absoluto, mediante un proceso llamado
“degeneración del gas”. Éste fenómeno trato de ser explicado a través de la
8
mecánica estadística clásica, no obstante, al ser un fenómeno cuántico, éste
tratamiento no tuvo éxito.
No fue hasta 1924, cuando Einstein recibió el artículo de un físico indio llamado N.S.
Bose, en el cual proponía que el cálculo clásico de Planck sobre la fórmula de la
radiación debía ser sustituido por un tratamiento basado en la estadística y el
principio cuántico. Einstein aplicó las ideas de Bose al problema de un gas material,
obteniendo como resultado la “degeneración del gas perfecto”.
En honor a Einstein y Bose, ésta estadística se conoce como la estadística BoseEinstein. La cual establece que la probabilidad de que una partícula se encuentre
en el estado Ei, está dada por la expresión:
pi =
1
Ei
eα ekT
−1
Posteriormente, Dirac en su publicación de 1926, expone que las funciones de onda
simétricas de dos partículas idénticas conducen a la estadística de Bose-Einstein,
por lo que propone el nombre de bosones para las partículas que la obedecen. Y
las funciones de onda antisimétricas conducen a una estadística muy diferente, en
la cual las partículas obedecen el principio de exclusión de Pauli y propone el
nombre de fermiones para las partículas que siguen ésta nueva estadística. Ésta
estadística se conoce como la estadística de Fermi-Dirac, ya que Enrico Fermi y
Paul Dirac la desarrollaron de manera independiente; y tiene la siguiente forma:
pi =
1
Ei
eα ekT
+1
Por lo tanto, un estado cuántico que describe las propiedades espaciales y de espín
de dos partículas idénticas, debe tener un intercambio de simetría definido; el cual
puede ser simétrico o antisimétrico1. Sin embargo, en la naturaleza, las partículas
no tienen la libertad de decidir, por lo cual existen dos tipos de partículas cuánticas:
los fermiones y los bosones.
1
A.C. Phillips. (2003). Introduction to Quantum Mechanics. UK. WILEY.
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Los bosones son partículas idénticas que tienen espín entero y están descritas por
funciones de onda simétricas. Mientras que los fermiones son partículas idénticas
que tienen espín semientero y están descritas por funciones de onda antisimétricas.
A esto se le conoce como el postulado de espín-estadística.
Los electrones tienen spin semientero, por lo que tiene estados antisimétricos:
𝜑 𝐴 (𝑝, 𝑞) =
1
√2
[𝜑𝑛,𝑙,𝑚𝑙,𝑚𝑠 (𝑝)𝜑𝑛′ ,𝑙′ ,𝑚𝑙′ ,𝑚𝑠′ (𝑞) − 𝜑𝑛,𝑙,𝑚𝑙,𝑚𝑠 (𝑞)𝜑𝑛′ ,𝑙′ ,𝑚𝑙′ ,𝑚𝑠′ (𝑝)]
Estos estados, son muy importantes para el entendimiento del mundo que nos
rodea, ya que determina las propiedades de los átomos y de los sólidos.
Al ocupar estados antisimétricos, los electrones siguen el principio de exclusión de
Pauli, los cual determina la física y química de los átomos, por lo tanto, permite
entender la tabla periódica de los elementos.
Por otra parte, cuando la parte del espín del estado cuántico de dos electrones es
simétrica, entonces la parte espacial de la función de onda es antisimétrica:
𝜑 𝐴 (𝑝, 𝑞) = 𝜓 𝐴 (𝒓𝑝 , 𝒓𝑞 )𝜒 𝑆 𝑆,𝑀𝑠 (𝑝, 𝑞)
Por lo que los electrones tienen la tendencia a “repelerse”, lo cual da las
propiedades rígidas de la materia.
Finalmente, cuando la parte del espín del estado cuántico de dos electrones es
antisimétrica, entonces la parte espacial de la función de onda es simétrica:
𝜑 𝐴 (𝑝, 𝑞) = 𝜓 𝑆 (𝒓𝑝 , 𝒓𝑞 )𝜒 𝐴𝑆,𝑀𝑠 (𝑝, 𝑞)
Cuando esto sucede los electrones tienen la tendencia a agruparse, por lo que en
átomos adyacentes puede formarse un enlace y por lo tanto una molécula.
Por otro lado, los bosones dan lugar a fenómenos como la coherencia en la luz de
los láseres, ya que los fotones tienen una alta probabilidad de tener la misma
energía y momento.
Otro fenómeno interesante, es la superfluidez del helio líquido a temperaturas por
debajo de los 2.2 K. En el helio líquido, los átomos se encuentran interactuando
débilmente y se comportan como bosones ya que está constituido de núcleos de
4He
con espín igual a cero y de electrones que forman un estado de espín
combinado de cero. A bajas temperaturas una fracción considerable de átomos de
helio “condensa” en el mismo estado de energía. Éstos forman un condensado de
10
Bose-Einstein en el cual los átomos tienen funciones de onda coherentes las unas
con las otras, y se mueven sin fricción.
Más del principio de exclusión de Pauli: estrellas blancas y de neutrones
Los fenómenos mecano-cuánticos debido a la simetría y antisimetría de las
funciones de onda, tienen una repercusión importante en la vida de las estrellas.
Cuando una estrella está a punto de morir, su destino está determinado por la masa
que posea. El físico Subrahmanyan Chandrasekhar calculó que las estrellas con
masas no mayores a 1.5 veces la masa del Sol se convertirán en enanas blancas.
En la fase final de la estrella, ésta comienza a colapsar sobre sí misma debido a
que ésta no puede seguir manteniendo el equilibrio entre la gravedad y la presión
generada por las reacciones nucleares. No obstante, llega un punto en el que el
colapso se detiene debido a que el principio de exclusión de Pauli impide que la
materia se comprima arbitrariamente, por lo que cuando se alcanzan densidades
muy altas; se forman un gas de electrones, en el cual los electrones adquieren
diferentes velocidades para ocupar el mismo espacio. Éste gas tiene propiedades
particulares y genera la presión suficiente para alcanzar un nuevo estado de
equilibrio; una enana blanca.
Por otro lado, cuando la masa de una estrella es mayor a 1.5 veces la masa del Sol;
los electrones no pueden mantener el colapso y se fusionan con los protones para
formar neutrones, estos también siguen el principio de exclusión de Pauli y detienen
el colapso al formar un gas de neutrones degenerados, llegando a una nueva
configuración de equilibrio conocida como estrella de neutrones.
Como se ha visto, las propiedades de las funciones de onda (simetría y
antisimetría), gobiernan las propiedades y fenómenos de la materia.
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Referencias
● L.D Landau E. M. Lifshitz. (2002). Mecánica cuántica no relativista. España:
Reverté.
● Ira N. Levine. (1974). Química cuántica. España. AC.
● A.C. Phillips. (2003). Introduction to Quantum Mechanics. UK. WILEY.
● K. Mendelssohn. (1965). La búsqueda del cero absoluto. Madrid. McGraw
Hill.
● Sergio Baselga Moreno. (2008). Dirac. La belleza matemática. España.
Nivola.
● Shahen Hacyan. (2003). Los hoyos negros y la curvatura del espacio-tiempo.
La Ciencia para todos. México. Fondo de cultura económica.
● Charles P. Enz. (2004). No time to be brief. A scientific biography of Wolfgang
Pauli. Great Britain.
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